10 Aksioma Ruang Vektor

Sebelum masuk ke pembahasan, saya ingin menegaskan bahwa pembahasan kita pada artikel ini terbatas pada ruang vektor atas lapangan \mathbb{R}. Dengan kata lain, kita akan membahas 10 aksioma yang dipenuhi oleh suatu ruang vektor real.

DEFINISI
Misalkan V adalah sebuah himpunan tak kosong dan \mathbb{R} adalah himpunan bilangan real. Pada himpunan V berlaku dua jenis operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. Operasi penjumlahan adalah sebuah aturan yang mengasosiasikan objek \vec{u} dan \vec{v} di V dengan suatu objek \vec{u} + \vec{v}, yang disebut jumlah \vec{u} dan \vec{v}. Operasi perkalian skalar adalah sebuah aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k, dalam hal ini k merupakan bilangan real, dan objek \vec{u} di V dengan suatu objek k \vec{u}, yang disebut kelipatan skalar dari \vec{u} oleh k. Himpunan V disebut sebagai ruang vektor atas lapangan \mathbb{R}, jika sebarang objek \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} di V dan sebarang skalar k dan m, memenuhi 10 aksioma berikut ini.

  1. Jika \vec{u} dan \vec{v} adalah objek di V, maka \vec{u} + \vec{v} juga berada di V.
  2. \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  3. \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}.
  4. Terdapat objek \vec{0} di V, sedemikian sehingga \vec{0} + \vec{u} = \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  5. Untuk setiap \vec{u} \in V, terdapat objek -\vec{u} di V, sedemikian sehingga \vec{u} + (-\vec{u}) = (-\vec{u}) + \vec{u} = \vec{0}.
  6. Jika k adalah sebarang skalar dan \vec{u} adalah sebarang objek di V, maka k \vec{u} juga berada di V.
  7. k(\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}
  8. (k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}
  9. k(m \vec{u}) = (km) \vec{u}
  10. 1 \vec{u} = \vec{u}

Salah satu hal yang perlu diperhatikan saat mengecek apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor, adalah operasi yang berlaku pada himpunan tersebut. Operas penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang berlaku tidak disyaratkan sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa (standar), terkadang operasi yang berlaku pada suatu himpunan didefinisikan sendiri.

Misalnya operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada \mathbb{R}^2 adalah

(u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) = (u_1 + v_1 , u_2 + v_2)
k(u_1 , u_2) = (ku_1 , ku_2)

Tetapi kedua operasi ini juga bisa didefinisikan sendiri, misalnya

(u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) = (u_1 + v_1 - 1 , u_2 + v_2 - 1)
k(u_1 , u_2) = (0 , ku_2)

Selain itu, objek \vec{0} dan - \vec{u} tidak selalu sama dengan vektor nol dan negatif dari vektor yang selama ini kita kenal, misalnya \vec{0} = (0,0,...,0) dan - \vec{u} = ( -u_1 , -u_2, ..., -u_n ) pada \mathbb{R}^n dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar. Kedua vektor ini bergantung pada operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku pada himpunan tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kita masuk ke contoh soal.

CONTOH 1
Periksa apakah himpunan V yang berisi semua matriks 2 \times 2 dengan entri-entri bilangan real merupakan ruang vektor, jika operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku adalah operasi standar pada matriks.

Ambil sebarang \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V dan k,m \in \mathbb{R}. Tulis

\vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] , \quad u_1 , u_2 , u_3, u_4 \in \mathbb{R}

\vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] , \quad v_1 , v_2 , v_3, v_4 \in \mathbb{R}

\vec{w} = \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] , \quad w_1 , w_2 , w_3, w_4 \in \mathbb{R}

Aksioma 1

\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]

Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, sehingga

u_1 + v_1 , \: u_2 + v_2 , \: u_3 + v_3 , \: u_4 + v_4 \in \mathbb{R}.

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka \vec{u} + \vec{v} \in V.

Aksioma 2

\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right]

\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]

Pada bilangan real, berlaku sifat komutatif, sehingga

\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 + u_1 & v_2 + u_2\\ v_3 + u_3 & v_4 + u_4\end{array} \right]

\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Aksioma 3

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left(  \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] \right)

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{rr} v_1 + w_1 & v_2 + w_2\\ v_3 + w_3 & v_4 + w_4\end{array} \right]

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + (v_1 + w_1) & u_2 + (v_2 + w_2)\\ u_3 + (v_3 + w_3) & u_4 + (v_4 + w_4)\end{array} \right]

Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif, sehingga

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} (u_1 + v_1) + w_1 & (u_2 + v_2) + w_2\\ (u_3 + v_3) + w_3 & (u_4 + v_4) + w_4\end{array} \right]

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right] +  \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right]

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right) +  \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right]

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = ( \vec{u} + \vec{v} ) + \vec{w}

Aksioma 4

Terdapat

\vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] \in V

sedemikian sehingga

\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 &0\end{array} \right]

\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + 0 & u_2 + 0\\ u_3 + 0 & u_4 + 0\end{array} \right]

\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] = \vec{u}

Aksioma 5

Untuk setiap \vec{u}, terdapat

- \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right] \in V

sedemikian sehingga

\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right]

\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + (-u_1) & u_2 + (-u_2)\\ u_3 + (-u_3)& u_4 + (-u_4)\end{array} \right]

\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] = \vec{0}

Aksioma 6

k \vec{u} = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

k \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right]

Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, sehingga

ku_1 , \: ku_2 , \: ku_3 , \: ku_4 \in \mathbb{R}.

