Menentukan Turunan Fungsi dengan Aturan Rantai

Aturan rantai digunakan untuk menentukan turunan fungsi komposisi. Misalnya kita akan mencari turunan dari \((x+2)^3\). Untuk menentukan turunan fungsi tersebut, kita bisa saja mengalikan \((x+2)\) terlebih dahulu sebanyak tiga kali. Sampai di sini, kegunaan aturan rantai belum begitu terasa. Akan tetapi, coba bayangkan jika fungsi yang akan dicari turunannya adalah \(g(x)=(x+2)^{10}\). Sangat tidak efisien, jika kita kita menguraikannya terlebih dahulu. Risiko kesalahannya pun menjadi lebih besar.

Contoh di atas masih dapat diselesaikan tanpa menggunakan aturan rantai, meskipun akan memakan waktu yang cukup lama. Namun, terdapat fungsi-fungsi tertentu yang memang sulit atau bahkan tidak bisa dicari turunannya tanpa menggunakan aturan rantai. Salah satunya adalah fungsi \(f(x)=\sqrt{2x^2 +1}\).

Nah, melalui uraian di atas, kita pasti menyadari bahwa aturan rantai sangat membantu dalam menentukan turunan suatu fungsi. Selanjutnya, kita akan membahas lebih lanjut tentang aturan rantai, termasuk bagaimana penerapan aturan rantai dalam menentukan turunan fungsi.

Fungsi yang akan dicari turunannya dengan aturan rantai tidak mesti ditulis secara eksplisit sebagai komposisi dari beberapa fungsi. Jika dilihat secara langsung, \(f(x)=x^2 +4x+4\) bukanlah fungsi komposisi. Tetapi, fungsi ini dapat ditulis sebagai \(f(x)=(x+2)^2\) yang merupakan komposisi dari fungsi \(g(x)=x^2\) dan \(h(x)=x+2\). Karenanya, turunan \(f(x)\) ini dapat dicari dengan aturan rantai, meskipun lebih mudah jika dicari secara langsung. \(f(x)=\sin \left( \cos 2x \right)\) juga merupakan fungsi komposisi. \(f(x)\) dapat ditulis sebagai \(\left( g \circ h \circ i \right) \left( x \right)\), dengan \(g(x)= \sin x\), \(h(x)= \cos x\), dan \(i(x)=2x\).

Aturan Rantai
Misalkan \(y=f(u)\) dan \(u=g(x)\). Jika \(g\) terdiferensialkan pada \(x\) dan \(f\) terdiferensialkan pada \(u=g(x)\), maka fungsi komposisi \(f \circ g\) yang didefinisikan sebagai \(\left( f \circ g \right) \left( x \right) = f \left( g\left( x \right) \right)\) terdiferensialkan pada \(x\), dengan

\begin{align*}
D_x \left( f \left( g\left( x \right) \right) \right) = f’ \left( g \left( x \right) \right) g’ \left( x \right)
\end{align*}

atau

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\end{align*}

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa seakan-akan \(du\) pada ruas kanan dapat dicoret, sehingga ruas kanan menjadi sama persis dengan ruas kiri. Meskipun, sebenarnya tidak seperti ini, tetapi hal ini dapat memudahkan kita dalam mengingat aturan rantai pada turunan. Berikut adalah beberapa contoh penerapan aturan rantai.

Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=(2x+1)^{10}\).

Solusi:
Pertama, tulis fungsi di atas sebagai \(y=(2x+1)^{10}\).
Selanjutnya, kita misalkan \(u=2x+1\), sehingga \(y=u^{10}\).
Tentukan turunan masing-masing fungsi.

\begin{align*}
u &= 2x+1 \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
y &= u^{10} \Longrightarrow \frac{dy}{du}=10u^9
\end{align*}

Dengan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 10u^9 \cdot 2 \\
&= 20u^9 \\
&= 20 (2x+1)^9
\end{align*}

Jadi, turunan pertama \(f(x)\) adalah \(f'(x)= 20 (2x+1)^9\).

Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin 7x\).

Solusi:
Pertama, kita misalkan \(u=7x\), sehingga \(y= \sin u\).
Tentukan turunan kedua fungsi di atas.

\begin{align*}
u &= 7x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=7 \\
y &= \sin u \Longrightarrow \frac{dy}{du}= \cos u
\end{align*}

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= \left( \cos u \right) \cdot 7 \\
&= 7 \cos u \\
&= 7 \cos 7x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin 7x\) adalah \(y’ = 7 \cos 7x\).

Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\).

Fungsi di atas merupakan komposisi dari tiga buah fungsi. Tulis \(y= \left( \sin 2x \right) ^3\). Misalkan \(u=2x\), \(v= \sin u\), dan \(y= v^3\). Untuk pemisalan, kita mulai dari fungsi yang letaknya lebih dalam, diikuti oleh fungsi-fungsi yang berada di luarnya.
Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut.

\begin{align*}
u &= 2x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
v &= \sin u \Longrightarrow \frac{dv}{du}= \cos u \\
y &= v^3 \Longrightarrow \frac{dy}{dv}= 3v^2
\end{align*}

Selanjutnya, kita gunakan aturan rantai.

