Merentang (Membangun)

Jika \(S=\{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}\) merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

\begin{align*}
W=span(S)=span \{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}
\end{align*}

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika \(V=span(S)\), dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan \(S=\{(1,0),(0,1)\}\) merentang \(\mathbb{R}^2\), karena setiap vektor \((a,b)\) yang ada di \(\mathbb{R}^2\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

\begin{align*}
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)
\end{align*}

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan \(\{(-1,0),(0,1)\}\) juga merentang \(\mathbb{R}^2\).

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1
Periksa apakah \(S=\{(1,1,2),(1,0,1),(2,1,3)\}\) merentang ruang vektor \(\mathbb{R}^3\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\). Tulis \(\vec{v} =(a,b,c)\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{v}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

v ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_1 + k_3 =b \\
2k_1 + k_2 + 3k_3 =c
\end{align*}

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \(\mathbb{R}^3\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 2\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 1

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

Alternatif:

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
1 & 0 & 1 & b\\
2 & 1 & 3 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & -1 & -1 & -a+b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dengan (-1).

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & 0 & 0 & -a-b+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_2 + k_3 =a-b \\
-a-b+c=0
\end{align*}

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika \(-a-b+c=0\). Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Diketahui \(\vec{p_1}=1+x+x^2\), \(\vec{p_2}= 1+x^2\), dan \(\vec{p_3}= 1+2x\).
Periksa apakah \(S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}\) merentang \(P_2\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{p} \in P_2\). Tulis \(\vec{p} = a +bx+cx^2\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{p}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

p ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_1+2k_3 =b \\
k_1+k_2 =c
\end{align*}

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 0\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 2

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang \(P_2\).

Alternatif:

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
1 & 0 & 2 & b\\
1 & 1 & 0 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & -1 & 1 & -a+b\\
0 & 0 & -1 & -a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & -1 & a-b\\
0 & 0 & 1 & a-c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_2 – k_3 =a-b \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Dengan substitusi balik, diperoleh

\begin{align*}
k_1 =-2a +b+2c \\
k_2 =2a-b-c \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang \(P_2\).

Kombinasi Linear

Definisi
Sebuah vektor \(\vec{w}\) di V disebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vec{v_1}, \: \vec{v_1}, \cdots , \: \vec{v_r}\) di V, jika \(\vec{w}\) dapat ditulis dalam bentuk:
\begin{align*}
\vec{w} = k_1 \vec{v_1} +k_2 \vec{v_2}+ \cdots k_r \vec{v_r}
\end{align*}
dimana \(k_1 , \: k_2 , \cdots k_r\) merupakan skalar. Skalar-skalar ini dikatakan sebagai koefisien dari kombinasi linear.

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh.

CONTOH 1
Periksa apakah \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\).

Pembahasan
Untuk menentukan apakah \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\), kita harus menemukan skalar-skalar \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi:

\begin{align*}
(3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)
\end{align*}

Nilai \(k_1\) dan \(k_2\) yang memenuhi adalah \(k_1 = 1\) dan \(k_2 =2\).
Jadi, \((3,5)\) merupakan kombinasi linear dari \(S= \{ (1,1),(1,2) \}\).

CONTOH 2
Periksa apakah \((3,5,7)\) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \(\vec{u}=(1,1,2)\), \(\vec{v}=(1,0,1)\), dan \(\vec{u}=(2,1,3)\).

Pembahasan
Untuk menentukan apakah \((3,5,7)\) merupakan kombinasi linear dari \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\), kita harus menemukan skalar-skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi:

\begin{align*}
(3,5,7) = k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w}
\end{align*}

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian.

kombinasi linear dari u v dan w

Diperoleh sistem persamaan linear.

\begin{align*}
k_1 +k_2 +2k_3 =3 \\
k_1 +k_3 =5 \\
2k_1 + k_2 +3k_3 =7
\end{align*}

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1 & 5\\
2 & 1 & 3 & 7\end{array}
\right]
\end{align*}

Dengan operasi baris elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu.

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2\end{array}
\right]
\end{align*}

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =3 \\
k_2 + k_3 =1 \\
0=2
\end{align*}

Diperoleh \(0=2\) pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.
Jadi, tidak ada skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi. Dengan kata lain, \((3,5,7)\) bukan merupakan kombinasi linear dari \(\{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \}\).

CONTOH 3
Periksa apakah \(7+8x+9x^2\) merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom \(p_1 = 2+x+4x^2\), \(p_2 = 1 -x+3x^2\), dan \(p_3 = 3+2x+5x^2\).

Pembahasan
Kita akan menentukan skalar-skalar \(k_1 ,k_2 ,k_3\) yang memenuhi

\begin{align*}
7+8x+9x^2 = k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3
\end{align*}

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linearnya.

kombinasi linear dari p1 p2 dan p3

Diperoleh sistem persamaan linear.

\begin{align*}
2k_1 +k_2 +3k_3=7 \\
k_1 -k_2 +2k_3=8 \\
4k_1 +3k_2 +5k_3=9
\end{align*}

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 3 & 7\\
1 & -1 & 2 & 8\\
4 & 3 & 5 & 9\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita akan menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & 3\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1 &= 0 \\
k_2 &= -2 \\
k_3 &= 3
\end{align*}

Jadi, \(7+8x+9x^2\) merupakan kombinasi linear dari \(\{ p_1 ,p_2 ,p_3 \}\), dengan koefisien kombinasi linear \(k_1 =0\), \(k_2 =-2\), dan \(k_3 =3\).

Demikian pembahasan tentang kombinasi linear. Kombinasi linear ini akan digunakan dalam mendefinisikan himpunan yang merentang atau membangun suatu ruang vektor.

Subruang Vektor

Definisi
Sebuah subset W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V, jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku pada V.

Pada umumnya, untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan tak kosong W merupakan ruang vektor, kita perlu menunjukkan keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada himpunan tersebut. Akan tetapi, jika W merupakan subset dari suatu ruang vektor V maka kita tidak perlu mengecek keberlakuan kesepuluh aksioma, karena ada beberapa aksioma yang diturunkan dari ruang vektor V. Misalnya sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan yang diberikan. Kita tidak perlu mengecek apakah \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) berlaku pada W, karena hal ini berlaku untuk semua vektor yang berada pada himpunan V, termasuk vektor-vektor di W yang merupakan subsetnya.

Ada beberapa aksioma yang tidak diturunkan dari V, misalnya sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Karena W merupakan subset dari himpunan V, maka untuk setiap \(\vec{u},\vec{v} \in W\) tentu berlaku \(\vec{u}+\vec{v} \in V\). Tapi tidak ada jaminan bahwa \(\vec{u}+\vec{v} \in W\) karena mungkin saja terdapat \(\vec{u},\vec{v} \in W\) yang jumlahnya merupakan anggota V tetapi bukan merupakan anggota W.

Ada empat aksioma yang tidak diturunkan dari ruang vektor V, yaitu

  1. Aksioma 1 (Tertutup terhadap operasi penjumlahan)
  2. Aksioma 4 (Keberadaan vektor \(\vec{0}\) di himpunan W)
  3. Aksioma 5 (Keberadaan vektor \(-\vec{u}\) di himpunan W)
  4. Aksioma 6 (Tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar)

Teorema berikut ini menjamin bahwa kita hanya perlu menunjukkan keberlakuan aksioma 1 dan aksioma 6, karena aksioma 4 dan aksioma 5 merupakan akibat dari terpenuhinya kedua aksioma ini.

Teorema
Subset tak kosong W dari suatu ruang vektor V disebut sebagai subruang dari V jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:

  1. Untuk setiap \(\vec{u},\vec{v} \in W\) berlaku \(\vec{u} + \vec{v} \in W\)
  2. Untuk setiap \(\vec{u}\in W\) dan \(k \in \mathbb{R}\) berlaku \(k\vec{u} \in W\)

Bukti
Karena teorema di atas berbentuk biimplikasi, maka kita bagi menjadi dua bagian. Pertama, kita buktikan dari kiri. Diketahui W merupakan subruang dari V, berarti himpunan W memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, termasuk aksioma 1 dan 6 yang merupakan syarat (a) dan (b) pada teorema di atas.

Selanjutnya, kita buktikan dari kanan. W adalah subset dari V yang merupakan ruang vektor, berarti W memenuhi beberapa aksioma ruang vektor yang diturunkan dari V, yaitu aksioma 2, 3, 7,8,9, dan aksioma 10. Karena syarat (a) dan (b) pada teorema di atas merupakan aksioma 1 dan 6 dari ruang vektor, maka kita tinggal menunjukkan bahwa aksioma 4 dan aksioma 5 berlaku pada himpunan W.

Misalkan \(\vec{u}\) adalah sebarang anggota dari himpunan W. Karena \(-1 \in \mathbb{R}\), maka berdasarkan aksioma 6, \(-\vec{u}=(-1) \cdot \vec{u} \in W\). Berarti, aksioma 5 dipenuhi oleh himpunan W. Selanjutnya, berdasarkan aksioma 1, \(\vec{0} = \vec{u} + (-\vec{u}) \in W\). Berarti, himpunan W juga memenuhi aksioma 4.
Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka terbukti bahwa W merupakan subruang dari V.

