Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah

\(\displaystyle x_1 + x_2 = – \frac{b}{a}\)
\(\displaystyle x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah

\(\displaystyle x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle x_2 = \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah

\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = – \frac{b}{a}\)

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{(-b)^2 – (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{b^2 – (b^2 -4ac)}{4a^2}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{4ac}{4a^2}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{c}{a}\)

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat \(2x^2 -4x +3=0\). Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=3\). Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan \(x_1\) dan \(x_2\). Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.

\(\displaystyle x_1 + x_2 = – \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{c}{a}=\frac{3}{2}\)

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah \(2\) dan \(\frac{3}{2}\).

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 -(2p+1)x+p=0\) merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-2p-1\), dan \(c=p\).
Misalkan akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\). Karena akar-akarnya berkebalikan, maka \(x_2 = \frac{1}{x_1}\).

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh

\(\displaystyle x_1 x_2 =\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle x_1 \cdot \frac{1}{x_1} =\frac{p}{2}\)
\(\displaystyle 1 =\frac{p}{2}\)
\(\displaystyle p=2\)

Diperoleh \(p=2\). Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus

\(\displaystyle x_1 + x_2 =- \frac{(-2p-1)}{2}\)
\(\displaystyle x_1 + x_2 =\frac{2p+1}{2}\)

Karena \(p=2\), maka diperoleh
\(x_1 + x_2 =\frac{2 \cdot 2+1}{2}=\frac{5}{2}\)

CONTOH 3
Persamaan kuadrat \(px^2 -(p+1)x+1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui \(a=p\), \(b=p-1\), \(c=1\), dan \(x_2=2 x_1\). Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh

\(\displaystyle x_1 + x_2 = – \frac{b}{a}\)
\(\displaystyle x_1 + 2 x_1 = – \frac{(-p-1)}{p}\)
\(\displaystyle 3 x_1 = \frac{p+1}{p}\)
\(\displaystyle x_1 = \frac{p+1}{3p}\)

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh

\(\displaystyle x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)
\(\displaystyle x_1 \cdot 2 x_1 = \frac{1}{p}\)
\(\displaystyle 2 {x_1}^2 = \frac{1}{p}\)
\(\displaystyle {x_1}^2 = \frac{1}{2p}\)

Substitusi nilai \(x_1\) yang diperoleh, pada persamaan di atas.

\(\displaystyle \left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 = \frac{1}{2p}\)
\(\displaystyle \frac{p^2 +2p+1}{9p^2} = \frac{1}{2p}\)

Kalikan kedua ruas dengan \(18p^2\), sehingga diperoleh
\(\displaystyle 2p^2 +4p+2 = 9p\)
\(\displaystyle 2p^2 -5p+2 = 0\)

Semoga bermanfaat. 🙂

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

CONTOH
Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\) dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Bentuklah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
3. \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).
4. \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

SOLUSI
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\(x_1 + x_2 = 1\)
\(x_1 \cdot x_2 = 3\)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = x_1 +2\) dan \(\beta = x_2 +2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\(\alpha + \beta = (x_1 +2) + (x_2 +2)\)
\(\alpha + \beta = (x_1 + x_2) +4=1+4=5\)

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\(\alpha \cdot \beta = (x_1 +2) \cdot (x_2 +2)\)
\(\alpha \cdot \beta = x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4\)
\(\alpha \cdot \beta = 3+2 \cdot 1 +4 =9\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 -5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x+2\) yang berakibat \(x=y-2\). Substitusi \(x=y-2\) ke persamaan kuadrat yang lama

\(x^2 -x+3=0\)
\((y-2)^2 -(y-2)+3=0\)
\((y^2 -4y+4) -(y-2)+3=0\)
\(y^2 -5y+9=0\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 -5y+9=0\)

2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\(x_1 + x_2 = 1\)
\(x_1 \cdot x_2 = 3\)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = {x_1}^2\) dan \(\beta = {x_2}^2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\(\alpha + \beta = {x_1}^2 + {x_2}^2\)
\(\alpha + \beta =(x_1 + x_2)^2 -2x_1 \cdot x_2\)
\(\alpha + \beta = 1^2 – 2 \cdot 3 =-5\)

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\(\alpha \cdot \beta = {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 = (x_1 \cdot x_2)^2 = 3^2 =9\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 +5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x^2\) yang berakibat \(x= \sqrt{y}\). Substitusi \(x= \sqrt{y}\) ke persamaan kuadrat yang lama

\((\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3=0\)
\(y – \sqrt{y} +3=0\)
\(y+3=\sqrt{y}\)

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
\((y+3)^2=(\sqrt{y})^2\)
\(y^2 +6y+9=y\)
\(y^2 +5y+9=0\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 +5y+9=0\).

3. akar-akarnya \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\(x_1 + x_2 = 1\)
\(x_1 \cdot x_2 = 3\)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\beta = \frac{1}{x_2 -2}\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2}\)
\(\displaystyle \alpha + \beta =\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)}\)
\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4}\)
\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} = – \frac{3}{5}\)

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

\(\displaystyle \alpha \cdot \beta = \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2}\)
\(\displaystyle \alpha \cdot \beta = \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4}\)
\(\displaystyle \alpha \cdot \beta = \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4}=\frac{1}{5}\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah
\(x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=\frac{1}{x-2}\) atau \(x= \frac{1}{y} +2\). Substitusi \(x= \frac{1}{y} +2\) ke persamaan kuadrat yang lama

\(\displaystyle \left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3=0\)
\(\displaystyle \left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3=0\)
\(\displaystyle \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5=0\)

Kalikan kedua ruas dengan \(y^2\), sehingga diperoleh \(5y^2 +3y +1=0\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(5y^2 +3y +1=0\).

4. akar-akarnya \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\(x_1 + x_2 = 1\)
\(x_1 \cdot x_2 = 3\)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{x_1}{x_2}\) dan \(\beta = \frac{x_2}{x_1}\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2}\)
\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{(x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2}\)
\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac{1^2 – 2 \cdot 3}{3}= – \frac{5}{3}\)

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

\(\displaystyle \alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah
\(x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0\)

Menentukan Turunan Fungsi dengan Menggunakan Definisi Turunan

Pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), kita telah mempelajari cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan beberapa teorema. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara lain dalam menentukan turunan suatu fungsi, yaitu menggunakan definisi turunan fungsi. Cara ini terbilang lebih rumit dibanding menggunakan teorema. Akan tetapi, jika kita memang tertarik dengan matematika, apalagi jika kuliah di jurusan matematika, kita perlu menguasai cara ini sebelum menentukan turunan fungsi menggunakan teorema.

