Menghitung Luas Segitiga dengan Determinan

Determinan memiliki banyak kegunaan. Bukan hanya untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, tetapi juga untuk menentukan luas suatu segitiga pada bidang koordinat. Perhitungan luas segitiga dengan determinan digunakan jika posisi titik-titik sudut segitiga diketahui. Jika koordinat titik-titik sudut segitiga ABC adalah \((x_1, y_1)\), \((x_2 , y_2)\), dan \((x_3 , y_3)\), maka luasnya dapat dihitung dengan rumus berikut.

\(L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right|\)

Dengan

$latex M = \left[
\begin{array}{rrr}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1\end{array}
\right]$

BUKTI

Perhatikan segitiga ABC dengan koordinat \(A(x_1 , y_1)\), \(B(x_2 , y_2)\), dan \(C(x_3 , y_3)\) berikut.

Selanjutnya, kita menggambar persegi panjang yang melalui ketiga titik sudut segitiga.

Melalui pengamatan gambar, kita memperoleh
\(AD=x_2 – x_1\)
\(BD=y_2 – y_1\)
\(BE=y_3 – y_2\)
\(CE=x_2 – x_3\)
\(CF=x_3 – x_1\)
\(AF=y_3 – y_1\)

Kemudian, kita mencari luas daerah persegi panjang ADEF dan luas segitiga-segitiga, selain segitiga ABC.

\(L ABCD = AD \cdot AF = (x_2 – x_1)(y_3 – y_1) = x_2 y_3 – x_2 y_1 – x_1 y_3 + x_1 y_1\)
\(L \triangle ADB=\frac{1}{2} AD \cdot BD=\frac{1}{2} (x_2 – x_1)(y_2 – y_1)=\frac{1}{2}(x_2 y_2 – x_2 y_1 – x_1 y_2 + x_1 y_1)\)
\(L \triangle BEC=\frac{1}{2} CE \cdot BE=\frac{1}{2} (x_2 – x_3)(y_3 – y_2)=\frac{1}{2}(x_2 y_3 – x_2 y_2 – x_3 y_3 + x_3 y_2)\)
\(L \triangle ACF=\frac{1}{2} CF \cdot AF=\frac{1}{2} (x_3 – x_1)(y_3 – y_1)=\frac{1}{2}(x_3 y_3 – x_3 y_1 – x_1 y_3 + x_1 y_1)\)

Jumlahkan luas ketiga segitiga tersebut, sehingga diperoleh.

\(L \triangle ADB + L \triangle BEC + L \triangle ACF = x_1 y_1 + \frac{1}{2} (x_2 y_3 + x_3 y_2 – x_2 y_1 – x_1 y_2 – x_3 y_1 – x_1 y_3)\)

Untuk menghitung luas segitiga ABC, kurangi luas ABCD dengan jumlah luas ketiga segitiga lainnya.

\(L \triangle ABC = (x_2 y_3 – x_2 y_1 – x_1 y_3 + x_1 y_1) – [x_1 y_1 + \frac{1}{2} (x_2 y_3 + x_3 y_2 – x_2 y_1 – x_1 y_2 – x_3 y_1 – x_1 y_3]\)

\(L \triangle ABC = \frac{1}{2} x_2 y_3 – \frac{1}{2} x_2 y_1 – \frac{1}{2} x_1 y_3 – \frac{1}{2} x_3 y_2 + \frac{1}{2} x_1 y_2 + \frac{1}{2} x_3 y_1\)

Melalui proses penyederhanaan, kita memperoleh.

\(L \triangle ABC = \frac{1}{2} [(x_2 y_3 – x_3 y_2) – (x_1 y_3 – x_3 y_1) + (x_1 y_2 – x_2 y_1)\)

Perhatikan bahwa \((x_2 y_3 – x_3 y_2)\) merupakan determinan dari matriks

$latex \left[
\begin{array}{rr}
x_2 & y_2\\
x_3 & y_3\end{array}
\right]$

Sehingga kita dapat menuliskannya sebagai

$latex \left|
\begin{array}{rr}
x_2 & y_2\\
x_3 & y_3\end{array}
\right|$

Dengan cara yang sama, kita bisa menuliskan dua suku lainnya sebagai determinan suatu matriks. Sehingga luas segitiga ABC menjadi

$latex L \triangle ABC = \frac{1}{2} \left(
\left|
\begin{array}{rr}
x_2 & y_2\\
x_3 & y_3\end{array}
\right| – \left|
\begin{array}{rr}
x_1 & y_1\\
x_3 & y_3\end{array}
\right| + \left|
\begin{array}{rr}
x_1 & y_1\\
x_2 & y_2\end{array}
\right|
\right)$

Perhatikan bahwa

$latex \left|
\begin{array}{rr}
x_2 & y_2\\
x_3 & y_3\end{array}
\right| – \left|
\begin{array}{rr}
x_1 & y_1\\
x_3 & y_3\end{array}
\right| + \left|
\begin{array}{rr}
x_1 & y_1\\
x_2 & y_2\end{array}
\right|$

merupakan determinan dari suatu matrix M, dengan

$latex M = \left[
\begin{array}{rrr}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1\end{array}
\right]$

Jadi, rumus luas segitiga ABC menjadi

\(L \triangle ABC = \frac{1}{2} [det(M)]= \frac{det(M)}{2}\)

Penukaran posisi dua baris akan mengubah tanda determinan. Jadi, untuk mengantisipasi munculnya luas yang bernilai negatif, kita perlu menambahkan tanda nilai mutlak pada rumus di atas. Diperoleh

\(L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right|\)

Terbukti.

CONTOH
Hitunglah luas segitiga dengan titik-titik sudut (3, 3), (4, 0), (-2, -1).