CONTOH 1
Tunjukkan bahwa himpunan vektor dalam bentuk \((b_1 ,b_2 ,b_3)\) dengan \(b_1 =b_2\) merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^3\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah A.
Pertama, kita tunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.
Terdapat \((0,0,0) \in A\), sehingga himpunan A tidak kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Ambil sebarang \(\vec{u},\vec{v} \in A\) dan \(k \in \mathbb{R}\). Tulis

\(\vec{u}=(u_1 ,u_2 ,u_3)\) untuk suatu \(u_1 ,u_2 ,u_3 \in \mathbb{R}\) dengan \(u_1 =u_2\).
\(\vec{v}=(v_1 ,v_2 ,v_3)\) untuk suatu \(v_1 ,v_2 ,v_3 \in \mathbb{R}\) dengan \(v_1 =v_2\).

Perhatikan bahwa

\begin{align*}
\vec{u} + \vec{v} &= (u_1 ,u_2 ,u_3) + (v_1 ,v_2 ,v_3) \\
&= (u_1 + v_1 ,u_2 + v_2 ,u_3 + v_3)
\end{align*}

Diketahui \(u_1 =u_2\) dan \(v_1 =v_2\), sehingga \(u_1 + v_1 =u_2 + v_2\).
Diperoleh \(\vec{u} + \vec{v} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Selanjutnya, perhatikan bahwa

\begin{align*}
k\vec{u} &= k(u_1 ,u_2 ,u_3) \\
&=(ku_1 ,ku_2 ,ku_3)
\end{align*}

Karena \(ku_1 =ku_2\), maka diperoleh \(k\vec{u} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.

Jadi, himpunan A merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Periksa apakah himpunan vektor dalam bentuk \((x_1 ,x_2)\) dengan \(x_1 \cdot x_2 =0\) merupakan subruang dari \(\mathbb{R}^2\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah B.
Himpunan B bukan subruang dari \(\mathbb{R}^2\), karena himpunan B tidak bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Contoh penyangkal.
\((1,0), \: (0,1) \in B\), tetapi \((1,0) +(0,1) = (1,1) \notin B\).

CONTOH 3
Tunjukkan bahwa himpunan matriks \(2 \times 2\) dalam bentuk

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rr}
a & b\\
c & d\end{array}
\right]
\end{align*}

dengan \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) dan \(a+b+c-d=0\), merupakan subruang dari \(M_{2 \times 2}\).

Pembahasan:
Misalkan himpunan tersebut adalah A.
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.
Terdapat

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rr}
0 & 0\\
0 & 0\end{array}
\right] \in A
\end{align*}

sehingga himpunan A tidak kosong.

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Ambil sebarang \(\vec{u}, \vec{v} \in A\) dan \(k \in \mathbb{R}\). Tulis

\begin{align*}
\vec{u} = \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right]
\end{align*}

untuk suatu \(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 \in \mathbb{R}\) dengan \(u_1 +u_2 +u_3 -u_4=0\)

\begin{align*}
\vec{v} = \left[
\begin{array}{rr}
v_1 & v_2\\
v_3 & v_4\end{array}
\right]
\end{align*}

untuk suatu \(v_1 ,v_2 ,v_3 ,v_4 \in \mathbb{R}\) dengan \(v_1 +v_2 +v_3 -v_4=0\)

Perhatikan bahwa

\begin{align*}
\vec{u} + \vec{v} &= \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right] + \left[
\begin{array}{rr}
v_1 & v_2\\
v_3 & v_4\end{array}
\right] \\
&= \left[
\begin{array}{rr}
u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\
u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array}
\right]
\end{align*}

Karena

sub ruang vektor tertutup terhadap operasi penjumlahan

maka \(\vec{u} + \vec{v} \in A\)
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Selanjutnya, perhatikan bahwa

\begin{align*}
k \vec{u} &= k \left[
\begin{array}{rr}
u_1 & u_2\\
u_3 & u_4\end{array}
\right] \\
&= \left[
\begin{array}{rr}
ku_1 & ku_2\\
ku_3 & ku_4\end{array}
\right]
\end{align*}

Karena

sub ruang vektor tertutup terhadap operasi perkalian skalar

maka \(k \vec{u} \in A\).
Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.

Jadi, himpunan A merupakan subruang dari \(M_{2 \times 2}\).