DEFINISI
Turunan fungsi \(f\) yang dinotasikan sebagai \(f’\), merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

CONTOH 1
Tentukan turunan pertama dari
\(f(x)=x^2\)

SOLUSI
\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 – x^2}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x^2 + h^2 + 2hx) – x^2}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h^2 + 2hx}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(h + 2x)}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} h + 2x\)

\(f'(x)= 2x\)

CONTOH 2
Tentukan turunan pertama dari
\(f(x)= \frac{1}{x^2 + 1}\)

SOLUSI
\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} – \frac{1}{x^2 + 1}}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [x^2+h^2+2hx+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h(-h-2x)}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{-h-2x}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)}\)

\(f'(x)= \frac{-0-2x}{[(x+0)^2+1]\cdot(x^2+1)}\)

\(f'(x)= \frac{-2x}{(x^2+1)\cdot(x^2+1)}\)

\(f'(x)= -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\)

Dari dua contoh di atas, terlihat bahwa kita selalu dihadapkan pada limit hasil bagi, dengan pembilang dan penyebut sama-sama menuju nol. Tugas kita adalah melakukan penyederhanan, sehingga faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut. Dengan ini, kita dapat menentukan limitnya dengan melakukan substitusi.

CONTOH 3
Tentukan turunan pertama dari
\(f(x)= \sqrt{x}, \: x \ge 0\)

SOLUSI
\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}\)

Agar faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut, kita perlu merasionalkan pembilangnya.

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x+h – x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\)

Karena faktor \(h\) sudah dicoret dari pembilang dan penyebut, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi.

\(f'(x)= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}}\)

\(f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Selain dengan definisi di atas, turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan bentuk ekuivalen definisi di atas. Perhatikan kembali definisi turunan.

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

Dengan mensubstitusi \(h=t-x\) dan \(x+h=t\) pada persamaan di atas, diperoleh

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t-x \to 0}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}\)

Selanjutnya, \(t-x\) mendekati 0 artinya nilai \(t\) mendekati nilai \(x\), sehingga diperoleh

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}\)

CONTOH 4
Tentukan turunan pertama dari
\(f(x)= \frac{x}{x-5}\)

SOLUSI
Kita akan menentukan turunannya dengan menggunakan bentuk ekuivalen dari definisi turunan.

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{\frac{t}{t-5} – \frac{x}{x-5}}{t-x}\)

Kita belum dapat melakukan substitusi, karena jika t mendekati x, maka nilai pembilang dan penyebut di atas mendekati 0. Kita harus melakukan penyederhanaan, sehingga faktor \((t-x)\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{t(x-5) – x(t-5)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{tx – 5t – tx + 5x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{- 5t + 5x}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{- 5(t – x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x}\)

\(f'(x)= \displaystyle \lim_{t \to x}\frac{- 5}{(t-5)(x-5)}\)

Setelah mencoret faktor \((t-x)\), maka nilai limit di atas dapat ditentukan dengan substitusi.

\(f'(x)= \frac{- 5}{(x-5)(x-5)}\)

\(f'(x)= -\frac{5}{(x-5)^2}\)

Semoga bermanfaat. 🙂

Merentang (Membangun)

Jika \(S=\{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}\) merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

\(W=span(S)=span \{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}\)

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika \(V=span(S)\), dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan \(S=\{(1,0),(0,1)\}\) merentang \(\mathbb{R}^2\), karena setiap vektor \((a,b)\) yang ada di \(\mathbb{R}^2\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

\((a,b)=a(1,0)+b(0,1)\)

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan \(\{(-1,0),(0,1)\}\) juga merentang \(\mathbb{R}^2\).

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1
Periksa apakah \(S=\{(1,1,2),(1,0,1),(2,1,3)\}\) merentang ruang vektor \(\mathbb{R}^3\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\). Tulis \(\vec{v} =(a,b,c)\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{v}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

\(\vec{v}=k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3)\)

\((a,b,c)= (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3)\)

\((a,b,c)= (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3, 2k_1 + k_2 + 3k_3)\)

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

\(k_1 + k_2 + 2k_3 =a\)
\(k_1 + k_3 =b\)
\(2k_1 + k_2 + 3k_3 =c\)

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \(\mathbb{R}^3\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 2\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\end{array}
\right)$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

\(det(A)=(1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1) – (2 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1)\)

\(det(A)= (2+2)-(1+3)=0\)

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

Alternatif:

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
1 & 0 & 1 & b\\
2 & 1 & 3 & c\end{array}
\right)$

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & -1 & -1 & -a+b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right)$

Kalikan baris kedua dengan (-1).

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right)$

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & 0 & 0 & -a-b+c\end{array}
\right)$

Diperoleh

\(k_1 + k_2 + 2k_3 =a\)
\(k_2 + k_3 =a-b\)
\(-a-b+c=0\)

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika \(-a-b+c=0\). Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Diketahui \(\vec{p_1}=1+x+x^2\), \(\vec{p_2}= 1+x^2\), dan \(\vec{p_3}= 1+2x\).
Periksa apakah \(S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}\) merentang \(P_2\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{p} \in P_2\). Tulis \(\vec{p} = a +bx+cx^2\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{p}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

\(\vec{p} = k_1 \vec{p_1} + k_2 \vec{p_2} + k_3 \vec{p_3}\)

\(a +bx+cx^2 = k_1 (1+x+x^2) + k_2 (1+x^2) + k_3 (1+2x)\)

\(a +bx+cx^2 = (k_1+k_1 x+k_1 x^2) + (k_2+k_2 x^2) + (k_3+2k_3 x)\)

\(a +bx+cx^2 = (k_1+k_2+k_3)+(k_1 x+2k_3 x)+(k_1 x^2+k_2 x^2)\)

\(a +bx+cx^2 = (k_1+k_2+k_3)+(k_1 +2k_3)x +(k_1 +k_2)x^2\)

Diperoleh

\(k_1+k_2+k_3 =a\)
\(k_1+2k_3 =b\)
\(k_1+k_2 =c\)

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah

$latex
A=
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 0\end{array}
\right)$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

\(det(A)=(1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) – (1 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1)\)

\(det(A)=(2+1) – (2)=1\)

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang \(P_2\).

