Grup Abelian (Grup Komutatif) dalam Struktur Aljabar

Kita akan melanjutkan pembahasan mengenai struktur aljabar, yang disebut grup. Sebelumnya, kita telah membahas tentang definisi, contoh, dan beberapa sifat dasar pada grup. Kali ini kita akan membahas tentang grup komutatif, atau sering disebut grup abelian. Nama ini diberikan sebagai bentuk penghargaan terhadap matematikawan Norwegia bernama Niels Henrik Abel.

Untuk menentukan apakah suatu himpunan dengan operasi tertentu merupakan grup komutatif atau grup abelian, kita perlu menunjukkan dua hal. Pertama, himpunan dengan operasi tersebut merupakan grup. Dan kedua, kita perlu mengecek keberlakukan sifat komutatif. Sebelumnya, kita telah menunjukkan bahwa Himpunan bilangan bulat merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Operasi penjumlahan ini bersifat komutatif, sehingga (\mathbb{Z},+) merupakan grup komutatif atau grup abelian.

Grup yang tidak memenuhi sifat komutatif disebut grup non komutatif atau grup non abelian. Sebagai contoh, pembaca dapat menunjukkan bahwa himpunan M yang berisi matriks-matriks berordo 2×2 dengan determinan tak nol merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks. Misalkan A dan B sebarang anggota himpunan M. Apakah selalu berlaku AB=BA?. Jika berlaku, kita perlu membuktikannya. Jika tidak, kita perlu menunjukkan sebuah contoh penyangkal.

Untuk A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] dan B=\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], diperoleh

    \begin{align*} AB &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array} \right] \end{align*}

dan

    \begin{align*} BA &= \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \end{align*}

Diperoleh AB \neq BA. Meskipun untuk pasangan matriks tertentu berlaku sifat komutatif, dengan contoh penyangkal di atas, kita telah menunjukkan bahwa secara umum sifat komutatif tidak berlaku pada (M,\times). Jadi, (M,\times) bukan grup abelian.

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal yang berkaitan dengan grup abelian. Namun, sebelum itu, saya akan menuliskan beberapa sifat yang akan digunakan dalam contoh soal.

Sifat yang digunakan
Misal G grup. Untuk setiap x,y \in G dan m \in \mathbb{Z} berlaku.
1. (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}
2. x=(x^{-1})^{-1}
3. x^m=(x^{-1})^{-m}
Contoh 1

Misal G grup. Untuk setiap a \in G berlaku a^2=e. Buktikan bahwa G grup abelian.

BUKTI
Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.
Berdasarkan sifat tertutup pada grup G diperoleh ab \in G. Diketahui pangkat dua dari setiap anggota G merupakan unsur identitas, sehingga

    \begin{align*} (ab)^2 &= e \\ abab &= e &\text{[Definisi]} \\ a(abab) &= ae \\ (aa)(bab) &= a &\text{[Sifat Asosiatif]} \\ a^2(bab) &= a &\text{[Definisi]} \\ e(bab) &= a &[a \in G \Rightarrow a^2=e] \\ bab &= a &\text{[e unsur identitas]} \\ (bab)b &= ab \\ (ba)(bb) &= ab &\text{[Sifat Asosiatif]} \\ (ba)b^2 &= ab &\text{[Definisi]} \\ (ba)e &= ab &[b \in G \Rightarrow b^2=e] \\ ba &= ab  &\text{[e unsur identitas]} \end{align*}

Diperoleh ab=ba. Terbukti bahwa G grup abelian.

Contoh 2

Misal G grup. Untuk setiap a \in G berlaku a=a^{-1}. Buktikan bahwa G grup abelian.

BUKTI
Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.
Diketahui invers setiap elemen adalah dirinya sendiri, sehingga a^2=aa=aa^{-1}=e. Berdasarkan Contoh 1, diperoleh G grup abelian.
Terbukti.

Sebagai alternatif, kita dapat membuktikan dengan cara berikut.
Sifat tertutup G mengakibatkan ab \in G, sehingga ab=(ab)^{-1}. Selanjutnya, berdasarkan sifat 1, diperoleh (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Akibatnya ab=b^{-1}a^{-1}. Dengan mensubstitusi a^{-1} dengan a dan b^{-1} dengan b, diperoleh ab=ba.
Terbukti bahwa G grup abelian.

Contoh 3

Buktikan bahwa G grup abelian jika dan hanya jika (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1} untuk setiap a,b \in G.

