Fungsi Injektif dan Fungsi Surjektif

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan dua buah teorema tentang fungsi injektif dan fungsi surjektif.

TEOREMA 1
Misalkan f:A \rightarrow B dan g:B \rightarrow C. Jika g \circ f fungsi injektif, maka f juga fungsi injektif.

Definisi: Suatu fungsi f:A \rightarrow B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika \forall a_1 , a_2 \in A, \: f(a_1 ) = f(a_2 ) \Rightarrow a_1 = a_2.

Ambil a_1 , a_2 \in A sebarang, dengan f(a_1 )=f(a_2 ), akan ditunjukkan bahwa a_1 = a_2.

f(a_1 )=f(a_2 )

f adalah fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B, sehingga f(a_1 ),f(a_2 ) \in B. Di sisi lain, g adalah fungsi yang memetakan himpunan B ke himpunan C. Artinya f(a_1 ) dan f(a_2 ) merupakan domain fungsi g, sehingga

g(f(a_1 ))=g(f(a_2 ))
(g \circ f)(a_1 )=(g \circ f)(a_2 )

Karena g \circ f adalah fungsi injektif, maka diperoleh a_1 = a_2.

Q.E.D

TEOREMA 2
Misalkan f:A \rightarrow B dan g:B \rightarrow C. Jika g \circ f fungsi surjektif, maka g juga fungsi surjektif.

Definisi: Suatu fungsi g:B \rightarrow C disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika \forall c \in C, \: \exists b \in B, \: g(b) = c.

Akan ditunjukkan bahwa g adalah fungsi surjektif.
(g \circ f):A \rightarrow C fungsi surjektif, artinya untuk setiap c \in C ada a \in A sehingga (g \circ f)(a)=c.

(g \circ f)(a)=c
g(f(a))=c

f merupakan fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan B, sehingga untuk setiap a \in A ada b \in B sehingga f(a) = b, akibatnya.

g(b)=c

Diperoleh untuk setiap c \in C ada b \in B sehingga g(b) = c. Terbukti bahwa fungsi g merupakan fungsi surjektif.

Q.E.D

Leave a Reply

Your e-mail address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.