Alternatif:

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

$latex
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
1 & 0 & 2 & b\\
1 & 1 & 0 & c\end{array}
\right)$

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

$latex
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & -1 & 1 & -a+b\\
0 & 0 & -1 & -a+c\end{array}
\right)$

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

$latex
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & -1 & a-b\\
0 & 0 & 1 & a-c\end{array}
\right)$

Diperoleh

\(k_1+k_2+k_3 =a\)
\(k_2 – k_3 =a-b\)
\(k_3 =a-c\)

Dengan substitusi balik, diperoleh

\(k_1 =-2a +b+2c\)
\(k_2 =2a-b-c\)
\(k_3 =a-c\)

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang \(P_2\).

Kumpulan Soal ON MIPA-PT Bidang Matematika

Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi, atau disingkat ON MIPA-PT adalah sebuah lomba tahunan yang diadakan oleh kemristekdikti. Ada empat bidang lomba dalam ON MIPA-PT, yaitu matematika, fisika, kimia, dan biologi. Lomba diadakan dalam tiga tahap, yaitu tahap I di tingkat universitas, tahap II di tingkat wilayah, dan tahap III di tingkat nasional.

Materi ON MIPA-PT untuk bidang matematika mencakup 5 mata kuliah, yaitu Aljabar Linear, Analisis Kompleks, Analisis Real, Kombinatorika, dan Struktur Aljabar.

Dalam artikel ini, saya akan membagikan soal-soal ON MIPA-PT bidang matematika tingkat wilayah dari tahun 2006 sampai tahun 2016. Bagi teman-teman yang berminat, silahkan unduh melalui tautan-tautan berikut ini.

ON MIPA-PT Matematika Tahun 2006
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2007
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2008
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2009
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2010
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2011
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2012
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2013
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2014
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2015
ON MIPA-PT Matematika Tahun 2016

Semoga bermanfaat. 🙂

Kombinasi Linear

Definisi
Sebuah vektor \(\vec{w}\) di V disebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vec{v_1}, \: \vec{v_1}, \cdots , \: \vec{v_r}\) di V, jika \(\vec{w}\) dapat ditulis dalam bentuk:

\(\vec{w} = k_1 \vec{v_1} +k_2 \vec{v_2}+ \cdots k_r \vec{v_r}\)

dimana \(k_1 , \: k_2 , \cdots k_r\) merupakan skalar. Skalar-skalar ini dikatakan sebagai koefisien dari kombinasi linear.

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh.

CONTOH 1
Periksa apakah \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\).

Pembahasan
Untuk menentukan apakah \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\), kita harus menemukan skalar-skalar \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi:

\((3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)\)

Nilai \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi adalah \(k_1 = 1\) dan \(k_2 =2\).
Jadi, \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\).

CONTOH 2
Periksa apakah \((3,5,7)\) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vec{u}=(1,1,2)\), \(\vec{v}=(1,0,1)\), dan \(\vec{u}=(2,1,3)\).

Pembahasan
Untuk menentukan apakah \((3,5,7)\) merupakan kombinasi linear dari \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\), kita harus menemukan sklar-skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi:

\((3,5,7) = k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w}\)

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian.

\((3,5,7) = k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3)\)

\((3,5,7) = (k_1 ,k_1 ,2k_1) + (k_2 ,0,k_2) + (2k_3 ,k_3 ,3k_3 )\)

\((3,5,7) = (k_1 +k_2 +2k_3 ,k_1 +k_3 ,2k_1 + k_2 +3k_3)\)

Diperoleh sistem persamaan linear.

\(k_1 +k_2 +2k_3 =3\)
\(k_1 +k_3 =5\)
\(2k_1 + k_2 +3k_3 =7\)

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

$latex \left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1 & 5\\
2 & 1 & 3 & 7\end{array}
\right]$

Dengan operasi baris elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu.

$latex \left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2\end{array}
\right]$

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

\(k_1 + k_2 + 2k_3 =3\)
\(k_2 + k_3 =1\)
\(0=2\)

Diperoleh \(0=2\) pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.
Jadi, tidak ada skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi. Dengan kata lain, \((3,5,7)\) bukan merupakan kombinasi linear dari \(\{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \}\).

CONTOH 3
Periksa apakah \(7+8x+9x^2\) merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom \(p_1 = 2+x+4x^2\), \(p_2 = 1 -x+3x^2\), dan \(p_3 = 3+2x+5x^2\).

Pembahasan
Kita akan menentukan skalar-skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi

\(7+8x+9x^2 = k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3\)

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linearnya.

\(7+8x+9x^2 = k_1 (2+x+4x^2) + k_2 (1 -x+3x^2) + k_3 (3+2x+5x^2)\)
\(7+8x+9x^2 = (2k_1 +k_1 x+4k_1 x^2) + (k_2 -k_2 x+3k_2 x^2) + (3k_3 +2k_3 x+5k_3 x^2)\)
\(7+8x+9x^2 = (2k_1 +k_2 +3k_3) +(k_1 -k_2 +2k_3)x+(4k_1 +3k_2 +5k_3)x^2\)

Diperoleh sistem persamaan linear.

\(2k_1 +k_2 +3k_3=7\)
\(k_1 -k_2 +2k_3=8\)
\(4k_1 +3k_2 +5k_3=9\)

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

$latex \left[
\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 3 & 7\\
1 & -1 & 2 & 8\\
4 & 3 & 5 & 9\end{array}
\right]$

Kita akan menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas adalah

$latex \left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & 3\end{array}
\right]$

Diperoleh

\(k_1 =0\)
\(k_2 =-2\)
\(k_3 =3\)

Jadi, \(7+8x+9x^2\) merupakan kombinasi linear dari \(\{ p_1 ,p_2 ,p_3 \}\), dengan koefisien kombinasi linear \(k_1 =0\), \(k_2 =-2\), dan \(k_3 =3\).

Subruang Vektor

Definisi
Sebuah subset W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V, jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku pada V.

Pada umumnya, untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan tak kosong W merupakan ruang vektor, kita perlu menunjukkan keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada himpunan tersebut. Akan tetapi, jika W merupakan subset dari suatu ruang vektor V maka kita tidak perlu mengecek keberlakuan kesepuluh aksioma, karena ada beberapa aksioma yang diturunkan dari ruang vektor V. Misalnya sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan yang diberikan. Kita tidak perlu mengecek apakah \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) berlaku pada W, karena hal ini berlaku untuk semua vektor yang berada pada himpunan V, termasuk vektor-vektor di W yang merupakan subsetnya.

Ada beberapa aksioma yang tidak diturunkan dari V, misalnya sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Karena W merupakan subset dari himpunan V, maka untuk setiap \(\vec{u},\vec{v} \in W\) tentu berlaku \(\vec{u}+\vec{v} \in V\). Tapi tidak ada jaminan bahwa \(\vec{u}+\vec{v} \in W\) karena mungkin saja terdapat \(\vec{u},\vec{v} \in W\) yang jumlahnya merupakan anggota V tetapi bukan merupakan anggota W.

