Fungsi Bijektif dan Fungsi Invers

Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) merupakan fungsi yang memetakan anggota suatu himpunan ke himpunan lain, dimana setiap anggota himpunan pertama dipetakan dengan tepat satu anggota himpunan kedua, begitu pula sebaliknya. Pada fungsi bijektif, jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain.

Fungsi bijektif ini bersifat injektif sekaligus surjektif. Dari sini, kita bisa mengetahui bahwa range fungsi sama dengan kodomainnya, dan setiap anggota kodomain berpasangan dengan tepat satu anggota domain.

Misalkan f fungsi bijektif yang memetakan himpunan A ke himpunan B. Invers dari fungsi f adalah fungsi yang memetakan balik anggota himpunan B ke himpunan A. Jika a \in A dipetakan oleh fungsi f ke b \in B, maka invers fungsi f memetakan b \in B ke a \in A. Hal ini berlaku untuk setiap anggota himpunan A dan himpunan B. Komposisi antara suatu fungsi dengan inversnya merupakan fungsi identitas.

Berikut ini sebuah teorema yang berkaitan dengan fungsi bijektif dan fungsi invers.

TEOREMA

Fungsi f bijektif jika dan hanya jika f mempunyai invers.

Sebelum membuktikan teorema di atas, kita perlu mengingat beberapa definisi yang berkaitan, yaitu.

  1. Suatu fungsi f:A \rightarrow B dikatakan injektif jika dan hanya jika untuk setiap a_1,a_2 \in A berlaku f(a_1 ) = f(a_2 ) \Rightarrow a_1 = a_2.
  2. Suatu fungsi f:A \rightarrow B dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap b \in B terdapat a \in A sehingga f(a) = b.
  3. Suatu fungsi dikatakan bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut injektif dan surjektif.
  4. Misalkan f:A \rightarrow B. Fungsi g:B \rightarrow A dikatakan sebagai invers fungsi f jika dan hanya jika f \circ g = I_B dan g \circ f = I_A, dengan I_A dan I_B masing-masing merupakan fungsi identitas di himpunan A dan himpunan B.

BUKTI
Karena teorema di atas berbentuk biimplikasi, maka kita perlu membuktikan dua arah. Pertama, kita akan membuktikan bahwa, jika fungsi f bijektif maka f memiliki invers. Kedua, kita akan membuktikan, jika fungsi f memiliki invers maka fungsi f bijektif.

1. Jika fungsi f bijektif maka f mempunyai invers.
Misal kita punya fungsi bijektif f:A \rightarrow B. Kita akan membuktikan bahwa fungsi ini mempunyai invers.

Ambil sebarang a \in A, dengan f(a)=b untuk suatu b \in B. f adalah fungsi bijektif, artinya kita bisa mendefinisikan fungsi g yang memetakan b \in B ke a \in A, ditulis g(b)=a.
Akan dibuktikan bahwa g merupakan invers dari f. Untuk itu, kita perlu menunjukkan g \circ f = I_A dan f \circ g = I_B.

Perhatikan bahwa

    \begin{align*} (g \circ f)(a) &= g(f(a)) \\ &= g(b) \\ &= a \end{align*}

Diperoleh (g \circ f)(a)=a. Ini berarti g \circ f=I_A.
Di lain pihak

    \begin{align*} (f \circ g)(b) &= f(g(b)) \\ &= f(a) \\ &= b \end{align*}

Diperoleh (f \circ g)(b)=b. Ini berarti f \circ g=I_B.

Berdasarkan definisi, g merupakan invers fungsi f.
Terbukti.

2. Jika f mempunyai invers maka f fungsi bijektif.
Misal kita punya fungsi f:A \rightarrow B dan g:B \rightarrow A, dengan g merupakan invers fungsi f. Akan dibuktikan bahwa f fungsi bijektif. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa f fungsi injektif sekaligus surjektif.

Fungsi g adalah invers fungsi f, artinya g \circ f=I_A dan f \circ g=I_B. Setiap fungsi identitas merupakan fungsi bijektif, sehingga f \circ g dan g \circ f adalah fungsi bijektif. Berdasarkan definisi, keduanya merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.

2.1 Akan ditunjukkan f fungsi injektif.
Ambil sebarang a_1,a_2 \in A, dengan f(a_1)=f(a_2). Akan dibuktikan a_1=a_2.
Fungsi f memetakan A ke B, sehingga f(a_1 ),f(a_2 ) \in B. Dengan kata lain, f(a_1) dan f(a_2) merupakan anggota dari domain fungsi g.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} f(a_1) &= f(a_2) \\ g(f(a_1)) &= g(f(a_2)) \\ (g \circ f)(a_1) &= (g \circ f)(a_2) \\ a_1 &= a_2 &[g \circ f \text{ fungsi injektif]} \end{align*}

Diperoleh a_1=a_2.
Jadi, terbukti bahwa f adalah fungsi injektif.

2.1 Akan ditunjukkan f fungsi surjektif.
Ambil sebarang b \in B. Akan dibuktikan bahwa f fungsi surjektif, yaitu terdapat a \in A sehingga f(a)=b.
Diketahui f \circ g=I_B dan b \in B. Karena f \circ g fungsi identitas, maka diperoleh (f \circ g)(b)=f(g(b))=b.
Fungsi g memetakan B ke A. Tulis g(b)=a untuk suatu a \in A dan b \in B.

Diperoleh, untuk setiap b \in B terdapat a \in A sehingga f(a)=f(g(b))=b.
Jadi, terbukti bahwa f adalah fungsi surjektif.

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh f fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif. Dengan demikian, terbukti bahwa f fungsi bijektif.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.