Pembuktian Rumus Jumlah Khusus Bilangan Asli

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan dua rumus jumlah khusus bilangan asli, yaitu.

\begin{align*}
\sum \limits_{i=1}^n i &= 1+2+3+ \cdots +n \\
&= \frac{n(n+1)}{2} \\
\sum \limits_{i=1}^n i^2 &= 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}

Kita mulai dengan membuktikan rumus yang pertama. Jika diperhatikan, rumus ini merupakan rumus deret aritmatika. Kita tidak akan membuktikan rumus ini dengan cara yang digunakan Carl Friedrich Gauss. Kita akan menggunakan identitas aljabar \(2i+1 = (i+1)^2 {}- i^2\).

Beri tanda sigma pada kedua ruas.

\begin{align*}
\sum \limits_{i=1}^n (2i+1) = \sum \limits_{i=1}^n [(i+1)^2 {}- i^2]
\end{align*}

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri dan definisi sigma pada ruas kanan.

pembuktian sigma i bagian 1

Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan dapat disusun ulang menjadi.

pembuktian sigma i bagian 2

TERBUKTI

Selanjutnya, kita melangkah ke pembuktian rumus jumlah khusus berikut

\begin{align*}
\sum \limits_{i=1}^n i^2 &= 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}

Kita mulai dari identitas aljabar.

\begin{align*}
3i^2 + 3i + 1 = (i+1)^3 {}- i^3
\end{align*}

Beri tanda sigma pada kedua ruas.

\begin{align*}
\sum \limits_{i=1}^n ( 3i^2 + 3i + 1) = \sum \limits_{i=1}^n [ (i+1)^3 {}- i^3]
\end{align*}

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri, kemudian uraikan ruas kanan berdasarkan definisi sigma.

pembuktian sigma i kuadrat bagian 1

Selanjutnya, gunakan rumus jumlah khusus yang sudah dibuktikan sebelumnya, yaitu \(\sum \limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\).

pembuktian sigma i kuadrat bagian 2

Selanjutnya, faktorkan ruas kanan persamaan di atas.

\begin{align*}
6 \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= n(n+1)(2n+1) \\
\sum \limits_{i=1}^n i^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}

TERBUKTI

Demikianlah pembuktian rumus jumlah khusus bilangan asli. Semoga bermanfaat 🙂

Dimana Si Anak Sekarang?

Dalam artikel ini, kita akan membahas sebuah soal cerita.

Seorang ibu berusia 27 tahun lebih tua daripada anaknya. 7 tahun yang akan datang usia si ibu menjadi 5 kali usia anaknya.
Pertanyaan: Dimana si anak sekarang?

Pertanyaan yang kedengarannya aneh dan tidak ada hubungannya dengan soal. Tapi biarlah, kita akan mencoba menyelesaikan soal di atas. Pertama kita buat persamaan matematikanya.

Misalkan umur ibu = x dan umur si anak = y, diperoleh x = 27 + y.

Di sisi lain

x + 7 = 5(y + 7)
x + 7 = 5y + 35

Substitusikan nilai x

(27 + y) + 7 = 5y + 35
y + 34 = 5y + 35
4y = -1
y = -0,25

Ternyata diperoleh usia si anak -0,25 tahun atau sama dengan -3 bulan. Artinya si anak masih dalam kandungan ibunya, dan akan lahir 3 bulan lagi.

Pertanyaan yang kelihatannya tidak nyambung dengan informasi soal, tapi ternyata kita dapat menyelesaikannya.

Hmm, soal yang cukup menarik 🙂

Bilangan Rasional dan Irasional

Sebelum melangkah ke pembahasan utama, kita perlu mengetahui definisi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Notasi bilangan rasional adalah \(\mathbb{Q}\). Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional, dengan kata lain bilangan real yang tidak memenuhi syarat bilangan rasional di atas. Bilangan irasional biasanya ditulis dengan notasi pengurangan himpunan, yaitu \(\mathbb{R} – \mathbb{Q}\).

Salah satu bahasan menarik di sini adalah jenis bilangan yang terbentuk jika bilangan rasional dan irasional dijumlah atau dikalikan. Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan hal di atas.

Teorema 1: Bilangan rasional + Bilangan irasional = Bilangan irasional

BUKTI
Ingkaran teorema di atas adalah

“Hasil jumlah bilangan rasional dan irasional adalah bilangan rasional”

Ingkaran tersebut dapat ditulis a + b = c, dengan a,c bilangan rasional dan b bilangan irasional. Berdasarkan definisi, a dapat ditulis sebagai \(\frac{p}{q}\) dan c dapat ditulis \(\frac{r}{s}\), dengan \(p,q,r,s \in \mathbb{Z} \quad q,s \neq 0\).

\(a + b = c\)
\(\Leftrightarrow \frac{p}{q} + b = \frac{r}{s}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{r}{s} – \frac{p}{q}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{qr – ps}{qs}\)

Misalkan \(qr-ps = m\) dan \(qs=n\), sehingga diperoleh \(b=\frac{m}{n}\). Akibatnya, b merupakan bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa b bilangan irasional.

Q.E.D

Teorema 2: Bilangan rasional selain nol x Bilangan irasional = Bilangan irasional

BUKTI
Ingkaran teorema 2 adalah

“Hasil kali bilangan rasional selain nol dengan bilangan irasional adalah bilangan rasional”

Ingkaran ini dapat ditulis a x b = c, dengan a bilangan rasional selain nol, c bilangan rasional dan b bilangan irasional.

\(a \cdot b = c\)
\(\Leftrightarrow \frac{p}{q} \cdot b = \frac{r}{s}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{r}{s} \cdot \frac{q}{p}\)
\(\Leftrightarrow b = \frac{qr}{ps}\)

Misalkan \(qr=k\) dan \(ps=w\), sehingga diperoleh \(b=\frac{k}{w}\). Akibatnya b bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa b bilangan irasional.

Berdasarkan pembuktian di atas, kita tahu bahwa bilangan irasional jika dikali dengan bilangan rasional selain nol atau dijumlah dengan bilangan rasional akan menghasilkan bilangan irasional. Pertanyaan selanjutnya yang mungkin muncul adalah

“Adakah bilangan irasional yang jika dijumlah atau dikali dengan bilangan irasional lain menghasilkan bilangan rasional?”

Jawabannya ya, jumlah dua bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional atau bilangan irasional, tergantung bilangan irasional yang kita jumlahkan. Hal yang sama juga berlaku pada operasi perkalian. Perhatikan contoh berikut.

  1. \(\pi + (- \pi) = 0\)
  2. \(\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\)
  3. \(\sqrt{2} \times \sqrt{8} =4\)
  4. \(\sqrt{3} \times \pi = \pi \sqrt{3}\)

Pada contoh 2 dan 4, diperoleh jumlah dan hasil kali yang tetap bilangan irasional. Contoh 1 dan 3 menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus, jumlah dan hasil kali antar bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional.