Menentukan Turunan Fungsi Implisit

Menentukan turunan fungsi implisit

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan turunan fungsi implisit. Saat membaca tulisan ini, kita tentu sudah mahir menentukan turunan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Misalnya \(y=4x^2 + x\), dengan turunan \(\frac{dy}{dx}=8x+1\). Namun, coba perhatikan fungsi berikut ini.

\begin{align*}
4x^2y-xy=x^3+1
\end{align*}

Persamaan di atas mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas dapat dimodifikasi sehingga y menjadi fungsi eksplisit dari x.

\begin{align*}
4x^2y-xy &= x^3+1 \\
\left( 4x^2-x \right) y &= x^3+1 \\
y &= \frac{x^3+1}{4x^2-x}
\end{align*}

Nilai dari \(\frac{dy}{dx}\) dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{3x^2(4x^2-x)-(x^3+1)(8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\
&= \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4-x^3+8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\
&= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2}
\end{align*}

Turunan fungsi di atas dapat dicari dengan mengubahnya menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi

\begin{align*}
y^3-2y=3x^2-1
\end{align*}

Karena adanya fungsi semacam ini, maka kita perlu belajar menentukan turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit. Sesuai namanya, proses penentuan turunan fungsi implisit disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, turunkan kedua ruas persamaan di atas terhadap x.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\
\end{align*}

Jika diturunkan terhadap x, ekspresi aljabar yang memuat y tidak dapat dipandang sebagai sebuah konstan, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Misalkan \(u=y^3-2y\), sehingga

\begin{align*}
\frac{du}{dx}&=\frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \\
&= (3y^2-2) \frac{dy}{dx}
\end{align*}

Atau secara operasional, jika ekspresi aljabar tersebut hanya memuat y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan \(\frac{dy}{dx}\). Turunan dari \(y^3-2y\) terhadap y adalah \(3y^2-2\), sehingga turunannya terhadap x adalah \((3y^2-2) \frac{dy}{dx}\). Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, kita peroleh

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\
(3y^2-2) \frac{dy}{dx}&=6x \\
\frac{dy}{dx}&=\frac{6x}{3y^2-2}
\end{align*}

Nah, kita peroleh \(\frac{dy}{dx}\) dari fungsi tersebut. Kita akan membahas soal lainnya sebagai contoh.

CONTOH
Tentukan \(\frac{dy}{dx}\) dari \(xy^2=x-8\).

Pembahasan
Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\
\end{align*}

Karena y merupakan suatu fungsi dalam x, maka \(xy^2\) dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian. Misalkan \(u=x\) dan \(v=y^2\).

\begin{align*}
u&=x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=1 \\
v&=y^2 \Longrightarrow \frac{dv}{dx}=2y \cdot \frac{dy}{dx}
\end{align*}

Sehingga

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} \\
&= x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1 \\
&= 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2
\end{align*}

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x^2) \\
2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2&=1 \\
2xy \cdot \frac{dy}{dx}&=1-y^2 \\
\frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2}{2xy} \\
\end{align*}

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah \(4x^2y-xy=x^3+1\).

CONTOH
Tentukan \(y’=\frac{dy}{dx}\) dari \(4x^2y-xy=x^3+1\) dengan turunan implisit.

Pembahasan
Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi \(y’\) untuk menggantikan \(\frac{dy}{dx}\).

\begin{align*}
(8xy + 4x^2y’)-(y+xy’) &= 3x^2 \\
8xy + 4x^2y’-y-xy’ &= 3x^2 \\
4x^2y’-xy’ &= 3x^2-8xy+y \\
(4x^2-x)y’ &= 3x^2-8xy+y \\
y’ &= \frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}
\end{align*}

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa

\begin{align*}
y &= \frac{4x^2-x}{x^3+1}
\end{align*}

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.

\begin{align*}
y’ &= \frac{3x^2-8xy + y}{4x^2-x} \\
&= \frac{3x^2-8x \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right) + \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right)}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x} + \frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4 + 8x) + (x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2}
\end{align*}

Nah, akhirnya kita memperoleh hasil yang sama. Selanjutnya, kita akan berlatih menyelesaikan soal-soal lainnya.

CONTOH
Tentukan \(y’\) dari \(xy+\sin{xy}=1\).

Pembahasan
Sama seperti contoh sebelumnya, kita turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
(y+xy’) + \cos{xy} (y+xy’)&=1 \\
y+xy’ + y \cos{xy} + xy’ \cos{xy}&=1
\end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan \(-y-y\cos{xy}\), sehingga diperoleh

\begin{align*}
xy’ + xy’ \cos{xy}&=1-y-y\cos{xy} \\
y’ (x + x \cos{xy})&=1-y-y\cos{xy} \\
y’ &=\frac{1-y-y\cos{xy}}{x + x \cos{xy}}
\end{align*}

Diperoleh nilai \(y’\) dari fungsi tersebut. Kita beralih ke soal berikutnya.

CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung fungsi \(y+\cos{xy^2}+3x^2=4\) pada titik (1, 0).

Pembahasan
Pertama, kita tentukan nilai \(y’\). Turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
y’+(-\sin{xy^2})(y^2 + 2xyy’)+6x&=0 \\
y’-y^2\sin{xy^2}-2xyy’\sin{xy^2}+6x&=0
\end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan \(-6x+y^2\sin{xy^2}\), sehingga diperoleh

\begin{align*}
y’-2xyy’\sin{xy^2}&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\
y'(1-2xy\sin{xy^2})&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\
y’&=\frac{-6x+y^2\sin{xy^2}}{1-2xy\sin{xy^2}}
\end{align*}

Selanjutnya, kita tentukan gradien garis singgung fungsi pada titik (1, 0), dengan mensubstitusi koordinat titik tersebut pada \(y’\).

\begin{align}
y’&=\frac{-6 \cdot 1+0^2 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}}{1-2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}} \\
&= \frac{-6+0}{1-0} \\
&= -6
\end{align}

Diperoleh gradien garis singgung di titik (1, 0) adalah -6. Persamaan garis singgung yang melalui titik (1, 0) dengan gradien 6 adalah

\begin{align*}
y-0&=-6(x-1) \\
y&=-6x+6
\end{align*}

Jadi, persamaan garis singgung fungsi tersebut di titik (1, 0) adalah \(y=-6x+6\).

Demikianlah pembahasan mengenai turunan implisit. Semoga bermanfaat.

Menentukan Turunan Fungsi dengan Aturan Rantai

Cara menentukan turunan fungsi dengan aturan rantai
Aturan rantai digunakan untuk menentukan turunan fungsi komposisi. Misalnya kita akan mencari turunan dari \((x+2)^3\). Untuk menentukan turunan fungsi tersebut, kita bisa saja mengalikan \((x+2)\) terlebih dahulu sebanyak tiga kali. Sampai di sini, kegunaan aturan rantai belum begitu terasa. Akan tetapi, coba bayangkan jika fungsi yang akan dicari turunannya adalah \(g(x)=(x+2)^{10}\). Sangat tidak efisien, jika kita kita menguraikannya terlebih dahulu. Risiko kesalahannya pun menjadi lebih besar.

Contoh di atas masih dapat diselesaikan tanpa menggunakan aturan rantai, meskipun akan memakan waktu yang cukup lama. Namun, terdapat fungsi-fungsi tertentu yang memang sulit atau bahkan tidak bisa dicari turunannya tanpa menggunakan aturan rantai. Salah satunya adalah fungsi \(f(x)=\sqrt{2x^2 +1}\).

Nah, melalui uraian di atas, kita pasti menyadari bahwa aturan rantai sangat membantu dalam menentukan turunan suatu fungsi. Selanjutnya, kita akan membahas lebih lanjut tentang aturan rantai, termasuk bagaimana penerapan aturan rantai dalam menentukan turunan fungsi.

Fungsi yang akan dicari turunannya dengan aturan rantai tidak mesti ditulis secara eksplisit sebagai komposisi dari beberapa fungsi. Jika dilihat secara langsung, \(f(x)=x^2 +4x+4\) bukanlah fungsi komposisi. Tetapi, fungsi ini dapat ditulis sebagai \(f(x)=(x+2)^2\) yang merupakan komposisi dari fungsi \(g(x)=x^2\) dan \(h(x)=x+2\). Karenanya, turunan \(f(x)\) ini dapat dicari dengan aturan rantai, meskipun lebih mudah jika dicari secara langsung. \(f(x)=\sin \left( \cos 2x \right)\) juga merupakan fungsi komposisi. \(f(x)\) dapat ditulis sebagai \(\left( g \circ h \circ i \right) \left( x \right)\), dengan \(g(x)= \sin x\), \(h(x)= \cos x\), dan \(i(x)=2x\).