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka k \vec{u} \in V

Aksioma 7

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} k(u_1 + v_1) & k(u_2 + v_2)\\ k(u_3 + v_3) & k(u_4 + v_4)\end{array} \right]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + kv_1 & ku_2 + kv_2\\ ku_3 + kv_3 & ku_4 + kv_4\end{array} \right]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} kv_1 & kv_2\\ kv_3 & kv_4\end{array} \right]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + k \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \vec{u} + k \vec{v}

Aksioma 8

(k+m) \vec{u} = (k+m) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

(k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} (k+m)u_1 & (k+m)u_2\\ (k+m)u_3 & (k+m)u_4\end{array} \right]

(k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + mu_1 & ku_2 + mu_2\\ ku_3 + mu_3 & ku_4 + mu_4\end{array} \right]

(k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right]

(k+m) \vec{u} = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

(k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}

Aksioma 9

k (m \vec{u}) = k \left( m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \right)

k (m \vec{u}) = k \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right]

k (m \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} k(mu_1 ) & k(mu_2 )\\ k(mu_3 ) & k(mu_4 )\end{array} \right]

Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian, sehingga

k (m \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} (km)u_1 & (km)u_2\\ (km)u_3 & (km)u_4\end{array} \right]

k (m \vec{u}) = (km) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

k (m \vec{u}) = (km) \vec{u}

Aksioma 10

1 \vec{u} = 1 \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

1 \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} 1 \cdot u_1 & 1 \cdot u_2\\ 1 \cdot u_3 & 1 \cdot u_4\end{array} \right]

1 \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]

1 \vec{u} = \vec{u}

Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma di atas, maka himpunan matriks 2 \times 2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar merupakan ruang vektor.

Selanjutnya, kita masuk ke contoh kedua. Kali ini, operasi yang diberikan bukanlah operasi standar.

CONTOH 2

Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk (1,a). Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.

(1,u_1 ) + (1,v_1 ) = (1,u_1 + v_1 )
k(1,u_1)=(1,ku_1)

Ambil sebarang \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V dan k,m \in \mathbb{R}. Tulis

\vec{u}=(1, u_1), \quad u_1 \in \mathbb{R}
\vec{v}=(1, v_1), \quad v_1 \in \mathbb{R}
\vec{w}=(1, w_1), \quad w_1 \in \mathbb{R}

Aksioma 1

\vec{u} + \vec{v} = (1, u_1) + (1, v_1) = (1,u_1 + v_1 )

Pada operasi penjumlahan bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga u_1 + v_1 \in \mathbb{R}.
Karena komponen pertamanya adalah 1 dan u_1 + v_1 \in \mathbb{R}, maka \vec{u}+\vec{v} \in \mathbb{R}.

Aksioma 2

\vec{u} + \vec{v} = (1, u_1) + (1, v_1) = (1,u_1 + v_1 )

Berdasarkan sifat komutatif pada bilangan real, u_1 + v_1 =v_1 + u_1, sehingga

\vec{u} + \vec{v} = (1,v_1 + u_1 )

\vec{u} + \vec{v} = (1, v_1) + (1, u_1)=\vec{v} + \vec{u}

Aksioma 3

\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = (1, u_1) + [(1, v_1)+(1, w_1)]

\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = (1, u_1) + (1,v_1 + w_1 )=(1,u_1 + [v_1 + w_1 ])

Berdasarkan sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan real diperoleh

\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) =(1,[u_1 + v_1 ] + w_1 ) = (1,u_1 + v_1 ) + (1,w_1 )

\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = [(1, u_1) + (1, v_1)]+(1, w_1) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}

Aksioma 4

Terdapat \vec{0} = (1,0) \in V, sedemikian sehingga

\vec{u} + \vec{0} = (1, u_1) + (1, 0)

\vec{u} + \vec{0} = (1,u_1 + 0 )=(1, u_1)=\vec{u}

Aksioma 5

Untuk setiap \vec{u}=(1,u_1) \in V, terdapat -\vec{u} = (1, -u_1 ) \in V sedemikian sehingga

\vec{u} + (-\vec{u}) = (1,u_1) + (1, -u_1 )

\vec{u} + (-\vec{u}) = (1,u_1 + (-u_1)) = (1, 0) = \vec{0}

Aksioma 6

k \vec{u}  = k(1,u_1 )=(1,ku_1)

Pada operasi perkalian bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga ku_1 \in \mathbb{R}.
Karena komponen pertamanya adalah 1 dan ku_1 \in \mathbb{R}, maka k \vec{u} \in \mathbb{R}.