Ada empat aksioma yang tidak diturunkan dari ruang vektor V, yaitu

  1. Aksioma 1 (Tertutup terhadap operasi penjumlahan)
  2. Aksioma 4 (Keberadaan vektor \(\vec{0}\) di himpunan W)
  3. Aksioma 5 (Keberadaan vektor \(-\vec{u}\) di himpunan W)
  4. Aksioma 6 (Tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar)

Teorema berikut ini menjamin bahwa kita hanya perlu menunjukkan keberlakuan aksioma 1 dan aksioma 6, karena aksioma 4 dan aksioma 5 merupakan akibat dari terpenuhinya kedua aksioma ini.

Teorema
Subset tak kosong W dari suatu ruang vektor V disebut sebagai subruang dari V jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:

  1. Untuk setiap \(\vec{u},\vec{v} \in W\) berlaku \(\vec{u} + \vec{v} \in W\)
  2. Untuk setiap \(\vec{u}\in W\) dan \(k \in \mathbb{R}\) berlaku \(k\vec{u} \in W\)

Bukti
Karena teorema di atas berbentuk biimplikasi, maka kita bagi menjadi dua bagian. Pertama, kita buktikan dari kiri. Diketahui W merupakan subruang dari V, berarti himpunan W memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, termasuk aksioma 1 dan 6 yang merupakan syarat (a) dan (b) pada teorema di atas.

Selanjutnya, kita buktikan dari kanan. W adalah subset dari V yang merupakan ruang vektor, berarti W memenuhi beberapa aksioma ruang vektor yang diturunkan dari V, yaitu aksioma 2, 3, 7,8,9, dan aksioma 10. Karena syarat (a) dan (b) pada teorema di atas merupakan aksioma 1 dan 6 dari ruang vektor, maka kita tinggal menunjukkan bahwa aksioma 4 dan aksioma 5 berlaku pada himpunan W.

Misalkan \(\vec{u}\) adalah sebarang anggota dari himpunan W. Karena \(-1 \in \mathbb{R}\), maka berdasarkan aksioma 6, \(-\vec{u}=(-1) \cdot \vec{u} \in W\). Berarti, aksioma 5 dipenuhi oleh himpunan W. Selanjutnya, berdasarkan aksioma 1, \(\vec{0} = \vec{u} + (-\vec{u}) \in W\). Berarti, himpunan W juga memenuhi aksioma 4.
Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka terbukti bahwa W merupakan subruang dari V.

CONTOH 1
Tunjukkan bahwa himpunan vektor dalam bentuk \((b_1 ,b_2 ,b_3)\) dengan \(b_1 =b_2\) merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^3\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah A.
Pertama, kita tunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.
Terdapat \((0,0,0) \in A\), sehingga himpunan A tidak kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Ambil sebarang \(\vec{u},\vec{v} \in A\) dan \(k \in \mathbb{R}\). Tulis

\(\vec{u}=(u_1 ,u_2 ,u_3)\) untuk suatu \(u_1 ,u_2 ,u_3 \in \mathbb{R}\) dengan \(u_1 =u_2\)
\(\vec{v}=(v_1 ,v_2 ,v_3)\) untuk suatu \(v_1 ,v_2 ,v_3 \in \mathbb{R}\) dengan \(v_1 =v_2\)

Perhatikan bahwa

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 ,u_2 ,u_3) + (v_1 ,v_2 ,v_3)=(u_1 + v_1 ,u_2 + v_2 ,u_3 + v_3)\)

Diketahui \(u_1 =u_2\) dan \(v_1 =v_2\), sehingga \(u_1 + v_1 =u_2 + v_2\).
Diperoleh \(\vec{u} + \vec{v} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Selanjutnya, perhatikan bahwa

\(k\vec{u} = k(u_1 ,u_2 ,u_3)=(ku_1 ,ku_2 ,ku_3)\)

Karena \(ku_1 =ku_2\), maka diperoleh \(k\vec{u} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.

Jadi, himpunan A merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Periksa apakah himpunan vektor dalam bentuk \((x_1 ,x_2)\) dengan \(x_1 \cdot x_2 =0\) merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^2\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah B.
Himpunan B bukan subruang dari \(\mathbb{R}^2\), karena himpunan B tidak bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Contoh penyangkal.
\((1,0), \: (0,1) \in B\), tetapi \((1,0) +(0,1) = (1,1) \notin B\).

CONTOH 3
Tunjukkan bahwa himpunan matriks \(2 \times 2\) dalam bentuk

$latex \left[
\begin{array}{rr}
a & b\\
c & d\end{array}
\right]$

dengan \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) dan \(a+b+c-d=0\), merupakan subruang dari \(M_{2 \times 2}\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah A.
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.
Terdapat

$latex \left[
\begin{array}{rr}
0 & 0\\
0 & 0\end{array}
\right] \in A$

sehingga himpunan A tidak kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Ambil sebarang \(\vec{u}, \vec{v} \in A\) dan \(k \in \mathbb{R}\). Tulis

$latex \vec{u} = \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right]$ untuk suatu \(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 \in \mathbb{R}\) dengan \(u_1 +u_2 +u_3 -u_4=0\)

$latex \vec{v} = \left[
\begin{array}{rr}
v_1 & v_2\\
v_3 & v_4\end{array}
\right]$ untuk suatu \(v_1 ,v_2 ,v_3 ,v_4 \in \mathbb{R}\) dengan \(v_1 +v_2 +v_3 -v_4=0\)

Perhatikan bahwa

$latex \vec{u} + \vec{v} = \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right] + \left[
\begin{array}{rr}
v_1 & v_2\\
v_3 & v_4\end{array}
\right]$

$latex \vec{u} + \vec{v} = \left[
\begin{array}{rr}
u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\
u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array}
\right]$

Karena

\((u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) + (u_3 + v_3) – (u_4 + v_4) = (u_1 +u_2 +u_3 -u_4) + (v_1 +v_2 +v_3 -v_4)\)
\((u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) + (u_3 + v_3) – (u_4 + v_4)=0+0=0\)

maka \(\vec{u} + \vec{v} \in A\)
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Selanjutnya, perhatikan bahwa

$latex k \vec{u} = k \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{rr}
ku_1 & ku_2\\
ku_3 & ku_4\end{array}
\right]$

Karena

\(ku_1 +ku_2 +ku_3 -ku_4 = k(u_1 +u_2 +u_3 -u_4)=k \cdot 0 =0\)

maka \(k \vec{u} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.

