Definisi dan Contoh Grup dalam Struktur Aljabar

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari sebuah struktur aljabar yang dinamakan grup. Kita mulai dengan definisi grup, yang akan dilanjutkan dengan beberapa contoh dan bukan contoh grup.

DEFINISI
Misalkan G himpunan tak kosong dan operasi * didefinisikan pada G. Himpunan G dengan operasi *, ditulis (G,*), disebut sebagai grup, jika memenuhi keempat sifat berikut.

  1. Himpunan G bersifat tertutup terhadap operasi *.
    Untuk setiap a,b \in G berlaku a*b \in G.
  2. Operasi * bersifat asosiatif.
    Untuk setiap a,b,c \in G berlaku a*(b*c)=(a*b)*c.
  3. Himpunan G mempunyai unsur identitas.
    Terdapat e \in G sehingga untuk setiap a \in G berlaku a*e=e*a=a.
  4. Setiap unsur di himpunan G mempunyai invers.
    Untuk setiap a \in G terdapat a^{-1} \in G sehingga a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.

Operasi * tidak mesti sama dengan operasi yang kita kenal selama ini, misalnya operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan real, atau operasi komposisi pada fungsi. Operasi * dapat didefinisikan sendiri. Misalnya pada himpunan bilangan real, operasi * dapat didefinisikan sebagai a*b=a+b+ab, \: \forall a,b \in \mathbb{R}.

Sifat ketiga pada definisi di atas mengimplikasikan bahwa himpunan G tidak kosong, sehingga kita tidak perlu menuliskan secara eksplisit bahwa himpunan G tidak kosong.

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh himpunan yang merupakan grup.

Contoh 1

Periksa apakah himpunan bilangan bulat (\mathbb{Z}) dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup.

PEMBAHASAN

  1. Kita akan memeriksa apakah \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi +.
    Ambil sebarang a,b \in \mathbb{Z}. Jumlah dua bilangan bulat merupakan bilangan bulat, sehingga a+b \in \mathbb{Z}.
    Jadi, \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi +.
  2. Kita akan memeriksa apakah operasi + bersifat asosiatif.
    Ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa a+(b+c)=(a+b)+c.
    Jadi, operasi + bersifat asosiatif.
  3. Kita akan memeriksa apakah (\mathbb{Z},*) mempunyai unsur identitas.
    Terdapat 0 \in \mathbb{Z} sehingga untuk setiap a \in \mathbb{Z} berlaku a+0=a dan 0+a=a.
    Jadi, 0 merupakan unsur identitas pada (\mathbb{Z},+).
  4. Kita akan memeriksa apakah setiap a \in \mathbb{Z} mempunyai invers.
    Untuk setiap a \in \mathbb{Z} terdapat -a \in \mathbb{Z} sehingga a+(-a)=0 dan (-a)+a=0.
    Jadi, setiap unsur di \mathbb{Z} mempunyai invers.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa (\mathbb{Z},+) merupakan grup.

Contoh 2

Pada himpunan bilangan bulat (\mathbb{Z}) didefinisikan operasi *, yaitu

    \[a*b=a+b+1, \quad \forall a,b \in \mathbb{Z}\]

Periksa apakah (\mathbb{Z},*) merupakan grup.

PEMBAHASAN

  1. Kita akan memeriksa apakah \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi *.
    Ambil sebarang a,b \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa

        \[a*b=a+b+1\]

    Jumlah tiga bilangan bulat merupakan bilangan bulat, sehingga a*b \in \mathbb{Z}.
    Jadi, \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi *.

  2. Kita akan memeriksa apakah * merupakan operasi yang bersifat asosiatif.
    Ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa

        \begin{align*} a*(b*c) &= a*(b+c+1) &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= a + (b+c+1) + 1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= a+b+c+(1+1) &\text{[Operasi + asosiatif]} \\ &= a+b+c+2 \end{align*}

    di lain pihak

        \begin{align*} (a*b)*c &= (a+b+1)*c &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= (a+b+1) + c + 1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= a+b+(1+c)+1 &\text{[Operasi + asosiatif]} \\ &= a+b+(c+1)+1 &\text{[Operasi + komutatif]} \\ &= a+b+c+(1+1) &\text{[Operasi + asosiatif]} \\ &= a+b+c+2 \end{align*}

    Diperoleh a*(b*c)=(a*b)*c.
    Jadi, \mathbb{Z} bersifat asosiatif terhadap operasi *.

  3. Kita akan memeriksa apakah (\mathbb{Z},*) mempunyai unsur identitas.
    Pada contoh 1, kita dapat menemukan unsur identitas dengan mudah, karena operasinya merupakan operasi penjumlahan biasa. Namun, jika operasinya didefinisikan sendiri, kadang kita tidak dapat menemukan unsur identitas dengan mudah. Kita perlu menggunakan prosedur tertentu untuk mengetahui unsur identitasnya.

    Agar e menjadi unsur identitas, unsur e ini harus memenuhi a*e=a dan e*a=a. Dalam mencari unsur identitas, kita tidak perlu menggunakan keduanya, cukup salah satunya. Kita akan menggunakan syarat yang pertama.

        \begin{align*} a*e &= a \\ a+e+1 &= a \\ e+1 &= 0 \\ e &= -1 \end{align*}

    Diperoleh e=-1. Setelah memperoleh nilai e, kita perlu mengecek apakah nilai e yang diperoleh merupakan anggota \mathbb{Z}. Jika bukan, maka himpunan ini tidak mempunyai unsur identitas. Jika iya, maka kita perlu menunjukkan apakah unsur e tersebut benar merupakan unsur identitas. Karena e=-1 \in \mathbb{Z}, maka kita perlu menunjukkan apakah e=-1 merupakan unsur identitas pada (\mathbb{Z},*).

