Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}
\end{align*}

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah

\begin{align*}
x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
x_2 &= \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{align*}

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{-2b}{2a} \\
&= – \frac{b}{a}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{(-b)^2 – (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\
&= \frac{b^2 – (b^2 -4ac)}{4a^2} \\
&= \frac{4ac}{4a^2} \\
&= \frac{c}{a}
\end{align*}

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat \(2x^2 -4x +3=0\). Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=3\). Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan \(x_1\) dan \(x_2\). Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2}
\end{align*}

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah \(2\) dan \(\frac{3}{2}\).

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 -(2p+1)x+p=0\) merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-2p-1\), dan \(c=p\).
Misalkan akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\). Karena akar-akarnya berkebalikan, maka \(x_2 = \frac{1}{x_1}\).

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\
x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\
1 &= \frac{p}{2} \\
p &= 2
\end{align*}

Diperoleh \(p=2\). Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{(-2p-1)}{2} \\
&= \frac{2p+1}{2}
\end{align*}

Karena \(p=2\), maka diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}

CONTOH 3
Persamaan kuadrat \(px^2 -(p+1)x+1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui \(a=p\), \(b=p-1\), \(c=1\), dan \(x_2=2 x_1\). Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 + 2 x_1 &= – \frac{(-p-1)}{p} \\
3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\
x_1 &= \frac{p+1}{3p}
\end{align*}

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\
x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\
2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\
{x_1}^2 &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Substitusi nilai \(x_1\) yang diperoleh, pada persamaan di atas.
\begin{align*}
\left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\
\frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(18p^2\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
2p^2 +4p+2 &= 9p \\
2p^2 -5p+2 &= 0
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Menyusun persamaan kuadrat baru
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

CONTOH
Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\) dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Bentuklah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
3. \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).
4. \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

SOLUSI
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = x_1 +2\) dan \(\beta = x_2 +2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= (x_1 +2) + (x_2 +2) \\
&= (x_1 + x_2) +4 \\
&= 1 + 4 \\
&= 5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= (x_1 +2) \cdot (x_2 +2) \\
&= x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4 \\
&= 3+2 \cdot 1 +4 \\
&= 9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 -5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x+2\) yang berakibat \(x=y-2\). Substitusi \(x=y-2\) ke persamaan kuadrat yang lama

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(y-2)^2 -(y-2)+3 &= 0 \\
(y^2 -4y+4) -(y-2)+3 &= 0 \\
y^2 -5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 -5y+9=0\)

2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = {x_1}^2\) dan \(\beta = {x_2}^2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= {x_1}^2 + {x_2}^2 \\
&= (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 \\
&= 1^2 – 2 \cdot 3 \\
&= -5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 \\
&= (x_1 \cdot x_2)^2 \\
&= 3^2 \\
&=9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 +5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x^2\) yang berakibat \(x= \sqrt{y}\). Substitusi \(x= \sqrt{y}\) ke persamaan kuadrat yang lama.

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3 &= 0 \\
y – \sqrt{y} +3 &= 0 \\
y+3 &= \sqrt{y}
\end{align*}

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
\begin{align*}
(y+3)^2 &= (\sqrt{y})^2 \\
y^2 +6y+9 &= y \\
y^2 +5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 +5y+9=0\).

3. akar-akarnya \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\beta = \frac{1}{x_2 -2}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2} \\
&=\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)} \\
&= \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&= – \frac{3}{5}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2} \\
&= \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&=\frac{1}{5}
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0\).

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=\frac{1}{x-2}\) atau \(x= \frac{1}{y} +2\). Substitusi \(x= \frac{1}{y} +2\) ke persamaan kuadrat yang lama.
\begin{align*}
\left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5 &= 0
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(y^2\), sehingga diperoleh \(5y^2 +3y +1=0\)
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(5y^2 +3y +1=0\).

4. akar-akarnya \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{x_1}{x_2}\) dan \(\beta = \frac{x_2}{x_1}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \\
&= \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{(x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{1^2 – 2 \cdot 3}{3} \\
&= – \frac{5}{3}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0\).

Pembuktian Rumus ABC (Cara Lain)

Ada tiga metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc (rumus kuadrat). Dalam mencari penyelesaian persamaan kuadrat, biasanya kita mencoba memfaktorkannya terlebih dahulu. Jika kita menemui kendala, barulah kita menggunakan rumus abc atau melengkapkan kuadrat sempurna.

Dalam tulisan sebelumnya, kita telah membuktikan rumus abc dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\). Kali ini kita akan membuktikan rumus abc dengan cara lain, meskipun prinsipnya sama, yaitu mengubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

\begin{align*}
ax^2 + bx + c = 0
\end{align*}

Agar ruas kiri bisa diubah menjadi bentuk kuadrat, koefisien dari \(x^2\) haruslah bentuk kuadrat. Sebelumnya kita membagi persamaan dengan a, sehingga kita memperoleh koefisien 1 yang merupakan bilangan kuadrat paling sederhana. Dalam pembuktian kali ini, kita mengalikan persamaan dengan 4a, sehingga diperoleh \(4a^2\) sebagai koefisien \(x^2\).

\begin{align*}
4a^2 x^2 + 4abx + 4ac = 0
\end{align*}

Kurangi kedua ruas dengan 4ac, sehingga.

\begin{align*}
4a^2 x^2 + 4abx = -4ac
\end{align*}

Tambahkan \(b^2\) pada kedua ruas.

\begin{align*}
4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 {}- 4ac
\end{align*}

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

\begin{align*}
(2ax + b)^2 = b^2 {}- 4ac
\end{align*}

Tarik akar pada kedua ruas.

\begin{align*}
2ax + b = \pm \sqrt{b^2 {}- 4ac}
\end{align*}

Kurangi kedua ruas dengan b.

\begin{align*}
2ax = -b \pm {} \sqrt{b^2 {}- 4ac}
\end{align*}

Bagi kedua ruas dengan 2a.

\begin{align*}
x = \frac{-b \pm {} \sqrt{b^2 {}- 4ac}}{2a}
\end{align*}

Terbukti.