Jadi, himpunan A merupakan subruang dari \(M_{2 \times 2}\).

10 Aksioma Ruang Vektor

Sebelum masuk ke pembahasan, saya ingin menegaskan bahwa pembahasan kita pada artikel ini terbatas pada ruang vektor atas lapangan \(\mathbb{R}\). Dengan kata lain, kita akan membahas 10 aksioma yang dipenuhi oleh suatu ruang vektor real.

DEFINISI
Misalkan V adalah sebuah himpunan tak kosong dan \(\mathbb{R}\) adalah himpunan bilangan real. Pada himpunan V berlaku dua jenis operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. Operasi penjumlahan adalah sebuah aturan yang mengasosiasikan objek \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) di V dengan suatu objek \(\vec{u} + \vec{v}\), yang disebut jumlah \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\). Operasi perkalian skalar adalah sebuah aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k, dalam hal ini k merupakan bilangan real, dan objek \(\vec{u}\) di V dengan suatu objek \(k \vec{u}\), yang disebut kelipatan skalar dari \(\vec{u}\) oleh k. Himpunan V disebut sebagai ruang vektor atas lapangan \(\mathbb{R}\), jika sebarang objek \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) di V dan sebarang skalar k dan m, memenuhi 10 aksioma berikut ini.

  1. Jika \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) adalah objek di V, maka \(\vec{u} + \vec{v}\) juga berada di V.
  2. \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\).
  3. \(\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\).
  4. Terdapat objek \(\vec{0}\) di V, sedemikian sehingga \(\vec{0} + \vec{u} = \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\).
  5. Untuk setiap \(\vec{u} \in V\), terdapat objek \(-\vec{u}\) di V, sedemikian sehingga \(\vec{u} + (-\vec{u}) = (-\vec{u}) + \vec{u} = \vec{0}\).
  6. Jika k adalah sebarang skalar dan \(\vec{u}\) adalah sebarang objek di V, maka \(k \vec{u}\) juga berada di V.
  7. \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}\)
  8. \((k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}\)
  9. \(k(m \vec{u}) = (km) \vec{u}\)
  10. \(1 \vec{u} = \vec{u}\)

Salah satu hal yang perlu diperhatikan saat mengecek apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor, adalah operasi yang berlaku pada himpunan tersebut. Operas penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang berlaku tidak disyaratkan sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa (standar), terkadang operasi yang berlaku pada suatu himpunan didefinisikan sendiri.

Misalnya operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada \(\mathbb{R}^2\) adalah

\((u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) = (u_1 + v_1 , u_2 + v_2)\)
\(k(u_1 , u_2) = (ku_1 , ku_2)\)

Tetapi kedua operasi ini juga bisa didefinisikan sendiri, misalnya

\((u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) = (u_1 + v_1 – 1 , u_2 + v_2 – 1)\)
\(k(u_1 , u_2) = (0 , ku_2)\)

Selain itu, objek \(\vec{0}\) dan \(– \vec{u}\) tidak selalu sama dengan vektor nol dan negatif dari vektor yang selama ini kita kenal, misalnya \(\vec{0} = (0,0,…,0)\) dan \(– \vec{u} = ( -u_1 , -u_2, …, -u_n )\) pada \(\mathbb{R}^n\) dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar. Kedua vektor ini bergantung pada operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku pada himpunan tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kita masuk ke contoh soal.

CONTOH 1
Periksa apakah himpunan V yang berisi semua matriks \(2 \times 2\) dengan entri-entri bilangan real merupakan ruang vektor, jika operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku adalah operasi standar pada matriks.

Ambil sebarang \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\) dan \(k,m \in \mathbb{R}\). Tulis

\(\vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] , \quad u_1 , u_2 , u_3, u_4 \in \mathbb{R}\)

\(\vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] , \quad v_1 , v_2 , v_3, v_4 \in \mathbb{R}\)

\(\vec{w} = \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] , \quad w_1 , w_2 , w_3, w_4 \in \mathbb{R}\)

Aksioma 1

\(\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]\)

Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, sehingga

\(u_1 + v_1 , \: u_2 + v_2 , \: u_3 + v_3 , \: u_4 + v_4 \in \mathbb{R}\).

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka \(\vec{u} + \vec{v} \in V\).

Aksioma 2

\(\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]\)

Pada bilangan real, berlaku sifat komutatif, sehingga

\(\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 + u_1 & v_2 + u_2\\ v_3 + u_3 & v_4 + u_4\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)

Aksioma 3

$latex \vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left(
\left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] +
\left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] \right)$

$latex \vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] +
\left[ \begin{array}{rr} v_1 + w_1 & v_2 + w_2\\ v_3 + w_3 & v_4 + w_4\end{array} \right]$

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + (v_1 + w_1) & u_2 + (v_2 + w_2)\\ u_3 + (v_3 + w_3) & u_4 + (v_4 + w_4)\end{array} \right]\)

Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif, sehingga

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} (u_1 + v_1) + w_1 & (u_2 + v_2) + w_2\\ (u_3 + v_3) + w_3 & (u_4 + v_4) + w_4\end{array} \right]\)

$latex \vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right] +
\left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right]$

$latex \vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right) +
\left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right]$

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = ( \vec{u} + \vec{v} ) + \vec{w}\)

Aksioma 4

Terdapat

\(\vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] \in V\)

sedemikian sehingga

\(\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 &0\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + 0 & u_2 + 0\\ u_3 + 0 & u_4 + 0\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + \vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] = \vec{u}\)

Aksioma 5

Untuk setiap \(\vec{u}\), terdapat

\(– \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right] \in V\)

sedemikian sehingga

\(\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} u_1 + (-u_1) & u_2 + (-u_2)\\ u_3 + (-u_3)& u_4 + (-u_4)\end{array} \right]\)

\(\vec{u} + (- \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] = \vec{0}\)

Aksioma 6

\(k \vec{u} = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\(k \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right]\)

Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, sehingga

\(ku_1 , \: ku_2 , \: ku_3 , \: ku_4 \in \mathbb{R}\).