    Terdapat e=-1 \in \mathbb{Z}, sehingga untuk setiap a \in \mathbb{Z} berlaku

        \begin{align*} a*e &= a*(-1) &\text{[Substitusi } e=-1] \\ &= a+(-1)+1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= a+0 &\text{[Invers pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= a &\text{[0 identitas pada } (\mathbb{Z},+)] \end{align*}

    dan

        \begin{align*} e*a &= (-1)*a &\text{[Substitusi } e=-1] \\ &= (-1)+a+1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= (-1)+1+a &\text{[Operasi + komutatif]} \\ &= 0+a &\text{[Invers pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= a &\text{[0 identitas pada } (\mathbb{Z},+)] \end{align*}

    Jadi, (\mathbb{Z},*) mempunyai unsur identitas, yaitu e=-1.

  4. Kita akan memeriksa apakah setiap a \in \mathbb{Z} mempunyai invers.
    Serupa dengan bagian sebelumnya, kita perlu menentukan unsur apa yang merupakan invers dari a. Agar a^{-1} menjadi invers dari a, haruslah dipenuhi a*a^{-1}=e dan a^{-1}*a=e. Dalam menentukan unsur invers, kita cukup menggunakan salah satu syarat, misalnya syarat pertama.

        \begin{align*} a*a^{-1} &= e \\ a+a^{-1}+1 &= -1 \\ a^{-1} &= -a-2 \end{align*}

    Setelah mendapatkan nilai a^{-1}, kita perlu mengecek apakah a^{-1} yang diperoleh merupakan anggota \mathbb{Z}. Karena a^{-1}=-a-2 \in \mathbb{Z}, maka kita perlu menunjukkan apakah a^{-1}=-a-2 benar merupakan invers dari a.

    Ambil sebarang a \in \mathbb{Z}. Terdapat a^{-1} \in \mathbb{Z} sehingga

        \begin{align*} a*a^{-1} &= a*(-a-2) &\text{[Substitusi } a^{-1}=-a-2] \\ &= a+(-a-2)+1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= a+(-a+(-2))+1 &\text{[Definisi operasi } -] \\ &= (a+(-a))+(-2+1) &\text{[Operasi + asosiatif]} \\ &= 0+(-1) &\text{[Invers pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= -1 &\text{[0 identitas pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= e &\text{[Substitusi } e=-1] \end{align*}

    dan

        \begin{align*} a^{-1}*a &= (-a-2)*a &\text{[Substitusi } a^{-1}=-a-2] \\ &= (-a-2)+a+1 &\text{[Definisi operasi } *] \\ &= (-a+(-2))+a+1 &\text{[Definisi operasi } -] \\ &= (-2+(-a))+a+1 &\text{[Operasi + komutatif]} \\ &= -2+(-a+a)+1 &\text{[Operasi + asosiatif]} \\ &= -2+0+1 &\text{[Invers pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= -2+1 &\text{[0 identitas pada } (\mathbb{Z},+)] \\ &= -1 \\ &= e &\text{(Substitusi } e=-1)  \end{align*}

    Jadi, setiap anggota \mathbb{Z} mempunyai invers.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa (\mathbb{Z},*) merupakan grup.

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa himpunan dengan operasi tertentu yang bukan merupakan grup.

Bukan Contoh 1

Periksa apakah himpunan bilangan asli (\mathbb{N}) dengan operasi pengurangan merupakan grup.

PEMBAHASAN

  1. Himpunan bilangan asli (\mathbb{N}) tidak bersifat tertutup terhadap operasi pengurangan. Untuk membuktikan hal ini, kita cukup memilih dua bilangan asli yang tidak memenuhi. Terdapat 2,3 \in \mathbb{N}, tetapi 2-3=-1 \notin \mathbb{N}.

Kita tidak perlu melanjutkan pada sifat berikutnya. Jika suatu himpunan dengan operasi tertentu tidak memenuhi satu sifat saja, maka himpunan tersebut tidak mungkin membentuk grup.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa (\mathbb{N},-) bukan merupakan grup.

Bukan Contoh 2

Periksa apakah himpunan bilangan bulat (\mathbb{Z}) dengan operasi pengurangan merupakan grup.

PEMBAHASAN

  1. Kita akan memeriksa apakah \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi pengurangan.
    Ambil sebarang a,b \in \mathbb{Z}.
    Selisih dua bilangan bulat merupakan bilangan bulat, sehingga a-b \in \mathbb{Z}.
    Jadi, \mathbb{Z} bersifat tertutup terhadap operasi pengurangan.
  2. Kita akan memeriksa apakah pengurangan bersifat asosiatif.
    Ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa

        \[a-(b-c)=a-b+c\]

    Di lain pihak

        \[(a-b)-c=a-b-c\]

    Untuk c=0, a-(b-c) bernilai sama dengan (a-b)-c. Namun, secara umum a-(b-c) \neq (a-b)-c.
    Jadi, operasi pengurangan tidak bersifat asosiatif.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa (\mathbb{Z},-) bukan merupakan grup.

Semoga bermanfaat. Jika ada yang ingin ditanyakan atau dirasa keliru, silahkan sampaikan melalui komentar.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.