Aksioma 7

k (\vec{u} + \vec{v})=k[(1, u_1) + (1, v_1)]

k (\vec{u} + \vec{v})=k[(1, u_1 + v_1 )]

k (\vec{u} + \vec{v})=(1, k[u_1 + v_1 ])

k (\vec{u} + \vec{v})=(1, ku_1 + kv_1 )

k (\vec{u} + \vec{v})=(1, ku_1) + (1, kv_1)

k (\vec{u} + \vec{v})=k(1, u_1) + k(1, v_1)

k (\vec{u} + \vec{v})=k \vec{u} + k \vec{v}

Aksioma 8

(k+m) \vec{u} = [k+m](1,u_1)

(k+m) \vec{u} = (1,[k+m]u_1)

(k+m) \vec{u} = (1,ku_1 + mu_1)

(k+m) \vec{u} = (1,ku_1)+(1,mu_1)

(k+m) \vec{u} = k(1,u_1)+ m(1,u_1)

(k+m) \vec{u} = k \vec{u}+ m \vec{u}

Aksioma 9

k(m\vec{u})=k[m(1,u_1)]

k(m\vec{u})=k(1,mu_1)

k(m\vec{u})=(1,k[mu_1])

k(m\vec{u})=(1,[km]u_1)

k(m\vec{u})=[km](1,u_1)

k(m\vec{u})=(km) \vec{u}

Aksioma 10

1 \vec{u} = 1(1,u_1)= (1, 1 \cdot u_1)=(1,u_1)=\vec{u}

Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan V dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

CONTOH 3

Himpunan bilangan real positif, dengan operasi

\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v) = (uv)
k \vec{u} = k(u)=u^k

Misalkan himpunan tersebut adalah V.
Ambil sebarang \vec{u},\vec{v},\vec{w} \in V dan k,m \in \mathbb{R}. Tulis

\vec{u} = (u)
\vec{v} = (v)
\vec{w} = (w)

Aksioma 1

\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v) = (uv)

Karena uv merupakan bilangan real positif, maka

\vec{u} + \vec{v} \in V

Aksioma 2

\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v)

\vec{u} + \vec{v} = (uv)

\vec{u} + \vec{v} = (vu)

\vec{u} + \vec{v} = (v) + (u)

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Aksioma 3

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u) + [ (v) + (w) ]

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u) + (vw)

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u[vw])

Pada bilangan real, berlaku sifat asosiatif dan komutatif terhadap operasi perkalian, sehingga

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = ([uv]w)

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (uv) + (w)

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = [(u) + (v)] + (w)

\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}

Aksioma 4

Terdapat \vec{0} = (1) \in V, sedemikian sehingga

\vec{u} + \vec{0} = (u) + (1)

\vec{u} + \vec{0} = (u \cdot 1)

\vec{u} + \vec{0} = (u) = \vec{u}

Aksioma 5

Untuk setiap \vec{u} = (u) \in V, terdapat

-\vec{u} = (\frac{1}{u}) \in V

sedemikian sehingga

\vec{u} + (-\vec{u}) = (u) + (\frac{1}{u})

\vec{u} + (-\vec{u}) = (u \cdot \frac{1}{u})

\vec{u} + (-\vec{u}) = (1) = \vec{0}

Aksioma 6

k \vec{u} = k(u) = (u^k)

Karena u^k \in \mathbb{R}^+, maka k \vec{u} \in V.

Aksioma 7

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k [(u) + (v)]

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k (uv)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = ([uv]^k)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = (u^k v^k)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = (u^k) + (v^k)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k(u) + k(v)

k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \vec{u} + k \vec{v}

Aksioma 8

(k+m) \vec{u} = [k+m] (u)

(k+m) \vec{u} = (u^{k+m})

(k+m) \vec{u} = (u^k u^m)

(k+m) \vec{u} = (u^k) + (u^m)

(k+m) \vec{u} = k(u) + m(u)

(k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}

Aksioma 9

k(m \vec{u}) = k[ m (u)]

k(m \vec{u}) = k(u^m)

k(m \vec{u}) = ([u^m]^k)

k(m \vec{u}) = (u^{mk})

k(m \vec{u}) = (u^{km})

k(m \vec{u}) = [km] (u) = (km) \vec{u}

Aksioma 10

1 \vec{u} = 1 (u) = (u^1)=(u)=\vec{u}

Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka himpunan bilangan real positif dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

Oh iya. Untuk menentukan bahwa suatu himpunan tidak termasuk ruang vektor, kita tidak perlu menuliskan kesepuluh aksioma dan mengecek keberlakuannya satu per satu. Kita cukup menunjukkan aksioma mana saja yang tidak dipenuhi oleh himpunan tersebut. Misalnya pada contoh berikut ini.

CONTOH 4

Himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan standar, tetapi operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai

k(u_1 , u_2) = (0 , ku_2)

Himpunan V bukan termasuk ruang vektor, karena aksioma 10 tidak berlaku pada semua vektor di himpunan V.

Misalkan \vec{u} = (u_1 , u_2 ) \in V, dengan u_1 \neq 0

Perhatikan bahwa

1 \vec{u} = 1(u_1 , u_2 )=(0, 1 \cdot u_1)=(0,u_1) \neq \vec{u}

Jadi, himpunan V dengan operasi yang diberikan bukanlah ruang vektor.

Dengan keempat contoh di atas, sepertinya sudah ada gambaran bagaimana memeriksa apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan.

Satu lagi, \vec{0} dan -\vec{u} pada aksioma 4 dan aksioma 5 bukan sekadar hasil tebakan atau muncul tiba-tiba yah. Ada prosedur matematis untuk menentukan kedua vektor ini.

Perhatikan kembali contoh 2.

Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk (1,a). Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.