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka \(k \vec{u} \in V\)

Aksioma 7

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} k(u_1 + v_1) & k(u_2 + v_2)\\ k(u_3 + v_3) & k(u_4 + v_4)\end{array} \right]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + kv_1 & ku_2 + kv_2\\ ku_3 + kv_3 & ku_4 + kv_4\end{array} \right]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} kv_1 & kv_2\\ kv_3 & kv_4\end{array} \right]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + k \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \vec{u} + k \vec{v}\)

Aksioma 8

\((k+m) \vec{u} = (k+m) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\((k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} (k+m)u_1 & (k+m)u_2\\ (k+m)u_3 & (k+m)u_4\end{array} \right]\)

\((k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + mu_1 & ku_2 + mu_2\\ ku_3 + mu_3 & ku_4 + mu_4\end{array} \right]\)

\((k+m) \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right]\)

\((k+m) \vec{u} = k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\((k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}\)

Aksioma 9

\(k (m \vec{u}) = k \left( m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \right)\)

\(k (m \vec{u}) = k \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right]\)

\(k (m \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} k(mu_1 ) & k(mu_2 )\\ k(mu_3 ) & k(mu_4 )\end{array} \right]\)

Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian, sehingga

\(k (m \vec{u}) = \left[ \begin{array}{rr} (km)u_1 & (km)u_2\\ (km)u_3 & (km)u_4\end{array} \right]\)

\(k (m \vec{u}) = (km) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\(k (m \vec{u}) = (km) \vec{u}\)

Aksioma 10

\(1 \vec{u} = 1 \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\(1 \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} 1 \cdot u_1 & 1 \cdot u_2\\ 1 \cdot u_3 & 1 \cdot u_4\end{array} \right]\)

\(1 \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right]\)

\(1 \vec{u} = \vec{u}\)

Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma di atas, maka himpunan matriks \(2 \times 2\) dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar merupakan ruang vektor.

Selanjutnya, kita masuk ke contoh kedua. Kali ini, operasi yang diberikan bukanlah operasi standar.

CONTOH 2

Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk \((1,a)\). Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.

\((1,u_1 ) + (1,v_1 ) = (1,u_1 + v_1 )\)
\(k(1,u_1)=(1,ku_1)\)

Ambil sebarang \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\) dan \(k,m \in \mathbb{R}\). Tulis

\(\vec{u}=(1, u_1), \quad u_1 \in \mathbb{R}\)
\(\vec{v}=(1, v_1), \quad v_1 \in \mathbb{R}\)
\(\vec{w}=(1, w_1), \quad w_1 \in \mathbb{R}\)

Aksioma 1

\(\vec{u} + \vec{v} = (1, u_1) + (1, v_1) = (1,u_1 + v_1 )\)

Pada operasi penjumlahan bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga \(u_1 + v_1 \in \mathbb{R}\).
Karena komponen pertamanya adalah \(1\) dan \(u_1 + v_1 \in \mathbb{R}\), maka \(\vec{u}+\vec{v} \in \mathbb{R}\).

Aksioma 2

\(\vec{u} + \vec{v} = (1, u_1) + (1, v_1) = (1,u_1 + v_1 )\)

Berdasarkan sifat komutatif pada bilangan real, \(u_1 + v_1 =v_1 + u_1\), sehingga

\(\vec{u} + \vec{v} = (1,v_1 + u_1 )\)

\(\vec{u} + \vec{v} = (1, v_1) + (1, u_1)=\vec{v} + \vec{u}\)

Aksioma 3

\(\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = (1, u_1) + [(1, v_1)+(1, w_1)]\)

\(\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = (1, u_1) + (1,v_1 + w_1 )=(1,u_1 + [v_1 + w_1 ])\)

Berdasarkan sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan real diperoleh

\(\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) =(1,[u_1 + v_1 ] + w_1 ) = (1,u_1 + v_1 ) + (1,w_1 )\)

\(\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) = [(1, u_1) + (1, v_1)]+(1, w_1) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\)

Aksioma 4

Terdapat \(\vec{0} = (1,0) \in V\), sedemikian sehingga

\(\vec{u} + \vec{0} = (1, u_1) + (1, 0)\)

\(\vec{u} + \vec{0} = (1,u_1 + 0 )=(1, u_1)=\vec{u}\)

Aksioma 5

Untuk setiap \(\vec{u}=(1,u_1) \in V\), terdapat \(-\vec{u} = (1, -u_1 ) \in V\) sedemikian sehingga

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = (1,u_1) + (1, -u_1 )\)

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = (1,u_1 + (-u_1)) = (1, 0) = \vec{0}\)

Aksioma 6

\(k \vec{u} = k(1,u_1 )=(1,ku_1)\)

Pada operasi perkalian bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga \(ku_1 \in \mathbb{R}\).
Karena komponen pertamanya adalah \(1\) dan \(ku_1 \in \mathbb{R}\), maka \(k \vec{u} \in \mathbb{R}\).

Aksioma 7

\(k (\vec{u} + \vec{v})=k[(1, u_1) + (1, v_1)]\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=k[(1, u_1 + v_1 )]\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=(1, k[u_1 + v_1 ])\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=(1, ku_1 + kv_1 )\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=(1, ku_1) + (1, kv_1)\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=k(1, u_1) + k(1, v_1)\)

\(k (\vec{u} + \vec{v})=k \vec{u} + k \vec{v}\)

Aksioma 8

\((k+m) \vec{u} = [k+m](1,u_1)\)

\((k+m) \vec{u} = (1,[k+m]u_1)\)

\((k+m) \vec{u} = (1,ku_1 + mu_1)\)

\((k+m) \vec{u} = (1,ku_1)+(1,mu_1)\)

\((k+m) \vec{u} = k(1,u_1)+ m(1,u_1)\)

\((k+m) \vec{u} = k \vec{u}+ m \vec{u}\)

Aksioma 9

\(k(m\vec{u})=k[m(1,u_1)]\)

\(k(m\vec{u})=k(1,mu_1)\)

\(k(m\vec{u})=(1,k[mu_1])\)

\(k(m\vec{u})=(1,[km]u_1)\)

\(k(m\vec{u})=[km](1,u_1)\)

\(k(m\vec{u})=(km) \vec{u}\)

Aksioma 10

\(1 \vec{u} = 1(1,u_1)= (1, 1 \cdot u_1)=(1,u_1)=\vec{u}\)

Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan V dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

CONTOH 3

Himpunan bilangan real positif, dengan operasi

\(\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v) = (uv)\)
\(k \vec{u} = k(u)=u^k\)

Misalkan himpunan tersebut adalah V.
Ambil sebarang \(\vec{u},\vec{v},\vec{w} \in V\) dan \(k,m \in \mathbb{R}\). Tulis

\(\vec{u} = (u)\)
\(\vec{v} = (v)\)
\(\vec{w} = (w)\)