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 3v^2 \cdot \left( \cos u \right) \cdot 2 \\
&= 6 v^2 \cos u \\
\end{align*}

Turunan fungsi di atas masih memuat variabel \(u\) dan \(v\). Ingat bahwa \(u=2x\) dan \(v = \sin u = \sin 2x\). Akibatnya

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= 6 v^2 \cos u \\
&= 6 \cdot \left( \sin 2x \right) ^2 \cdot \cos 2x \\
&= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\) adalah \(y’= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x\).

Semoga Bermanfaat!

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}
\end{align*}

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah

\begin{align*}
x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
x_2 &= \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{align*}

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{-2b}{2a} \\
&= – \frac{b}{a}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{(-b)^2 – (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\
&= \frac{b^2 – (b^2 -4ac)}{4a^2} \\
&= \frac{4ac}{4a^2} \\
&= \frac{c}{a}
\end{align*}

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat \(2x^2 -4x +3=0\). Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=3\). Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan \(x_1\) dan \(x_2\). Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2}
\end{align*}

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah \(2\) dan \(\frac{3}{2}\).

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 -(2p+1)x+p=0\) merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-2p-1\), dan \(c=p\).
Misalkan akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\). Karena akar-akarnya berkebalikan, maka \(x_2 = \frac{1}{x_1}\).

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\
x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\
1 &= \frac{p}{2} \\
p &= 2
\end{align*}

Diperoleh \(p=2\). Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{(-2p-1)}{2} \\
&= \frac{2p+1}{2}
\end{align*}

Karena \(p=2\), maka diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}

CONTOH 3
Persamaan kuadrat \(px^2 -(p+1)x+1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui \(a=p\), \(b=p-1\), \(c=1\), dan \(x_2=2 x_1\). Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 + 2 x_1 &= – \frac{(-p-1)}{p} \\
3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\
x_1 &= \frac{p+1}{3p}
\end{align*}

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\
x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\
2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\
{x_1}^2 &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Substitusi nilai \(x_1\) yang diperoleh, pada persamaan di atas.
\begin{align*}
\left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\
\frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(18p^2\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
2p^2 +4p+2 &= 9p \\
2p^2 -5p+2 &= 0
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

CONTOH
Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\) dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Bentuklah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
3. \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).
4. \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

SOLUSI
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = x_1 +2\) dan \(\beta = x_2 +2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= (x_1 +2) + (x_2 +2) \\
&= (x_1 + x_2) +4 \\
&= 1 + 4 \\
&= 5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= (x_1 +2) \cdot (x_2 +2) \\
&= x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4 \\
&= 3+2 \cdot 1 +4 \\
&= 9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 -5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x+2\) yang berakibat \(x=y-2\). Substitusi \(x=y-2\) ke persamaan kuadrat yang lama

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(y-2)^2 -(y-2)+3 &= 0 \\
(y^2 -4y+4) -(y-2)+3 &= 0 \\
y^2 -5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 -5y+9=0\)

2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = {x_1}^2\) dan \(\beta = {x_2}^2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= {x_1}^2 + {x_2}^2 \\
&= (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 \\
&= 1^2 – 2 \cdot 3 \\
&= -5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 \\
&= (x_1 \cdot x_2)^2 \\
&= 3^2 \\
&=9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 +5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x^2\) yang berakibat \(x= \sqrt{y}\). Substitusi \(x= \sqrt{y}\) ke persamaan kuadrat yang lama.

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3 &= 0 \\
y – \sqrt{y} +3 &= 0 \\
y+3 &= \sqrt{y}
\end{align*}

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
\begin{align*}
(y+3)^2 &= (\sqrt{y})^2 \\
y^2 +6y+9 &= y \\
y^2 +5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 +5y+9=0\).

3. akar-akarnya \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\beta = \frac{1}{x_2 -2}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2} \\
&=\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)} \\
&= \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&= – \frac{3}{5}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2} \\
&= \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&=\frac{1}{5}
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0\).

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=\frac{1}{x-2}\) atau \(x= \frac{1}{y} +2\). Substitusi \(x= \frac{1}{y} +2\) ke persamaan kuadrat yang lama.
\begin{align*}
\left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5 &= 0
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(y^2\), sehingga diperoleh \(5y^2 +3y +1=0\)
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(5y^2 +3y +1=0\).

4. akar-akarnya \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{x_1}{x_2}\) dan \(\beta = \frac{x_2}{x_1}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \\
&= \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{(x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{1^2 – 2 \cdot 3}{3} \\
&= – \frac{5}{3}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0\).