(1,u_1 ) + (1,v_1 ) = (1,u_1 + v_1 )
k(1,u_1)=(1,ku_1)

Himpunan V berisi pasangan bilangan real berbentuk (1,a), sehingga \vec{0} dan -\vec{u} secara berturut-turut adalah (1,x) dan (1,y) untuk suatu bilangan real x dan y.
Karena \vec{0} adalah elemen identitas, maka berlaku

\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}

(1 , u_1) + (1,x)=(1,u_1)

(1 , u_1 + x)=(1,u_1)

Diperoleh u_1 +x=u_1, sehingga x=0.
Jadi, \vec{0}=(1,0)

Selanjutnya, karena -\vec{u} adalah invers penjumlahan dari \vec{u}, maka

\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}

(1,u_1) + (1,y) = (1,0)

(1,u_1 + y) = (1,0)

Diperoleh u_1 + y = 0, sehingga y=-u_1.
Jadi, -\vec{u}=(1,-u_1 ).

Sebagai contoh lain. Diberikan himpunan V yang berisi pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai

(u_1 ,u_2) + (v_1 , v_2 )=(u_1 + v_1 -1, u_2 + v_2 -1)

Kita akan menentukan \vec{0} dan -\vec{u} pada himpunan tersebut.

Misalkan u=(u_1 , u_2) \in V. Karena V berisi pasangan bilangan real, maka \vec{0} dan -\vec{u} secara berturut-turut berbentuk (a,b) dan (c,d) untuk suatu bilangan real a, b,c, dan d.

Pertama, kita akan menentukan vektor nol dari himpunan V. Perhatikan bahwa

\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}

(u_1 , u_2 ) + (a,b) = (u_1 , u_2 )

(u_1 +a-1, u_2 + b-1) = (u_1 , u_2 )

Diperoleh u_1 +a-1 = u_1 dan u_2 +a-1 = u_2. Sehingga a=1 dan b=1.
Jadi, \vec{0}=(1,1).

Selanjutnya, kita akan menentukan -\vec{u}. Perhatikan bahwa

\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}

(u_1 , u_2 ) + (c,d) = (1,1)

(u_1 +c-1, u_2 + d-1) = (1,1)

Diperoleh

u_1 +c-1 = 1 \Longrightarrow c=2-u_1

u_1 +d-1 = 1 \Longrightarrow d=2-u_2

Jadi, -\vec{u} = (2-u_1 , 2-u_2)

Demikianlah pembahasan tentang 10 aksioma ruang vektor. Jika ada yang kurang jelas, silahkan ditanyakan lewat kolom komentar.
Semoga bermanfaat. 🙂

Pembuktian Turunan tan x dan cot x

Masih melanjutkan postingan tentang turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan tan x dan turunan cot x.

D_x (\tan x)=\sec ^2 x
D_x (\cot x)=-\csc ^2 x

Turunan tan x

Kita mulai dengan mengubah tan x menjadi hasil bagi antara sin x dan cos x.

D_x (\tan x)=D_x \left( \dfrac{\sin x}{\cos x} \right)

Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh.

D_x (\tan x)=\dfrac{\cos x \cdot D_x (\sin x)-\sin x \cdot D_x (\cos x)}{(\cos x)^2}

Diketahui bahwa

D_x (\sin x)=\cos x (BUKTI)

dan

D_x (\cos x)=-\sin x (BUKTI)

Sehingga

D_x (\tan x)=\dfrac{\cos x \cdot \cos x -\sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2}

D_x (\tan x)=\dfrac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{(\cos x)^2}

Ingat identitas trigonometri: \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1

D_x (\tan x)=\dfrac{1}{(\cos x)^2}

D_x (\tan x)=\sec ^2 x

Terbukti. Selanjutnya kita melangkah ke pembuktian turunan cot x.

Turunan cot x

Kita mulai dengan menulis cot x sebagai hasil bagi antara cos x dengan sin x.

D_x (\cot x)=D_x \left( \dfrac{\cos x}{\sin x} \right)

Dengan menggunakan aturan pembagian, diperoleh

D_x (\cot x)=\dfrac{\sin x \cdot D_x (\cos x) - \cos x \cdot D_x (sin x)}{(\sin x)^2}

Diketahui

D_x (\sin x)=\cos x

dan

D_x (\cos x)=-\sin x

Sehingga

D_x (\cot x)=\dfrac{\sin x \cdot (- \sin x) - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2}

D_x (\cot x)=\dfrac{- \sin ^2 x - \cos ^2 x}{(\sin x)^2}

D_x (\cot x)=\dfrac{- (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\sin x)^2}

Ingat identitas trigonometri: \sin ^2 x + \cos ^2 x=1

D_x (\cot x)= - \dfrac{1}{(\sin x)^2}

D_x (\cot x)= - \csc ^2 x

Terbukti.

Selain dengan aturan pembagian, kita juga bisa membuktikan turunan fungsi-fungsi di atas dengan menggunakan definisi turunan. Untuk pembuktian dengan cara ini, saya serahkan kepada pembaca. Silahkan mencoba. 🙂

Pembuktian Turunan cos x dan sec x

Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan cos x dan sec x.

D_x (\cos x) = - \sin x
D_x (\sec x) = \sec x \tan x

Bukti Turunan cos x

D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h}

Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperoleh

D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}

Urutkan ulang

D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{- \sin x \sin h - \cos x + \cos x \cos h}{h}

D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{- \sin x \sin h - \cos x (1 - \cos h)}{h}

Selanjutnya gunakan sifat limit pengurangan fungsi

D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} - \dfrac{\sin x \sin h}{h} - \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x (1 - \cos h)}{h}

Limit yang diinginkan adalah untuk h menuju 0. Karena \sin x dan \cos x tidak memuat variabel h, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh

D_x (\cos x) = - \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h} - \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}

Diketahui bahwa

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h}=1

dan

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}=0

Diperoleh

D_x (\cos x) = - \sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0

D_x (\cos x) = - \sin x

Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut

D_x (\cos x) = D_x (\sin ( \frac{\pi}{2} - x))

Diketahui bahwa D_x (\sin x) = \cos x (Bukti). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

D_x (\cos x) = -1 \cdot \cos ( \frac{\pi}{2} - x)

D_x (\cos x) = -(\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x)

D_x (\cos x) = - \cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x

Diketahui \sin \frac{\pi}{2} = 1 dan \cos \frac{\pi}{2} = 0

D_x (\cos x) = -1 \cdot 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x

D_x (\cos x) = - \sin x

Bukti Turunan sec x

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sec (x+h) - \sec x}{h}

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\tfrac{1}{\cos (x+h)} - \tfrac{1}{\cos x}}{h}

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\tfrac{\cos x - \cos (x+h)}{\cos (x+h) \cos x}}{h}

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \dfrac{\cos x - \cos (x+h)}{h}

Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x - \cos (x+h)}{h}

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x - (\cos x \cos h - \sin x \sin h)}{h}

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x (1 - \cos h) + \sin x \sin h}{h}

Berdasarkan sifat limit pengurangan fungsi dan sifat kelipatan konstan, diperoleh

D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\cos (x+h) \cos x} \left( \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{(1 - \cos h)}{h} + \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h} \right)

Diketahui bahwa

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h}=1

dan

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}=0

Diperoleh

D_x (\sec x) = \dfrac{1}{\cos x \cdot \cos x} ( \cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 1)

D_x (\sec x) = \dfrac{1}{\cos x} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}

D_x (\sec x) = \sec x \cdot \tan x

Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.

D_x (\sec x) = D_x \left( \dfrac{1}{\cos x} \right)

D_x (\sec x) = \dfrac{0 \cdot \cos x - (- \sin x) \cdot 1}{(\cos x)^{2}}

D_x (\sec x) = \dfrac{\sin x}{(\cos x)^{2}}

D_x (\sec x) = \dfrac{1}{\cos x} \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}

D_x (\sec x) = \sec x \cdot \tan x

Terbukti.

Pembuktian Turunan sin x dan cosec x

Sekarang kita akan membuktikan turunan sin x dan turunan cosec x.

D_x (\sin x) = \cos x
D_x (\csc x) = - \csc x \cot x

Bukti Turunan sin x

D_x (\sin x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h}

Gunakan rumus jumlah sudut sinus.

D_x (\sin x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

Urutkan ulang

D_x (\sin x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \sin h - \sin x + \sin x \cos h}{h}

D_x (\sin x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \sin h - \sin x (1 - \cos h)}{h}

Selanjutnya gunakan sifat limit pengurangan fungsi

D_x (\sin x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos x \sin h}{h} - \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin x (1 - \cos h)}{h}

Limit yang diinginkan adalah untuk h menuju 0. Karena \sin x dan \cos x tidak memuat variabel h, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh

D_x (\sin x) = \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h} - \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}

Diketahui bahwa

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h}=1 dan \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}=0

Diperoleh

D_x (\sin x) = \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0

D_x (\sin x) = \cos x

Terbukti. Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut.

D_x (\sin x) = D_x (\cos ( \frac{\pi}{2} - x))

Diketahui bahwa D_x (\cos x) = - \sin x. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

D_x (\sin x) = -1 \cdot (- \sin ( \frac{\pi}{2} - x))

D_x (\sin x) = \sin ( \frac{\pi}{2} - x)

D_x (\sin x) = \sin \frac{\pi}{2} \cos x - \cos \frac{\pi}{2} \sin x

Diketahui \sin \frac{\pi}{2} = 1 dan \cos \frac{\pi}{2} = 0

D_x (\sin x) = 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x

D_x (\sin x) = \cos x

Bukti Turunan cosec x

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\csc (x+h) - \csc x}{h}

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\tfrac{1}{\sin (x+h)} - \tfrac{1}{\sin x}}{h}

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\tfrac{\sin x - \sin (x+h)}{\sin (x+h) \sin x}}{h}

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sin (x+h) \sin x} \cdot \dfrac{\sin x - \sin (x+h)}{h}

Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sin (x+h) \sin x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin x - \sin (x+h)}{h}

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sin (x+h) \sin x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin x - (\sin x \cos h + \cos x \sin h)}{h}

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sin (x+h) \sin x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin x (1 - \cos h) - \cos x \sin h}{h}

Berdasarkan sifat limit pengurangan fungsi dan sifat kelipatan konstan, diperoleh

D_x (\csc x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sin (x+h) \sin x} \left( \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{(1 - \cos h)}{h} - \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h} \right)

Diketahui bahwa

\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin h}{h}=1 dan \lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos h}{h}=0

Diperoleh

D_x (\csc x) = \dfrac{1}{\sin x \cdot \sin x} ( \sin x \cdot 0 - \cos x \cdot 1)

D_x (\csc x) = - \dfrac{1}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}

D_x (\csc x) = - \csc x \cdot \cot x

Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.