Aksioma 1

\(\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v) = (uv)\)

Karena \(uv\) merupakan bilangan real positif, maka

\(\vec{u} + \vec{v} \in V\)

Aksioma 2

\(\vec{u} + \vec{v} = (u) + (v)\)

\(\vec{u} + \vec{v} = (uv)\)

\(\vec{u} + \vec{v} = (vu)\)

\(\vec{u} + \vec{v} = (v) + (u)\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)

Aksioma 3

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u) + [ (v) + (w) ]\)

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u) + (vw)\)

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (u[vw])\)

Pada bilangan real, berlaku sifat asosiatif dan komutatif terhadap operasi perkalian, sehingga

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = ([uv]w)\)

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (uv) + (w)\)

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = [(u) + (v)] + (w)\)

\(\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\)

Aksioma 4

Terdapat \(\vec{0} = (1) \in V\), sedemikian sehingga

\(\vec{u} + \vec{0} = (u) + (1)\)

\(\vec{u} + \vec{0} = (u \cdot 1)\)

\(\vec{u} + \vec{0} = (u) = \vec{u}\)

Aksioma 5

Untuk setiap \(\vec{u} = (u) \in V\), terdapat

\(-\vec{u} = (\frac{1}{u}) \in V\)

sedemikian sehingga

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = (u) + (\frac{1}{u})\)

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = (u \cdot \frac{1}{u})\)

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = (1) = \vec{0}\)

Aksioma 6

\(k \vec{u} = k(u) = (u^k)\)

Karena \(u^k \in \mathbb{R}^+\), maka \(k \vec{u} \in V\).

Aksioma 7

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k [(u) + (v)]\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k (uv)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = ([uv]^k)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = (u^k v^k)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = (u^k) + (v^k)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k(u) + k(v)\)

\(k( \vec{u} + \vec{v} ) = k \vec{u} + k \vec{v}\)

Aksioma 8

\((k+m) \vec{u} = [k+m] (u)\)

\((k+m) \vec{u} = (u^{k+m})\)

\((k+m) \vec{u} = (u^k u^m)\)

\((k+m) \vec{u} = (u^k) + (u^m)\)

\((k+m) \vec{u} = k(u) + m(u)\)

\((k+m) \vec{u} = k \vec{u} + m \vec{u}\)

Aksioma 9

\(k(m \vec{u}) = k[ m (u)]\)

\(k(m \vec{u}) = k(u^m)\)

\(k(m \vec{u}) = ([u^m]^k)\)

\(k(m \vec{u}) = (u^{mk})\)

\(k(m \vec{u}) = (u^{km})\)

\(k(m \vec{u}) = [km] (u) = (km) \vec{u}\)

Aksioma 10

\(1 \vec{u} = 1 (u) = (u^1)=(u)=\vec{u}\)

Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka himpunan bilangan real positif dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

Oh iya. Untuk menentukan bahwa suatu himpunan tidak termasuk ruang vektor, kita tidak perlu menuliskan kesepuluh aksioma dan mengecek keberlakuannya satu per satu. Kita cukup menunjukkan aksioma mana saja yang tidak dipenuhi oleh himpunan tersebut. Misalnya pada contoh berikut ini.

CONTOH 4

Himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan standar, tetapi operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai

\(k(u_1 , u_2) = (0 , ku_2)\)

Himpunan V bukan termasuk ruang vektor, karena aksioma 10 tidak berlaku pada semua vektor di himpunan V.

Misalkan \(\vec{u} = (u_1 , u_2 ) \in V\), dengan \(u_1 \neq 0\)

Perhatikan bahwa

\(1 \vec{u} = 1(u_1 , u_2 )=(0, 1 \cdot u_1)=(0,u_1) \neq \vec{u}\)

Jadi, himpunan V dengan operasi yang diberikan bukanlah ruang vektor.

Dengan keempat contoh di atas, sepertinya sudah ada gambaran bagaimana memeriksa apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan.

Satu lagi, \(\vec{0}\) dan \(-\vec{u}\) pada aksioma 4 dan aksioma 5 bukan sekadar hasil tebakan atau muncul tiba-tiba yah. Ada prosedur matematis untuk menentukan kedua vektor ini.

Perhatikan kembali contoh 2.

Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk \((1,a)\). Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.

\((1,u_1 ) + (1,v_1 ) = (1,u_1 + v_1 )\)
\(k(1,u_1)=(1,ku_1)\)

Himpunan V berisi pasangan bilangan real berbentuk \((1,a)\), sehingga \(\vec{0}\) dan \(-\vec{u}\) secara berturut-turut adalah \((1,x)\) dan \((1,y)\) untuk suatu bilangan real \(x\) dan \(y\).
Karena \(\vec{0}\) adalah elemen identitas, maka berlaku

\(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)

\((1 , u_1) + (1,x)=(1,u_1)\)

\((1 , u_1 + x)=(1,u_1)\)

Diperoleh \(u_1 +x=u_1\), sehingga \(x=0\).
Jadi, \(\vec{0}=(1,0)\)

Selanjutnya, karena \(-\vec{u}\) adalah invers penjumlahan dari \(\vec{u}\), maka

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)

\((1,u_1) + (1,y) = (1,0)\)

\((1,u_1 + y) = (1,0)\)

Diperoleh \(u_1 + y = 0\), sehingga \(y=-u_1\).
Jadi, \(-\vec{u}=(1,-u_1 )\).

Sebagai contoh lain. Diberikan himpunan V yang berisi pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai

\((u_1 ,u_2) + (v_1 , v_2 )=(u_1 + v_1 -1, u_2 + v_2 -1)\)

Kita akan menentukan \(\vec{0}\) dan \(-\vec{u}\) pada himpunan tersebut.

Misalkan \(u=(u_1 , u_2) \in V\). Karena V berisi pasangan bilangan real, maka \(\vec{0}\) dan \(-\vec{u}\) secara berturut-turut berbentuk \((a,b)\) dan \((c,d)\) untuk suatu bilangan real a, b,c, dan d.

Pertama, kita akan menentukan vektor nol dari himpunan V. Perhatikan bahwa

\(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)

\((u_1 , u_2 ) + (a,b) = (u_1 , u_2 )\)

\((u_1 +a-1, u_2 + b-1) = (u_1 , u_2 )\)

Diperoleh \(u_1 +a-1 = u_1\) dan \(u_2 +a-1 = u_2\). Sehingga \(a=1\) dan \(b=1\).
Jadi, \(\vec{0}=(1,1)\).

