Bilangan Rasional dan Irasional

Sebelum melangkah ke pembahasan utama, kita perlu mengetahui definisi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Notasi bilangan rasional adalah \mathbb{Q}. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional, dengan kata lain bilangan real yang tidak memenuhi syarat bilangan rasional di atas. Bilangan irasional biasanya ditulis dengan notasi pengurangan himpunan, yaitu \mathbb{R} - \mathbb{Q}.

Salah satu bahasan menarik di sini adalah jenis bilangan yang terbentuk jika bilangan rasional dan irasional dijumlah atau dikalikan. Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan hal di atas.

Teorema 1: Bilangan rasional + Bilangan irasional = Bilangan irasional

BUKTI
Ingkaran teorema di atas adalah

“Hasil jumlah bilangan rasional dan irasional adalah bilangan rasional”

Ingkaran tersebut dapat ditulis a + b = c, dengan a,c bilangan rasional dan b bilangan irasional. Berdasarkan definisi, a dapat ditulis sebagai \frac{p}{q} dan c dapat ditulis \frac{r}{s}, dengan p,q,r,s \in \mathbb{Z} \quad q,s \neq 0.

a + b = c
\Leftrightarrow \frac{p}{q} + b = \frac{r}{s}
\Leftrightarrow b = \frac{r}{s} - \frac{p}{q}
\Leftrightarrow b = \frac{qr - ps}{qs}

Misalkan qr-ps = m dan qs=n, sehingga diperoleh b=\frac{m}{n}. Akibatnya, b merupakan bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa b bilangan irasional.

Q.E.D

Teorema 2: Bilangan rasional selain nol x Bilangan irasional = Bilangan irasional

BUKTI
Ingkaran teorema 2 adalah

“Hasil kali bilangan rasional selain nol dengan bilangan irasional adalah bilangan rasional”

Ingkaran ini dapat ditulis a x b = c, dengan a bilangan rasional selain nol, c bilangan rasional dan b bilangan irasional.

a \cdot b = c
\Leftrightarrow \frac{p}{q} \cdot b = \frac{r}{s}
\Leftrightarrow b = \frac{r}{s} \cdot \frac{q}{p}
\Leftrightarrow b = \frac{qr}{ps}

Misalkan qr=k dan ps=w, sehingga diperoleh b=\frac{k}{w}. Akibatnya b bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa b bilangan irasional.

Berdasarkan pembuktian di atas, kita tahu bahwa bilangan irasional jika dikali dengan bilangan rasional selain nol atau dijumlah dengan bilangan rasional akan menghasilkan bilangan irasional. Pertanyaan selanjutnya yang mungkin muncul adalah

“Adakah bilangan irasional yang jika dijumlah atau dikali dengan bilangan irasional lain menghasilkan bilangan rasional?”

Jawabannya ya, jumlah dua bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional atau bilangan irasional, tergantung bilangan irasional yang kita jumlahkan. Hal yang sama juga berlaku pada operasi perkalian. Perhatikan contoh berikut.

  1. \pi + (- \pi) = 0
  2. \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}
  3. \sqrt{2} \times \sqrt{8} =4
  4. \sqrt{3} \times \pi = \pi \sqrt{3}

Pada contoh 2 dan 4, diperoleh jumlah dan hasil kali yang tetap bilangan irasional. Contoh 1 dan 3 menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus, jumlah dan hasil kali antar bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.