Menentukan Turunan Fungsi Implisit

Menentukan turunan fungsi implisit

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan turunan fungsi implisit. Saat membaca tulisan ini, kita tentu sudah mahir menentukan turunan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Misalnya \(y=4x^2 + x\), dengan turunan \(\frac{dy}{dx}=8x+1\). Namun, coba perhatikan fungsi berikut ini.

\begin{align*}
4x^2y-xy=x^3+1
\end{align*}

Persamaan di atas mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas dapat dimodifikasi sehingga y menjadi fungsi eksplisit dari x.

\begin{align*}
4x^2y-xy &= x^3+1 \\
\left( 4x^2-x \right) y &= x^3+1 \\
y &= \frac{x^3+1}{4x^2-x}
\end{align*}

Nilai dari \(\frac{dy}{dx}\) dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{3x^2(4x^2-x)-(x^3+1)(8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\
&= \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4-x^3+8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\
&= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2}
\end{align*}

Turunan fungsi di atas dapat dicari dengan mengubahnya menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi

\begin{align*}
y^3-2y=3x^2-1
\end{align*}

Karena adanya fungsi semacam ini, maka kita perlu belajar menentukan turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit. Sesuai namanya, proses penentuan turunan fungsi implisit disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, turunkan kedua ruas persamaan di atas terhadap x.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\
\end{align*}

Jika diturunkan terhadap x, ekspresi aljabar yang memuat y tidak dapat dipandang sebagai sebuah konstan, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Misalkan \(u=y^3-2y\), sehingga

\begin{align*}
\frac{du}{dx}&=\frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \\
&= (3y^2-2) \frac{dy}{dx}
\end{align*}

Atau secara operasional, jika ekspresi aljabar tersebut hanya memuat y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan \(\frac{dy}{dx}\). Turunan dari \(y^3-2y\) terhadap y adalah \(3y^2-2\), sehingga turunannya terhadap x adalah \((3y^2-2) \frac{dy}{dx}\). Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, kita peroleh

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\
(3y^2-2) \frac{dy}{dx}&=6x \\
\frac{dy}{dx}&=\frac{6x}{3y^2-2}
\end{align*}

Nah, kita peroleh \(\frac{dy}{dx}\) dari fungsi tersebut. Kita akan membahas soal lainnya sebagai contoh.

CONTOH
Tentukan \(\frac{dy}{dx}\) dari \(xy^2=x-8\).

Pembahasan
Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\
\end{align*}

Karena y merupakan suatu fungsi dalam x, maka \(xy^2\) dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian. Misalkan \(u=x\) dan \(v=y^2\).

\begin{align*}
u&=x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=1 \\
v&=y^2 \Longrightarrow \frac{dv}{dx}=2y \cdot \frac{dy}{dx}
\end{align*}

Sehingga

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} \\
&= x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1 \\
&= 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2
\end{align*}

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh

\begin{align*}
\frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x^2) \\
2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2&=1 \\
2xy \cdot \frac{dy}{dx}&=1-y^2 \\
\frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2}{2xy} \\
\end{align*}

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah \(4x^2y-xy=x^3+1\).

CONTOH
Tentukan \(y’=\frac{dy}{dx}\) dari \(4x^2y-xy=x^3+1\) dengan turunan implisit.

Pembahasan
Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi \(y’\) untuk menggantikan \(\frac{dy}{dx}\).

\begin{align*}
(8xy + 4x^2y’)-(y+xy’) &= 3x^2 \\
8xy + 4x^2y’-y-xy’ &= 3x^2 \\
4x^2y’-xy’ &= 3x^2-8xy+y \\
(4x^2-x)y’ &= 3x^2-8xy+y \\
y’ &= \frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x}
\end{align*}

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa

\begin{align*}
y &= \frac{4x^2-x}{x^3+1}
\end{align*}

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.

\begin{align*}
y’ &= \frac{3x^2-8xy + y}{4x^2-x} \\
&= \frac{3x^2-8x \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right) + \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right)}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x} + \frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4 + 8x) + (x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{ \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\
&= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2}
\end{align*}

Nah, akhirnya kita memperoleh hasil yang sama. Selanjutnya, kita akan berlatih menyelesaikan soal-soal lainnya.

CONTOH
Tentukan \(y’\) dari \(xy+\sin{xy}=1\).

Pembahasan
Sama seperti contoh sebelumnya, kita turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
(y+xy’) + \cos{xy} (y+xy’)&=1 \\
y+xy’ + y \cos{xy} + xy’ \cos{xy}&=1
\end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan \(-y-y\cos{xy}\), sehingga diperoleh

\begin{align*}
xy’ + xy’ \cos{xy}&=1-y-y\cos{xy} \\
y’ (x + x \cos{xy})&=1-y-y\cos{xy} \\
y’ &=\frac{1-y-y\cos{xy}}{x + x \cos{xy}}
\end{align*}

Diperoleh nilai \(y’\) dari fungsi tersebut. Kita beralih ke soal berikutnya.

CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung fungsi \(y+\cos{xy^2}+3x^2=4\) pada titik (1, 0).