Selanjutnya, kita akan menentukan \(-\vec{u}\). Perhatikan bahwa

\(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)

\((u_1 , u_2 ) + (c,d) = (1,1)\)

\((u_1 +c-1, u_2 + d-1) = (1,1)\)

Diperoleh

\(u_1 +c-1 = 1 \Longrightarrow c=2-u_1\)

\(u_1 +d-1 = 1 \Longrightarrow d=2-u_2\)

Jadi, \(-\vec{u} = (2-u_1 , 2-u_2)\)

Demikianlah pembahasan tentang 10 aksioma ruang vektor. Jika ada yang kurang jelas, silahkan ditanyakan lewat kolom komentar.
Semoga bermanfaat. 🙂

Pembuktian Turunan tan x dan cot x

Masih melanjutkan postingan tentang turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan tan x dan turunan cot x.

\(D_x (\tan x)=\sec ^2 x\)
\(D_x (\cot x)=-\csc ^2 x\)

Turunan tan x

Kita mulai dengan mengubah tan x menjadi hasil bagi antara sin x dan cos x.

\(D_x (\tan x)=D_x \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)\)

Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh.

\(D_x (\tan x)=\frac{\cos x \cdot D_x (\sin x)-\sin x \cdot D_x (\cos x)}{(\cos x)^2}\)

Diketahui bahwa

\(D_x (\sin x)=\cos x\) (BUKTI)

dan

\(D_x (\cos x)=-\sin x\) (BUKTI)

Sehingga

\(D_x (\tan x)=\frac{\cos x \cdot \cos x -\sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2}\)

\(D_x (\tan x)=\frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{(\cos x)^2}\)

Ingat identitas trigonometri: \(\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1\)

\(D_x (\tan x)=\frac{1}{(\cos x)^2}\)

\(D_x (\tan x)=\sec ^2 x\)

Terbukti. Selanjutnya kita melangkah ke pembuktian turunan cot x.

Turunan cot x

Kita mulai dengan menulis cot x sebagai hasil bagi antara cos x dengan sin x.

\(D_x (\cot x)=D_x \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)\)

Dengan menggunakan aturan pembagian, diperoleh

\(D_x (\cot x)=\frac{\sin x \cdot D_x (\cos x) – \cos x \cdot D_x (sin x)}{(\sin x)^2}\)

Diketahui

\(D_x (\sin x)=\cos x\)

dan

\(D_x (\cos x)=-\sin x\)

Sehingga

\(D_x (\cot x)=\frac{\sin x \cdot (- \sin x) – \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2}\)

\(D_x (\cot x)=\frac{- \sin ^2 x – \cos ^2 x}{(\sin x)^2}\)

\(D_x (\cot x)=\frac{- (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\sin x)^2}\)

Ingat identitas trigonometri: \(\sin ^2 x + \cos ^2 x=1\)

\(D_x (\cot x)= – \frac{1}{(\sin x)^2}\)

\(D_x (\cot x)= – \csc ^2 x\)

Terbukti.

Selain dengan aturan pembagian, kita juga bisa membuktikan turunan fungsi-fungsi di atas dengan menggunakan definisi turunan. Untuk pembuktian dengan cara ini, saya serahkan kepada pembaca. Silahkan mencoba. 🙂

Pembuktian Turunan cos x dan sec x

Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan cos x dan sec x.

\(D_x (\cos x) = – \sin x\)
\(D_x (\sec x) = \sec x \tan x\)

Bukti Turunan cos x

\(D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h) – \cos x}{h}\)

Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperoleh

\(D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x \cos h – \sin x \sin h – \cos x}{h}\)

Urutkan ulang

\(D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{- \sin x \sin h – \cos x + \cos x \cos h}{h}\)

\(D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{- \sin x \sin h – \cos x (1 – \cos h)}{h}\)

Selanjutnya gunakan sifat limit pengurangan fungsi

\(D_x (\cos x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} – \frac{\sin x \sin h}{h} – \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x (1 – \cos h)}{h}\)

Limit yang diinginkan adalah untuk h menuju 0. Karena \(\sin x\) dan \(\cos x\) tidak memuat variabel h, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh

\(D_x (\cos x) = – \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} – \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 – \cos h}{h}\)

Diketahui bahwa

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1\)

dan

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 – \cos h}{h}=0\)

Diperoleh

\(D_x (\cos x) = – \sin x \cdot 1 – \cos x \cdot 0\)

\(D_x (\cos x) = – \sin x\)

Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut

\(D_x (\cos x) = D_x (\sin ( \frac{\pi}{2} – x))\)

Diketahui bahwa \(D_x (\sin x) = \cos x\) (Bukti). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

\(D_x (\cos x) = -1 \cdot \cos ( \frac{\pi}{2} – x)\)

\(D_x (\cos x) = -(\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x)\)

\(D_x (\cos x) = – \cos \frac{\pi}{2} \cos x – \sin \frac{\pi}{2} \sin x\)

Diketahui \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\) dan \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\)

\(D_x (\cos x) = -1 \cdot 0 \cdot \cos x – 1 \cdot \sin x\)

\(D_x (\cos x) = – \sin x\)

Bukti Turunan sec x

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sec (x+h) – \sec x}{h}\)

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\cos (x+h)} – \frac{1}{\cos x}}{h}\)

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\cos x – \cos (x+h)}{\cos (x+h) \cos x}}{h}\)

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \frac{\cos x – \cos (x+h)}{h}\)

Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x – \cos (x+h)}{h}\)

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x – (\cos x \cos h – \sin x \sin h)}{h}\)

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x} \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x (1 – \cos h) + \sin x \sin h}{h}\)

Berdasarkan sifat limit pengurangan fungsi dan sifat kelipatan konstan, diperoleh

\(D_x (\sec x) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x+h) \cos x} \left( \cos x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(1 – \cos h)}{h} + \sin x \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \right)\)

Diketahui bahwa

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1\)

dan

\(\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 – \cos h}{h}=0\)

Diperoleh

\(D_x (\sec x) = \frac{1}{\cos x \cdot \cos x} ( \cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 1)\)

\(D_x (\sec x) = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\)

\(D_x (\sec x) = \sec x \cdot \tan x\)

Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.

\(D_x (\sec x) = D_x \left( \frac{1}{\cos x} \right)\)

\(D_x (\sec x) = \frac{0 \cdot \cos x – (- \sin x) \cdot 1}{(\cos x)^{2}}\)

\(D_x (\sec x) = \frac{\sin x}{(\cos x)^{2}}\)

\(D_x (\sec x) = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\)

\(D_x (\sec x) = \sec x \cdot \tan x\)

Terbukti.