Akar Bilangan Prima adalah Bilangan Irasional

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor positif, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol).

Dalam postingan ini, kita akan membuktikan sebuah teorema berkaitan dengan bilangan prima dan bilangan irasional. Teorema ini akan kita buktikan dengan kontradiksi (Proof by Contradiction).

Akar dari bilangan prima adalah bilangan irasional.

Pertama, kita buat negasi dari teorema di atas.

Akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional.

Misalkan bilangan prima itu dengan p. Karena \sqrt{p} bilangan rasional, maka \sqrt{p} dapat dituliskan dalam bentuk
\frac{a}{b} \quad a,b \in \mathbb{Z} \quad b \neq 0
dengan a dan b relatif prima, atau FPB(a,b) = 1.

\sqrt{p} = \frac{a}{b}
p = \frac{a^2}{b^2}
pb^2 = a^2 . . . (1)
b^2 = \frac{a^2}{p}
b^2 = a ( \frac{a}{p} )

p habis membagi a, artinya ada bilangan bulat x sehingga a = px.

Substitusi a = px ke persamaan (1).

pb^2 = (px)^2
pb^2=p^2 x^2
b^2 = px^2
\frac{b^2}{p} = x^2
b ( \frac{b}{p} ) = x^2

Dari hasil di atas diperoleh bahwa p juga membagi habis b. Dengan demikian, p merupakan faktor persekutuan dari a dan b. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa FPB(a,b) = 1.

Ini berarti pengandaian sebelumnya bahwa \sqrt{p} rasional tidak boleh dilakukan. Secara tidak langsung, kita membuktikan bahwa \sqrt{p} merupakan bilangan irasional, untuk setiap bilangan prima p.

Leave a Reply

Your e-mail address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.