Bilangan Kuadrat Sempurna sekaligus Kubik Sempurna

Bilangan kuadrat sempurna merupakan hasil pangkat dua suatu bilangan bulat. Bilangan-bilangan kuadrat sempurna adalah anggota himpunan bilangan cacah, karena setiap bilangan bulat yang dikuadratkan pasti tidak negatif (Ingat, kuadrat bilangan negatif adalah bilangan positif). Sedangkan bilangan kubik sempurna merupakan hasil pangkat tiga dari suatu bilangan bulat. Bilangan-bilangan kubik sempurna adalah anggota himpunan \(\mathbb{Z}\), mengingat pangkat tiga dari bilangan negatif tetap negatif.

Berikut ini sebuah soal olimpiade matematika SMA, yang berhubungan dengan bilangan kuadrat dan bilangan kubik sempurna.

“Bilangan tiga angka terkecil yang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah. . . “

Pembahasan

Misalkan bilangan tiga angka itu adalah P, maka \(P=a^2 =b^3\), dengan a dan b merupakan bilangan asli.

Selanjutnya, kita akan mencari interval nilai a dan b yang mungkin muncul.
P adalah bilangan tiga angka, akibatnya \(11 \leq a \leq 31\) dan \(5 \leq b \leq 9\).

\(a^2 =b^3\)
\(a= \sqrt{b^3}\)
\(a= (\sqrt{b})^3\)

Berdasarkan bentuk terakhir tersebut, diperoleh bahwa b haruslah bilangan kuadrat sempurna. Karena \(5 \leq b \leq 9\), maka satu-satunya nilai b yang memenuhi adalah 9.

Jadi, bilangan tiga angka yang kita cari adalah \(P=b^3 =9^3 =729\).

Mencari Angka Satuan Bilangan Berpangkat Besar

Dalam soal olimpiade, seringkali kita diminta mencari angka terakhir (satuan) dari sebuah bilangan berpangkat besar. Misalnya angka satuan pada \(7^{2014}\)

Soal seperti ini tentu sulit dikerjakan dengan cara biasa, dengan mengalikan angka 7 sebanyak 2014 kali. Menggunakan kalkulator pun tidak bisa, dan memang dalam mengerjakan soal olimpiade ada larangan untuk menggunakan alat bantu hitung.

Sekarang kita akan mempelajari bagamana proses penyelesaian soal-soal semacam ini. Sebagai contoh, kita akan mengerjakan soal di atas, berapakah angka satuan dari \(7^{2014}\).

\(\mbox{Pola ke-1} \quad 7^1 = 7 \quad \mbox{satuan} 7\)
\(\mbox{Pola ke-2} \quad 7^2 = 49 \quad \mbox{satuan} 9\)
\(\mbox{Pola ke-3} \quad 7^3 = 343 \quad \mbox{satuan} 3\)
\(\mbox{Pola ke-4} \quad 7^4 = 2401 \quad \mbox{satuan} 1\)
\(\mbox{Pola ke-5} \quad 7^5 = 16807 \quad \mbox{satuan} 7\)
\(\mbox{Pola ke-6} \quad 7^6 = 117649 \quad \mbox{satuan} 9\)

Perhatikan setelah pola keempat terjadi pengulangan angka satuan. Hal ini berarti setelah pangkat yang berkelipatan 4, angka satuan kembali ke pola yang pertama.

Perhatikan kembali soal yang sedang kita kerjakan, \(7^{2014}\). Bagi pangkatnya dengan angka 4, karena pengulangan terjadi setelah pola keempat.

2014 : 4 = 503 sisa 2

Setelah dibagi dengan 4 ternyata bersisa 2, ini berarti jawaban yang kita cari ada pada pola kedua.
Jadi, angka satuan dari \(7^{2014}\) adalah 9.

Bagaimana, mudah bukan?
Sekarang, kita coba mengerjakan soal yang lain. Tentukan angka satuan dari \(29^{291}\).

\(29^1 = …9\)
\(29^2 = …1\)
\(29^3 = …9\)

Pengulangan terjadi setelah pola kedua, sehingga pangkatnya kita bagi dengan angka 2.