D_x (\csc x) = D_x \left( \dfrac{1}{\sin x} \right)

D_x (\csc x) = \dfrac{0 \cdot \sin x - (\cos x) \cdot 1}{(\sin x)^{2}}

D_x (\csc x) = \dfrac{- \cos x}{(\sin x)^{2}}

D_x (\csc x) = - \dfrac{1}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}

D_x (\csc x) = - \csc x \cdot \cot x

Terbukti

Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan

Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas pembuktian aturan perkalian pada turunan. Sekarang kita akan membuktikan aturan lain yang berlaku pada turunan, yaitu aturan pembagian. Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) \neq 0, maka

\left( \dfrac{f}{g} \right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)}

Kita akan membuktikan aturan pembagian ini dengan dua cara, yaitu menggunakan definisi turunan yang melibatkan limit dan menggunakan logaritma natural. Pertama, kita buktikan dengan definisi limit.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}.

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x+h)}{g(x) g(x+h)}}{h}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x+h)}{h} \cdot \frac{1}{g(x) g(x+h)}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x+h) + f(x) g(x) - f(x) g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x) g(x+h)}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x) - f(x) g(x+h) + f(x) g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x) g(x+h)}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x+h) g(x) - f(x) g(x)}{h} - \frac{f(x) g(x+h) + f(x) g(x)}{h} \right) \cdot \frac{1}{g(x) g(x+h)}

F'(x)= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \left( g(x) \; \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \; f(x) \frac{g(x+h) + g(x)}{h} \right) \cdot \frac{1}{g(x) g(x+h)}

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, diperoleh

F'(x)= \left( \lim \limits_{h \rightarrow 0} g(x) \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \lim \limits_{h \rightarrow 0} f(x) \cdot \frac{g(x+h) + g(x)}{h} \right) \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{g(x) g(x+h)}

F'(x)= ( g(x)f'(x) - f(x)g'(x) ) \cdot \frac{1}{g^2(x)}

F'(x)= \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Selanjutnya, kita buktikan dengan logaritma natural.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan

F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}

Beri logaritma natural pada kedua ruas.

\ln F(x)= \ln \frac{f(x)}{g(x)}

Ingat sifat logaritma natural \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b

\ln F(x)= \ln f(x) - \ln g(x)

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan aturan rantai.

F'(x) \; \frac{1}{F(x)} = f'(x) \; \frac{1}{f(x)} - g'(x) \; \frac{1}{g(x)}

F'(x) = F(x) \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right)

Ingat F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}

F'(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right)

F'(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{f(x) g(x)} \right)

F'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Terbukti.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer

Ada beberapa metode yang sering digunakan dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear, yaitu metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (eliminasi-substitusi). Dalam artikel ini akan diperkenalkan metode lain, yaitu dengan menggunakan operasi baris elementer.

Sebelum masuk ke pembahasan, kita perlu mengetahui istilah matriks yang diperbesar, atau dalam bahasa inggris disebut Augmented Matrix. Matriks yang diperbesar merupakan suatu matriks yang berisi koefisien dan konstanta dari suatu sistem persamaan. Tetapi dalam hal ini, kita perlu mengingat posisi variabel-variabel yang koefisiennya ditulis dalam bentuk matriks. Begitupun letak konstantanya. Misalnya dalam suatu sistem persamaan terdapat 3 buah variabel (x, y, dan z), maka kita perlu menentukan kolom mana yang akan ditempati oleh koefisien variabel tersebut, misalnya kolom pertama untuk koefisien x, kolom kedua untuk koefisien y, kolom ketiga untuk koefisien z, dan kolom terakhir untuk konstanta.

CONTOH 1
x + 2y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

Dalam penulisan matriks yang diperbesar, kita tentukan kolom pertama sebagai tempat koefisien x, kolom kedua sebagai tempat koefisien y, kolom ketiga sebagai tempat koefisien z, dan kolom terakhir sebagai tempat konstanta. Jadi matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 2 & 2 & 9\\  2 & 4 & -3 & 1\\  3 & 6 & -5 & 0\end{array}  \right]

CONTOH 2
2a + 2c = 1
3a – b +4c = 7
6a + b – 2c = 3

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

\left[  \begin{array}{rrrr}  2 & 0 & 2 & 1\\  3 & -1 & 4 & 7\\  6 & 1 & -2 & 3\end{array}  \right]

Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kita mencari sistem persamaan lain yang berpadanan, tetapi lebih mudah dicari solusinya (lebih sederhana). Dua sistem yang berpadanan memiliki solusi yang sama. Untuk mendapatkan sistem persamaan tersebut, kita dapat menggunakan tiga operasi aljabar berikut.

  1. Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta tak nol.
  2. Menukar posisi dua persamaan.
  3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan dengan persamaan lainnya.

Kata persamaan dalam operasi di atas bersesuaian dengan kata baris dalam sebuah matriks yang dperbesar. Dengan mengganti kata persamaan dengan kata baris, kita memperoleh operasi baris elementer, yaitu

  1. Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.
  2. Menukar posisi dua baris.
  3. Menambahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya.

Berikut ini contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan operasi baris elementer.

CONTOH
Tentukan solusi sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan operasi baris elementer.
x + 2y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

SOLUSI
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 1 & 2 & 9\\  2 & 4 & -3 & 1\\  3 & 6 & -5 & 0\end{array}  \right]

Tambahkan (-2) kali baris pertama ke baris kedua, dan tambahkan (-3) kali baris pertama ke baris ketiga, diperoleh

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 1 & 2 & 9\\  0 & 2 & -7 & -17\\  0 & 3 & -11 & -27\end{array}  \right]

Kalikan baris kedua dengan \frac{1}{2}, diperoleh

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 1 & 2 & 9\\  0 & 1 & - \frac{7}{2} & - \frac{17}{2}\\  0 & 3 & -11 & -27\end{array}  \right]

Tambahkan (-1) kali baris kedua ke baris pertama, dan (-3) kali baris kedua ke baris ketiga

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{35}{2}\\  0 & 1 & - \frac{7}{2} & - \frac{17}{2}\\  0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}  \right]

Kalikan baris ketiga dengan (-2)

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{35}{2}\\  0 & 1 & - \frac{7}{2} & - \frac{17}{2}\\  0 & 0 & 1 & 3\end{array}  \right]

Tambahkan - \frac{11}{2} kali baris ketiga ke baris pertama, dan tambahkan \frac{7}{2} kali baris ketiga ke baris kedua.

