Berhati-hati dalam Membuat Definisi

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, definisi merupakan kata, frasa, atau kalimat yang mengungkapkan makna, keterangan, atau ciri utama dari orang, benda, proses, atau aktivitas. Sederhananya, definisi adalah penjelasan atas suatu hal.

Kita perlu berhati-hati dalam mendefinisikan suatu hal, khususnya dalam matematika. Berhati-hati dalam artian membatasi ruang lingkup (semesta) pembicaraan. Dengan definisi yang tepat, kita bisa membedakan dengan tegas objek mana saja yang termasuk ke dalam hal yang kita definisikan tersebut, dan objek mana yang tidak termasuk.

Misalnya, kita mendefinisikan bilangan irasional sebagai berikut.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan 0).

Konsekuensinya, setiap bilangan yang memenuhi syarat di atas; yang tidak bisa dituliskan dalam bentuk \frac{a}{b} \; a,b \in Z \; b \neq 0 perlu dimasukkan ke dalam kelompok bilangan irasional.

Lantas bagaimana dengan \sqrt{-1}?

Berdasarkan definisi yang kita buat, bilangan ini seharusnya termasuk bilangan irasional, karena \sqrt{-1} memenuhi syarat yang diberikan.

Tetapi, benarkah \sqrt{-1} itu bilangan irasional?
Tentu tidak, \sqrt{-1} merupakan bilangan imajiner yang berbeda jauh dengan bilangan irasional. Berarti, ada yang perlu kita perbaiki dari definisi di atas.

Kesalahannnya terletak pada semesta pembicaraan. Pada definisi di atas, semesta pembicaraan tidak dibatasi, sepanjang objek itu merupakan bilangan dan memenuhi kriteria, maka bilangan tersebut dikelompokkan sebagai bilangan irasional.

Sebagai solusi, kita perlu membatasi ruang lingkup pembicaraan, memberi batasan bahwa kita berbicara dalam ruang lingkup bilangan real. Sehingga, definisi di atas berubah menjadi:

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dituliskan dalam hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan 0).

Dalam kasus lain, kita mendefinisikan bilangan prima sebagai bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor.

Merupakan hal yang tepat dengan membatasi pembicaraan pada bilangan asli. Jadi, apakah definisi di atas sudah benar? Belum tentu.
Dalam definisi tersebut, tercantum kata faktor. Faktor sendiri merupakan bilangan bulat (positif atau negatif) yang membagi habis bilangan lainnya. Faktor dari 3 adalah -1, -3, 1, dan 3. Karena keempat bilangan tersebut membagi 3 tanpa meninggalkan sisa (membagi habis).

Berdasarkan definisi di atas, yang termasuk bilangan prima hanya satu buah, yaitu 1. Bilangan 1 memiliki tepat dua faktor, yaitu -1 dan 1. Padahal jumlah bilangan prima tak terhingga. Terjadi kontradiksi.

Definisi di atas perlu diperbaiki dengan menambahkan kata “positif” di depan kata “faktor”, menjadi

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor positif.

Kesimpulan
Saat membuat definisi dalam matematika, ibaratkan kita sedang berhadapan dengan orang skeptis yang tidak serta merta menerima definisi yang kita berikan. Orang yang terus memberi pertanyaan, yang akan membuat kita semakin yakin atau justru ragu terhadap definisi yang kita buat.

Kembali menyinggung masalah bilangan irasional di atas.
Seandainya kita diberikan sekelompok bilangan, maka berbekal definisi yang tepat, kita bisa membedakan bilangan mana saja yang termasuk irasional dan mana yang tidak termasuk. Kita bisa membedakan dengan tegas, tanpa keraguan sedikitpun.

Jika timbul perasaan ragu atau malah kebingungan dalam memilah objek-objek tersebut, maka kita perlu mengecek kembali definisi yang kita buat.

You may also like...

4 Responses

  1. aimprof08 says:

    tulisan yang keren mas 🙂

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.