Penyelesaian

Pertama, kita bentuk matriks M dari koordinat titik-titik sudut segitiga tersebut.

$latex M = \left[
\begin{array}{rrr}
3 & 3 & 1\\
4 & 0 & 1\\
-2 & – 1& 1\end{array}
\right]$

Hitung determinan matriks M.

$latex det(M) = 1 \left|
\begin{array}{rr}
4 & 0\\
-2 & – 1\end{array}
\right| – 1 \left|
\begin{array}{rr}
3 & 3\\
-2 & -1\end{array}
\right| + 1 \left|
\begin{array}{rr}
3 & 3\\
4 & 0\end{array}
\right|$

\(det(M) = (-4-0) – (-3-(-6)) + (0-12)\)

\(det(M) = -4-3-12 =-19\)

Selanjutnya, kita menghitung luas segitiga dengan rumus

\(L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right| = \left| \frac{-19}{2} \right| = \frac{19}{2}\)

Jadi, luas segitiga ABC adalah \(\frac{19}{2}\) satuan luas.

Cara Mudah Mencari Tinggi Segitiga Sembarang

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari titik sudut menuju sisi di hadapannya secara tegak lurus.

Diantara jenis segitiga lainnya, segitiga sembarang memiliki proses paling rumit untuk menghitung panjang garis tingginya. Berbeda dengan segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi yang relatif lebih mudah.

Ada beberapa cara untuk mencari tinggi segitiga sembarang. Misalnya dengan memanfaatkan aturan cosinus ataupun rumus pythagoras.

Baca:

Pada kesempatan kali ini, kita akan mempelajari materi yang sama dengan di atas, tetapi dengan metode yang berbeda. Metode yang akan dibahas ini relatif lebih singkat dan lebih mudah digunakan. Kita akan memanfaatkan dua buah rumus luas segitiga, yaitu rumus umum L = 1/2 x alas x tinggi (BUKTI) dan rumus heron.

  1. Tinggi segitiga dari titik C
    L ABC = L ABC
    \(\frac{1}{2}c \cdot t_c = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
    \(t_c = \frac{ 2 \cdot \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}\)

    dengan \(s = \frac{1}{2} (a+b+c)\)

  2. Tinggi segitiga dari titik B
    \(t_b = \frac{ 2 \cdot \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}\)
  3. Tinggi segitiga dari titik A
    \(t_a = \frac{ 2 \cdot \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}\)

CONTOH SOAL
Diketahui sebuah segitiga ABC, AB = 21 cm, BC = 20 cm, dan AC = 13 cm. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut C.

Cari nilai s terlebih dahulu
\(s = \frac{1}{2} (a+b+c)\)
\(s = \frac{1}{2} (20+13+21)\)
\(s = \frac{1}{2} 54 = 27\)

Hitung tinggi segitiga ABC dengan rumus
\(t_c = \frac{ 2 \cdot \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}\)
\(t_c = \frac{ 2 \cdot \sqrt{27(27-20)(27-13)(27-21)}}{21}\)
\(t_c = \frac{ 2 \cdot \sqrt{27 \cdot 7 \cdot 14 \cdot 6}}{21}\)
\(t_c = \frac{ 2 \cdot \sqrt{15876}}{21}\)
\(t_c = \frac{ 2 \cdot 126}{21}\)
\(t_c = 12\)

Jadi, tinggi segitiga ABC dari titik C adalah 12 cm.

Dari tiga metode yang telah kita pelajari, metode mana yang menurut anda paling mudah?

Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Aturan Cosinus

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari titik sudut tegak lurus terhadap sisi di hadapannya. Titik perpotongan ketiga garis tinggi segitiga disebut orthocenter.

Ada beberapa cara untuk menghitung panjang garis tinggi segitiga sembarang, misalnya dengan menggunakan rumus pythagoras, seperti dibahas dalam tulisan berjudul “Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Teorema Pythagoras“.

Kali ini, kita akan menghitung tinggi segitiga dengan cara yang lain, yaitu dengan menghitung besar salah satu sudut terlebih dahulu. Besar sudut ini dihitung dengan aturan cosinus. Agar langkah kerjanya lebih jelas, kita akan membahas sebuah soal.

Diketahui sebuah segitiga ABC, AB = 21 cm, BC = 20 cm, dan AC = 13 cm. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut C.

PEMBAHASAN
Buat sketsa segitiga tersebut.

tinggi segitiga sembarang

Hitung nilai \(\cos A\) dengan aturan cosinus.
menghitung tinggi segitiga sembarang dengan aturan cosinusHitung sin A dengan sifat trigonometri berikut.

\begin{align*}
\sin ^2 A + \cos ^2 A &= 1 \\
\sin ^2 A &= 1 – \cos ^2 A \\
\sin ^2 A &= 1 – ( \frac{5}{13} )^2 \\
\sin ^2 A &= 1 – \frac{25}{169} \\
\sin ^2 A &= \frac{144}{169} \\
\sin A &= \sqrt{ \frac{144}{169} } \\
\sin A &= \frac{12}{13}
\end{align*}

Buat garis tinggi CD, sehingga segitiga ABC terbagi menjadi dua buah segitiga siku-siku.
Perhatikan segitiga ACD.

menghitung tinggi segitiga sembarang dengan aturan cosinus

\begin{align*}
\sin A &= \frac{sisi \: depan}{sisi \: miring} \\
\sin A &= \frac{CD}{AC} \\
\frac{12}{13} &= \frac{CD}{13} \\
12 \cdot 13 &= 13 \cdot CD \\
CD &= \frac{12 \cdot 13}{13} \\
CD &= 12
\end{align*}

Jadi, tinggi segitiga ABC dari titik C adalah 12 cm.