Aturan Rantai
Misalkan \(y=f(u)\) dan \(u=g(x)\). Jika \(g\) terdiferensialkan pada \(x\) dan \(f\) terdiferensialkan pada \(u=g(x)\), maka fungsi komposisi \(f \circ g\) yang didefinisikan sebagai \(\left( f \circ g \right) \left( x \right) = f \left( g\left( x \right) \right)\) terdiferensialkan pada \(x\), dengan

\begin{align*}
D_x \left( f \left( g\left( x \right) \right) \right) = f’ \left( g \left( x \right) \right) g’ \left( x \right)
\end{align*}

atau

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\end{align*}

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa seakan-akan \(du\) pada ruas kanan dapat dicoret, sehingga ruas kanan menjadi sama persis dengan ruas kiri. Meskipun, sebenarnya tidak seperti ini, tetapi hal ini dapat memudahkan kita dalam mengingat aturan rantai pada turunan. Berikut adalah beberapa contoh penerapan aturan rantai.

Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=(2x+1)^{10}\).

Solusi:
Pertama, tulis fungsi di atas sebagai \(y=(2x+1)^{10}\).
Selanjutnya, kita misalkan \(u=2x+1\), sehingga \(y=u^{10}\).
Tentukan turunan masing-masing fungsi.

\begin{align*}
u &= 2x+1 \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
y &= u^{10} \Longrightarrow \frac{dy}{du}=10u^9
\end{align*}

Dengan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 10u^9 \cdot 2 \\
&= 20u^9 \\
&= 20 (2x+1)^9
\end{align*}

Jadi, turunan pertama \(f(x)\) adalah \(f'(x)= 20 (2x+1)^9\).

Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin 7x\).

Solusi:
Pertama, kita misalkan \(u=7x\), sehingga \(y= \sin u\).
Tentukan turunan kedua fungsi di atas.

\begin{align*}
u &= 7x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=7 \\
y &= \sin u \Longrightarrow \frac{dy}{du}= \cos u
\end{align*}

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= \left( \cos u \right) \cdot 7 \\
&= 7 \cos u \\
&= 7 \cos 7x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin 7x\) adalah \(y’ = 7 \cos 7x\).

Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\).

Fungsi di atas merupakan komposisi dari tiga buah fungsi. Tulis \(y= \left( \sin 2x \right) ^3\). Misalkan \(u=2x\), \(v= \sin u\), dan \(y= v^3\). Untuk pemisalan, kita mulai dari fungsi yang letaknya lebih dalam, diikuti oleh fungsi-fungsi yang berada di luarnya.
Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut.

\begin{align*}
u &= 2x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
v &= \sin u \Longrightarrow \frac{dv}{du}= \cos u \\
y &= v^3 \Longrightarrow \frac{dy}{dv}= 3v^2
\end{align*}

Selanjutnya, kita gunakan aturan rantai.

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 3v^2 \cdot \left( \cos u \right) \cdot 2 \\
&= 6 v^2 \cos u \\
\end{align*}

Turunan fungsi di atas masih memuat variabel \(u\) dan \(v\). Ingat bahwa \(u=2x\) dan \(v = \sin u = \sin 2x\). Akibatnya

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= 6 v^2 \cos u \\
&= 6 \cdot \left( \sin 2x \right) ^2 \cdot \cos 2x \\
&= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\) adalah \(y’= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x\).

Semoga Bermanfaat!

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}
\end{align*}

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah

\begin{align*}
x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
x_2 &= \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{align*}

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{-2b}{2a} \\
&= – \frac{b}{a}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{(-b)^2 – (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\
&= \frac{b^2 – (b^2 -4ac)}{4a^2} \\
&= \frac{4ac}{4a^2} \\
&= \frac{c}{a}
\end{align*}

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat \(2x^2 -4x +3=0\). Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=3\). Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan \(x_1\) dan \(x_2\). Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2}
\end{align*}

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah \(2\) dan \(\frac{3}{2}\).

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 -(2p+1)x+p=0\) merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-2p-1\), dan \(c=p\).
Misalkan akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\). Karena akar-akarnya berkebalikan, maka \(x_2 = \frac{1}{x_1}\).

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\
x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\
1 &= \frac{p}{2} \\
p &= 2
\end{align*}

Diperoleh \(p=2\). Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{(-2p-1)}{2} \\
&= \frac{2p+1}{2}
\end{align*}

Karena \(p=2\), maka diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}

CONTOH 3
Persamaan kuadrat \(px^2 -(p+1)x+1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui \(a=p\), \(b=p-1\), \(c=1\), dan \(x_2=2 x_1\). Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 + 2 x_1 &= – \frac{(-p-1)}{p} \\
3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\
x_1 &= \frac{p+1}{3p}
\end{align*}

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\
x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\
2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\
{x_1}^2 &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Substitusi nilai \(x_1\) yang diperoleh, pada persamaan di atas.
\begin{align*}
\left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\
\frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(18p^2\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
2p^2 +4p+2 &= 9p \\
2p^2 -5p+2 &= 0
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