\left[  \begin{array}{rrrr}  1 & 0 &  0 & 1\\  0 & 1 & 0 & 2\\  0 & 0 & 1 & 3\end{array}  \right]

Jadi, solusi sistem persamaan di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Semoga bermanfaat. 🙂

Pembuktian Aturan Perkalian pada Turunan

Turunan dari suatu penjumlahan fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi-fungsi tersebut. Tetapi cara semacam ini tidak berlaku untuk perkalian fungsi. Dalam menentukan turunan hasil kali suatu fungsi, kita tidak mengalikan turunan masing-masing fungsi, tetapi kita menggunakan aturan perkalian. Jika f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka berlaku

(f \cdot g)' (x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

Sekarang kita akan membahas pembuktian aturan perkalian pada turunan. Kita akan menggunakan dua cara dalam membuktikan aturan ini. Pertama, menggunakan definisi turunan (berkaitan dengan limit), dan yang kedua menggunakan logaritma natural.

CARA 1
Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan F(x)=f(x)g(x).

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}

Tambahkan -g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) pada pembilang ruas kanan. Kita juga boleh menambahkan dengan -f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x). Hasilnya sama.

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) -g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h}

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) (f(x+h) -f(x)) + f(x) (g(x+h) -g(x))}{h}

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} g(x+h) \: \frac{f(x+h) -f(x)}{h} + \lim \limits _{h \rightarrow 0} f(x) \: \frac{g(x+h) -g(x)}{h}

Gunakan sifat limit perkalian fungsi: \lim \limits _{x \rightarrow c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim \limits _{x \rightarrow c} f(x) \cdot \lim \limits _{x \rightarrow c} g(x).

F'(x)= \lim \limits _{h \rightarrow 0} g(x+h) \cdot \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} + \lim \limits _{h \rightarrow 0} f(x) \cdot \lim \limits _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) -g(x)}{h}

F'(x) = g(x) f'(x) + f(x) g'(x)

F'(x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x)

Terbukti. Selanjutnya, kita akan membuktikan aturan perkalian dengan menggunakan logaritma natural.

CARA 2
Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan

F(x)=f(x)g(x)

Beri logaritma natural pada kedua ruas.

\ln F(x)=\ln [f(x)g(x)]

Ingat sifat logaritma natural \ln ab = \ln a + \ln b

\ln F(x)=\ln f(x) + \ln g(x)

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan aturan rantai.

F'(x) \: \frac{1}{F(x)} = f'(x) \: \frac{1}{f(x)} + g'(x) \: \frac{1}{g(x)}

F'(x) = F(x) (\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)})

Ingat F(x)=f(x)g(x)

F'(x) = f(x)g(x) (\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)})

Selanjutnya, gunakan sifat distributif.

F'(x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x)

Terbukti.

Pembuktian Integral tan(x) dan Integral cot(x)

Tulisan ini merupakan lanjutan dari tulisan sebelumnya yang berjudul “Pembuktian Integral sec(x) dan Integral csc(x)“. Sekarang, kita akan membuktikan dua integral trigonometri lainnya, yaitu integral tan(x) dan integral ccot(x).

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \ln |\cos x| + C = \ln |\sec x| + C
\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln |\sin x| + C = - \ln |\csc x| + C

Kita mulai dengan \int \tan x \: \mbox{dx}.

\int \tan x \: \mbox{dx} = \int \frac{\sin x}{\cos x} \: \mbox{dx}

Misalkan u= \cos x, sehingga \mbox{du}= - \sin x \: \mbox{dx} \: \Leftrightarrow \: - \mbox{du} = \sin x \: \mbox{dx}. Dengan proses substitusi, diperoleh.

\int \tan x \: \mbox{dx} = \int - \frac{1}{u} \: \mbox{du}

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \int \frac{1}{u} \: \mbox{du}

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \ln |u| + C

Kembalikan ke bentuk trignometri.

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \ln |\cos x| + C

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \ln |\frac{1}{\sec x}| + C

\int \tan x \: \mbox{dx} = - \ln \frac{1}{|\sec x|} + C

Selanjutnya, gunakan sifat logaritma natural: \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b, sehingga

\int \tan x \: \mbox{dx} = - (\ln 1 - \ln |\sec x|) + C

\int \tan x \: \mbox{dx} = - (0 - \ln |\sec x|) + C

\int \tan x \: \mbox{dx} = \ln |\sec x| + C

Terbukti. Kemudian kita melangkah ke pembuktian integral trigonometri yang kedua, yaitu

\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln |\sin x| + C = - \ln |\csc x| + C

Pertama, tulis \cot x sebagai hasil bagi antara \cos x dengan \sin x.

\int \cot x \: \mbox{dx} = \int \frac{\cos x}{\sin x} \: \mbox{dx}

Misalkan u= \sin x, sehingga \mbox{du} = \cos x \: \mbox{dx}. Dengan proses substitusi diperoleh

\int \cot x \: \mbox{dx} = \int \frac{1}{u} \: \mbox{du}

\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln |u| + C

Kembalikan ke bentuk trigonometri

\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln |\sin x| + C

\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln |\frac{1}{\csc x}| + C

\int \cot x \: \mbox{dx} = \ln \frac{1}{|\csc x|} + C

Gunakan sifat logaritma natural: \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b, sehingga

\int \cot x \: \mbox{dx} = (\ln 1 - \ln |\csc x|) + C

\int \cot x \: \mbox{dx} = - \ln |\csc x| + C

Terbukti.

Pembuktian Integral sec(x) dan Integral csc(x)

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan dua bentuk integral trigonometri, yaitu \int \sec x \: \mbox{dx} dan \int \csc x \: \mbox{dx}.
Kita mulai dengan \int \sec x \: \mbox{dx}.

\int \sec x \: \mbox{dx} = \ln | \sec x + \tan x | + C

Kalikan \sec x dengan \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}. Kita boleh melakukan hal ini, karena sebenarnya kita mengalikan \sec x dengan 1.

\int \sec x \: \mbox{dx} = \int \sec x \frac{\sec x + \tan x }{\sec x + \tan x} \: \mbox{dx}

\int \sec x \: \mbox{dx} = \int \frac{\sec ^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \: \mbox{dx}

Misalkan u = \sec x + \tan x, sehingga du = ( \sec x \tan x + \sec ^2 x ). Substitusi kedua nilai tersebut pada integral.

\int \sec x \: \mbox{dx} = \frac{1}{u} \: \mbox{du}

\int \sec x \: \mbox{dx} = \ln |u| + C

Kembalikan ke bentuk trigonometri.

\int \sec x \: \mbox{dx} = \ln | \sec x + \tan x | + C

Terbukti. Selanjutnya, kita akan membuktikan integral trigonometri yang kedua.

\int \csc x \: \mbox{dx} = - \ln | \csc x + \cot x | + C

Prinsipnya sama dengan pembuktian yang pertama. Kali ini, kita mengalikan \csc x dengan \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}.

\int \csc x \: \mbox{dx} = \csc x \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} \: \mbox{dx}

\int \csc x \: \mbox{dx} = \frac{\csc ^2 x + \csc x \cot x}{\csc x + \cot x} \: \mbox{dx}

Misalkan u = \csc x + \cot x, sehingga du = (- \csc x \cot x - \csc ^2 x) \: \mbox{dx} = -(\csc ^2 x + \csc x \cot x) \: \mbox{dx}. Substitusi kedua nilai tersebut pada integral.

\int \csc x \: \mbox{dx} = - \int \frac{1}{u} \: \mbox{du}

\int \csc x \: \mbox{dx} = - \ln |u| + C

Kembalikan ke bentuk trigonometri.

\int \csc x \: \mbox{dx} = - \ln | \csc x + \cot x | + C

Terbukti.

Perbedaan Anti Turunan dengan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dan anti turunan adalah dua hal berbeda, yang seringkali dianggap sama oleh banyak orang. Hal yang sama juga saya alami saat SMA dulu, saya baru tahu perbedaannya saat memasuki kuliah semester kedua, dalam mata kuliah Kalkulus 2.

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi F disebut anti turunan f pada interval I, jika turunan fungsi F adalah fungsi f, ditulis F'(x) = f(x) untuk setiap x \in I

CONTOH

  1. F(x) = x^2 + 2x + 1 adalah anti turunan f(x) = 2x+2, karena
    D_x (x^2 + 2x + 1) = 2x+2
  2. F(x) = x^2 + 2x - 5 adalah anti turunan f(x) = 2x+2, karena
    D_x (x^2 + 2x + 5) = 2x+2
  3. F(x) = x^2 + 2x adalah anti turunan f(x) = 2x+2, karena
    D_x (x^2 + 2x) = 2x+2

Perhatikan kembali contoh di atas. Ternyata fungsi F(x) = 2x+2 mempunyai beberapa anti turunan, bahkan jumlahnya tidak berhingga. Nah, himpunan anti turunan fungsi f ini disebut integral tak tentu fungsi f.

Integral tak tentu fungsi f di atas adalah F(x) = x^2 + 2x + C dengan C \in \mathbb{R}.

Jadi, integral tak tentu suatu fungsi adalah bentuk umum dari anti turunan fungsi tersebut. Sedangkan anti turunannya adalah bentuk tunggal yang diperoleh dengan mengganti konstanta pada integral tak tentu dengan suatu bilangan real.

F(x) = x^3 + x^2 + C adalah integral tak tentu dari f(x) = 3x^2 + 2x + 3. Jika konstanta C tersebut diganti dengan sebarang bilangan real, maka diperoleh anti turunan fungsi f. Jadi, F_1 (x) = x^3 + x^2 dan F_2 (x) = x^3 + x^2 + 7 adalah contoh anti turunan f(x) = 3x^2 + 2x + 3.

Ditinjau dari segi grafik, jika kita mengetahui sebuah anti turunan f(x), maka integral tak tentu dari f(x) adalah keluarga fungsi yang grafiknya merupakan pergeseran ke atas atau ke bawah dari grafik anti turunan tersebut.

Semua anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan yang sama, yaitu f(x). Dan setiap anggota tersebut adalah anti-turunan f(x).