Pembahasan
Pertama, kita tentukan nilai \(y’\). Turunkan kedua ruas terhadap x.

\begin{align*}
y’+(-\sin{xy^2})(y^2 + 2xyy’)+6x&=0 \\
y’-y^2\sin{xy^2}-2xyy’\sin{xy^2}+6x&=0
\end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan \(-6x+y^2\sin{xy^2}\), sehingga diperoleh

\begin{align*}
y’-2xyy’\sin{xy^2}&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\
y'(1-2xy\sin{xy^2})&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\
y’&=\frac{-6x+y^2\sin{xy^2}}{1-2xy\sin{xy^2}}
\end{align*}

Selanjutnya, kita tentukan gradien garis singgung fungsi pada titik (1, 0), dengan mensubstitusi koordinat titik tersebut pada \(y’\).

\begin{align}
y’&=\frac{-6 \cdot 1+0^2 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}}{1-2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}} \\
&= \frac{-6+0}{1-0} \\
&= -6
\end{align}

Diperoleh gradien garis singgung di titik (1, 0) adalah -6. Persamaan garis singgung yang melalui titik (1, 0) dengan gradien 6 adalah

\begin{align*}
y-0&=-6(x-1) \\
y&=-6x+6
\end{align*}

Jadi, persamaan garis singgung fungsi tersebut di titik (1, 0) adalah \(y=-6x+6\).

Demikianlah pembahasan mengenai turunan implisit. Semoga bermanfaat.

Menentukan Turunan Fungsi dengan Aturan Rantai

Cara menentukan turunan fungsi dengan aturan rantai
Aturan rantai digunakan untuk menentukan turunan fungsi komposisi. Misalnya kita akan mencari turunan dari \((x+2)^3\). Untuk menentukan turunan fungsi tersebut, kita bisa saja mengalikan \((x+2)\) terlebih dahulu sebanyak tiga kali. Sampai di sini, kegunaan aturan rantai belum begitu terasa. Akan tetapi, coba bayangkan jika fungsi yang akan dicari turunannya adalah \(g(x)=(x+2)^{10}\). Sangat tidak efisien, jika kita kita menguraikannya terlebih dahulu. Risiko kesalahannya pun menjadi lebih besar.

Contoh di atas masih dapat diselesaikan tanpa menggunakan aturan rantai, meskipun akan memakan waktu yang cukup lama. Namun, terdapat fungsi-fungsi tertentu yang memang sulit atau bahkan tidak bisa dicari turunannya tanpa menggunakan aturan rantai. Salah satunya adalah fungsi \(f(x)=\sqrt{2x^2 +1}\).

Nah, melalui uraian di atas, kita pasti menyadari bahwa aturan rantai sangat membantu dalam menentukan turunan suatu fungsi. Selanjutnya, kita akan membahas lebih lanjut tentang aturan rantai, termasuk bagaimana penerapan aturan rantai dalam menentukan turunan fungsi.

Fungsi yang akan dicari turunannya dengan aturan rantai tidak mesti ditulis secara eksplisit sebagai komposisi dari beberapa fungsi. Jika dilihat secara langsung, \(f(x)=x^2 +4x+4\) bukanlah fungsi komposisi. Tetapi, fungsi ini dapat ditulis sebagai \(f(x)=(x+2)^2\) yang merupakan komposisi dari fungsi \(g(x)=x^2\) dan \(h(x)=x+2\). Karenanya, turunan \(f(x)\) ini dapat dicari dengan aturan rantai, meskipun lebih mudah jika dicari secara langsung. \(f(x)=\sin \left( \cos 2x \right)\) juga merupakan fungsi komposisi. \(f(x)\) dapat ditulis sebagai \(\left( g \circ h \circ i \right) \left( x \right)\), dengan \(g(x)= \sin x\), \(h(x)= \cos x\), dan \(i(x)=2x\).

Aturan Rantai
Misalkan \(y=f(u)\) dan \(u=g(x)\). Jika \(g\) terdiferensialkan pada \(x\) dan \(f\) terdiferensialkan pada \(u=g(x)\), maka fungsi komposisi \(f \circ g\) yang didefinisikan sebagai \(\left( f \circ g \right) \left( x \right) = f \left( g\left( x \right) \right)\) terdiferensialkan pada \(x\), dengan

\begin{align*}
D_x \left( f \left( g\left( x \right) \right) \right) = f’ \left( g \left( x \right) \right) g’ \left( x \right)
\end{align*}

atau

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\end{align*}

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa seakan-akan \(du\) pada ruas kanan dapat dicoret, sehingga ruas kanan menjadi sama persis dengan ruas kiri. Meskipun, sebenarnya tidak seperti ini, tetapi hal ini dapat memudahkan kita dalam mengingat aturan rantai pada turunan. Berikut adalah beberapa contoh penerapan aturan rantai.

Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=(2x+1)^{10}\).