Menentukan Turunan Fungsi dengan Menggunakan Definisi Turunan

Pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), kita telah mempelajari cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan beberapa teorema. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara lain dalam menentukan turunan suatu fungsi, yaitu menggunakan definisi turunan fungsi. Cara ini terbilang lebih rumit dibanding menggunakan teorema. Akan tetapi, jika kita memang tertarik dengan matematika, apalagi jika kuliah di jurusan matematika, kita perlu menguasai cara ini sebelum menentukan turunan fungsi menggunakan teorema.

DEFINISI
Turunan fungsi \(f\) yang dinotasikan sebagai \(f’\), merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

CONTOH 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=x^2\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2 + h^2 + 2hx) – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h^2 + 2hx}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(h + 2x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} h + 2x \\
&= 2x
\end{align*}

CONTOH 2
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{1}{x^2 + 1}\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} – \frac{1}{x^2 + 1}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [x^2+h^2+2hx+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(-h-2x)}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h-2x}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-0-2x}{[(x+0)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-2x}{(x^2+1)\cdot(x^2+1)} \\
&= -\frac{2x}{(x^2+1)^2}
\end{align*}

Dari dua contoh di atas, terlihat bahwa kita selalu dihadapkan pada limit hasil bagi, dengan pembilang dan penyebut sama-sama menuju nol. Tugas kita adalah melakukan penyederhanan, sehingga faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut. Dengan ini, kita dapat menentukan limitnya dengan melakukan substitusi.

CONTOH 3
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \sqrt{x}, \: x \ge 0\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}
\end{align*}

Agar faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut, kita perlu merasionalkan pembilangnya.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{x+h – x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}
\end{align*}

Karena faktor \(h\) sudah dicoret dari pembilang dan penyebut, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

Selain dengan definisi di atas, turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan bentuk ekuivalen definisi di atas. Perhatikan kembali definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Dengan mensubstitusi \(h=t-x\) dan \(x+h=t\) pada persamaan di atas, diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t-x \to 0}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

Selanjutnya, \(t-x\) mendekati 0 artinya nilai \(t\) mendekati nilai \(x\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

CONTOH 4
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{x}{x-5}\)

SOLUSI
Kita akan menentukan turunannya dengan menggunakan bentuk ekuivalen dari definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{\frac{t}{t-5} – \frac{x}{x-5}}{t-x}
\end{align*}

Kita belum dapat melakukan substitusi, karena jika t mendekati x, maka nilai pembilang dan penyebut di atas mendekati 0. Kita harus melakukan penyederhanaan, sehingga faktor \((t-x)\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{t(x-5) – x(t-5)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{tx – 5t – tx + 5x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5t + 5x}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5(t – x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5}{(t-5)(x-5)}
\end{align*}

Setelah mencoret faktor \((t-x)\), maka nilai limit di atas dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{- 5}{(x-5)(x-5)} \\
&= -\frac{5}{(x-5)^2}
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂

Merentang (Membangun)

Jika \(S=\{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}\) merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

\begin{align*}
W=span(S)=span \{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}
\end{align*}

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika \(V=span(S)\), dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan \(S=\{(1,0),(0,1)\}\) merentang \(\mathbb{R}^2\), karena setiap vektor \((a,b)\) yang ada di \(\mathbb{R}^2\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

\begin{align*}
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)
\end{align*}

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan \(\{(-1,0),(0,1)\}\) juga merentang \(\mathbb{R}^2\).

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1
Periksa apakah \(S=\{(1,1,2),(1,0,1),(2,1,3)\}\) merentang ruang vektor \(\mathbb{R}^3\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\). Tulis \(\vec{v} =(a,b,c)\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{v}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

v ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_1 + k_3 =b \\
2k_1 + k_2 + 3k_3 =c
\end{align*}

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \(\mathbb{R}^3\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 2\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 1

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

Alternatif:

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
1 & 0 & 1 & b\\
2 & 1 & 3 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & -1 & -1 & -a+b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dengan (-1).

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & 0 & 0 & -a-b+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_2 + k_3 =a-b \\
-a-b+c=0
\end{align*}

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika \(-a-b+c=0\). Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Diketahui \(\vec{p_1}=1+x+x^2\), \(\vec{p_2}= 1+x^2\), dan \(\vec{p_3}= 1+2x\).
Periksa apakah \(S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}\) merentang \(P_2\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{p} \in P_2\). Tulis \(\vec{p} = a +bx+cx^2\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{p}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

p ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_1+2k_3 =b \\
k_1+k_2 =c
\end{align*}

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 0\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 2

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang \(P_2\).

Alternatif:

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
1 & 0 & 2 & b\\
1 & 1 & 0 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & -1 & 1 & -a+b\\
0 & 0 & -1 & -a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & -1 & a-b\\
0 & 0 & 1 & a-c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_2 – k_3 =a-b \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Dengan substitusi balik, diperoleh

\begin{align*}
k_1 =-2a +b+2c \\
k_2 =2a-b-c \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang \(P_2\).