291 : 2 = 145 sisa 1

Karena bersisa 1, maka angka satuan yang merupakan jawaban soal ini ada pada pola pertama, yaitu 9.

Sampai di sini, mungkin muncul pertanyaan. Bagaimana jika hasil baginya tidak bersisa? Dengan kata lain sisa pembagian adalah 0. Jika terjadi kondisi seperti ini, maka perhatikan pola terakhir sebelum pengulangan. Misalnya pada soal berikut.

Tentukan angka satuan dari \(8^{508}\)

\(8^1 = 8\)
\(8^2 = …4\)
\(8^3 = …2\)
\(8^4 = …6\)
\(8^5 = …8\)

Pengulangan terjadi setelah pola keempat, sehingga pangkatnya kita bagi dengan 4.

508 : 4 = 127 sisa 0

Ternyata 508 habis dibagi 4. Sehingga angka satuan yang kita cari berada pada pola keempat, yaitu 6.

Menentukan Banyaknya Faktor Positif Suatu Bilangan

Faktor merupakan bilangan yang membagi habis bilangan lainnya. Faktor ini bisa berupa bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negatif. Misalnya, 4 sebagai faktor dari 20.

Jika kita diminta mencari jumlah faktor dari 20, tentu kita bisa menjawab dengan cepat. Kita cukup mencari perkalian yang menghasilkan bilangan 20, kemudian mencacah berapa banyak bilangan yang memenuhi. Tetapi, bagaimana jika bilangan tersebut besar? Mencapai angka ribuan misalnya. Tentu akan memakan banyak waktu jika dikerjakan dengan cara di atas, sangat tidak efisien.

Permasalahan semacam ini seringkali diangkat dalam soal olimpiade matematika. Disediakan sebuah bilangan dengan nilai yang cukup besar, kemudian ditanya banyaknya bilangan positif yang merupakan faktor dari bilangan tersebut.

Dalam artikel ini akan dibahas cara menghitung banyak faktor positif suatu bilangan. Pastinya dengan cara yang cukup mudah. Silahkan baca penjelasan berikut.

Bilangan 24 memiliki 8 faktor, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24. Dengan faktorisasi prima 24 = 23 x 3.

Perhatikan bahwa faktor-faktor dari 24 tersebut, bisa diurai menjadi bentuk perkalian.

1 = 20 x 30
2 = 21 x 30
3 = 20 x 31
4 = 22 x 30
6 = 21 x 31
8 = 23 x 30
12 = 22 x 31
24 = 23 x 31

Faktor dari 24 merupakan perkalian dari angka-angka yang ada pada faktorisasi primanya, termasuk yang berpangkat nol. Kedelapan faktor itu diperoleh dengan mengalikan anggota himpunan {20, 21, 22, 23} dengan anggota himpunan {30, 31}.

Jika dibuat dalam bentuk bagan, maka hasilnya seperti berikut.

Berdasarkan kaidah pencacahan, maka banyak faktor dari 24 adalah 4 x 2 = 8.

Dari proses di atas, dapat disimpulkan bahwa prosedur untuk menentukan banyak faktor suatu bilangan adalah.

  • Buat faktorisasi primanya
  • Banyak faktor dicari dengan menambahkan angka 1 pada masing-masing pangkat, kemudian mengalikannya satu sama lain.
    Misalnya faktorisasi prima dari Q adalah \(Q = a^x \cdot b^y \cdot c^z\), maka banyak faktor Q adalah (x + 1)(y + 1)(z + 1).

Sebagai contoh, kita akan mencari banyak faktor positif dari 1800. Pertama buat faktorisasi primanya.

1800 = 23 x 32 x 52

Tentukan banyak faktor positifnya berdasarkan rumus di atas, yaitu (3 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 4 x 3 x 3 = 36. Jadi, faktor positif dari 1800 ada 36 buah.

Sekarang, kita coba untuk bilangan yang lebih besar, yaitu 882000. Seperti prosedur sebelumnya, kita buat faktorisasi primanya.

882000 = 24 x 32 x 53 x 52

Sehingga faktor positif dari bilangan tersebut ada (4 + 1)(2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 180 buah.