Solusi:
Pertama, tulis fungsi di atas sebagai \(y=(2x+1)^{10}\).
Selanjutnya, kita misalkan \(u=2x+1\), sehingga \(y=u^{10}\).
Tentukan turunan masing-masing fungsi.

\begin{align*}
u &= 2x+1 \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
y &= u^{10} \Longrightarrow \frac{dy}{du}=10u^9
\end{align*}

Dengan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 10u^9 \cdot 2 \\
&= 20u^9 \\
&= 20 (2x+1)^9
\end{align*}

Jadi, turunan pertama \(f(x)\) adalah \(f'(x)= 20 (2x+1)^9\).

Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin 7x\).

Solusi:
Pertama, kita misalkan \(u=7x\), sehingga \(y= \sin u\).
Tentukan turunan kedua fungsi di atas.

\begin{align*}
u &= 7x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=7 \\
y &= \sin u \Longrightarrow \frac{dy}{du}= \cos u
\end{align*}

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= \left( \cos u \right) \cdot 7 \\
&= 7 \cos u \\
&= 7 \cos 7x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin 7x\) adalah \(y’ = 7 \cos 7x\).

Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\).

Fungsi di atas merupakan komposisi dari tiga buah fungsi. Tulis \(y= \left( \sin 2x \right) ^3\). Misalkan \(u=2x\), \(v= \sin u\), dan \(y= v^3\). Untuk pemisalan, kita mulai dari fungsi yang letaknya lebih dalam, diikuti oleh fungsi-fungsi yang berada di luarnya.
Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut.

\begin{align*}
u &= 2x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=2 \\
v &= \sin u \Longrightarrow \frac{dv}{du}= \cos u \\
y &= v^3 \Longrightarrow \frac{dy}{dv}= 3v^2
\end{align*}

Selanjutnya, kita gunakan aturan rantai.

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\
&= 3v^2 \cdot \left( \cos u \right) \cdot 2 \\
&= 6 v^2 \cos u \\
\end{align*}

Turunan fungsi di atas masih memuat variabel \(u\) dan \(v\). Ingat bahwa \(u=2x\) dan \(v = \sin u = \sin 2x\). Akibatnya

\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= 6 v^2 \cos u \\
&= 6 \cdot \left( \sin 2x \right) ^2 \cdot \cos 2x \\
&= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x
\end{align*}

Jadi, turunan pertama dari \(y= \sin ^3 2x\) adalah \(y’= 6 \cdot \sin ^2 2x \cdot \cos 2x\).

Semoga Bermanfaat!

Menentukan Turunan Fungsi dengan Menggunakan Definisi Turunan

Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan
Pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), kita telah mempelajari cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan beberapa teorema. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara lain dalam menentukan turunan suatu fungsi, yaitu menggunakan definisi turunan fungsi. Cara ini terbilang lebih rumit dibanding menggunakan teorema. Akan tetapi, jika kita memang tertarik dengan matematika, apalagi jika kuliah di jurusan matematika, kita perlu menguasai cara ini sebelum menentukan turunan fungsi menggunakan teorema.

DEFINISI
Turunan fungsi \(f\) yang dinotasikan sebagai \(f’\), merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

CONTOH 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=x^2\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2 + h^2 + 2hx) – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h^2 + 2hx}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(h + 2x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} h + 2x \\
&= 2x
\end{align*}

CONTOH 2
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{1}{x^2 + 1}\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} – \frac{1}{x^2 + 1}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [x^2+h^2+2hx+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(-h-2x)}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h-2x}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-0-2x}{[(x+0)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-2x}{(x^2+1)\cdot(x^2+1)} \\
&= -\frac{2x}{(x^2+1)^2}
\end{align*}

Dari dua contoh di atas, terlihat bahwa kita selalu dihadapkan pada limit hasil bagi, dengan pembilang dan penyebut sama-sama menuju nol. Tugas kita adalah melakukan penyederhanan, sehingga faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut. Dengan ini, kita dapat menentukan limitnya dengan melakukan substitusi.

CONTOH 3
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \sqrt{x}, \: x \ge 0\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}
\end{align*}

Agar faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut, kita perlu merasionalkan pembilangnya.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{x+h – x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}
\end{align*}

Karena faktor \(h\) sudah dicoret dari pembilang dan penyebut, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

Selain dengan definisi di atas, turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan bentuk ekuivalen definisi di atas. Perhatikan kembali definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Dengan mensubstitusi \(h=t-x\) dan \(x+h=t\) pada persamaan di atas, diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t-x \to 0}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

Selanjutnya, \(t-x\) mendekati 0 artinya nilai \(t\) mendekati nilai \(x\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

CONTOH 4
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{x}{x-5}\)

SOLUSI
Kita akan menentukan turunannya dengan menggunakan bentuk ekuivalen dari definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{\frac{t}{t-5} – \frac{x}{x-5}}{t-x}
\end{align*}

Kita belum dapat melakukan substitusi, karena jika t mendekati x, maka nilai pembilang dan penyebut di atas mendekati 0. Kita harus melakukan penyederhanaan, sehingga faktor \((t-x)\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{t(x-5) – x(t-5)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{tx – 5t – tx + 5x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5t + 5x}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5(t – x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5}{(t-5)(x-5)}
\end{align*}

Setelah mencoret faktor \((t-x)\), maka nilai limit di atas dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{- 5}{(x-5)(x-5)} \\
&= -\frac{5}{(x-5)^2}
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