BUKTI
Pernyataan di atas berbentuk biimplikasi, sehingga kita harus membuktikan dari dua arah.

1. Jika G grup abelian, maka (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1} untuk setiap a,b \in G.
Misal G grup abelian. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}.
Berdasarkan sifat 1, diperoleh (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Karena G grup abelian, maka

    \[(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}\]

Terbukti.

2. Jika (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1} untuk setiap a,b \in G, maka G grup abelian.
Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G, dengan (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} ab &= ((ab)^{-1})^{-1} &\text{[Sifat 2]} \\ &= (a^{-1}b^{-1})^{-1} &\text{[Diketahui]} \\ &= (b^{-1})^{-1}(a^{-1})^{-1} &\text{[Sifat 1]} \\ &= ba &\text{[Sifat 2]} \end{align*}

Terbukti bahwa G grup abelian.

Contoh 4

Misal G grup. Untuk setiap x,y,z \in G berlaku, jika xy=zx maka y=z. Buktikan G grup abelian.

BUKTI

Sekilas, pernyataan “jika xy=zx maka y=z” terlihat mirip dengan hukum pembatalan. Pada hukum pembatalan, suatu elemen dapat dicoret jika posisinya sama pada ruas kiri dan ruas kanan. Misalnya p pada sebelah kiri setiap ruas pq=pr dan pada sebelah kanan setiap ruas qp=rp.
Dalam soal ini, elemen yang sama pada setiap ruas dapat dicoret, meskipun berada pada posisi berbeda.

Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.

Salah satu cara membuktikan ab=ba adalah dengan bekerja mundur. Sekarang kita punya ab=ba. Karena kita bekerja mundur, maka kita dapat mengoperasikan kedua ruas dengan suatu elemen G, misalnya x, pada posisi berbeda. Tujuannya agar setelah ditulis dengan urutan yang sesuai, elemen x dapat dicoret berdasarkan pernyataan pada soal. Diperoleh xab=bax. Kita dapat mengganti x dengan b agar diperoleh sebuah pernyataan yang bernilai benar, yaitu bab=bab. Kita dapat memulai bukti dari pernyataan semacam ini.

Perhatikan bahwa bab=bab, yang dapat ditulis sebagai b(ab)=(ba)b. Berdasarkan asumsi, diperoleh ab=ba.
Terbukti bahwa G grup abelian.

Contoh 5

Misal G grup. Untuk setiap a,b,c,d,x \in G berlaku, jika axb=cxd maka ab=cd. Buktikan G grup abelian.

BUKTI

Pernyataan “jika axb=cxd maka ab=cd” juga mirip dengan hukum pembatalan.Elemen yang sama pada setiap ruas dapat dicoret, meskipun berada pada bagian tengah.

Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.

Kita akan membuktikan teorema ini dengan bekerja mundur terlebih dahulu. Kita punya ab=ba. Kita perlu menyisipkan suatu element G, misalnya x, pada setiap ruas. Tujuannya agar elemen x dapat dicoret berdasarkan pernyataan pada teorema. Diperoleh axb=bxa. Yang jadi pertanyaan, bagaimana nilai x agar diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Salah satu nilai x yang memenuhi adalah a^{-1}. Diperoleh aa^{-1}b=ba^{-1}a yang berakibat eb=be. Pernyataan terakhir ini tentu bernilai benar, sehingga kita dapat memulai bukti dari pernyataan ini.

Perhatikan bahwa eb=be, sebab e unsur identitas. Dengan mengganti e pada kedua ruas dengan aa^{-1}, diperoleh aa^{-1}b=ba^{-1}a. Berdasarkan asumsi, diperoleh ab=ba.
Terbukti bahwa G grup abelian.

Contoh 6

Misal G grup abelian. Untuk setiap a,b \in G dan n \in \mathbb{Z} berlaku (ab)^n=a^nb^n.

BUKTI
Misal G grup abelian. Ambil sebarang a,b \in G dan n \in \mathbb{Z}. Akan dibuktikan (ab)^n=a^nb^n.

Kita akan membagi bukti ini menjadi tiga bagian, untuk n bernilai 0, n bilangan bulat positif (bilangan asli), dan n bilangan bulat negatif.
Untuk n=0, diperoleh a^0=b^0=(ab)^0=e. Sehingga jelas berlaku (ab)^0=a^0b^0.

Untuk n bilangan bulat positif, kita akan membuktikan dengan induksi. Misalkan P(n) adalah pernyataan (ab)^n=a^nb^n.
Untuk n=1, diperoleh (ab)^1=ab=a^1b^1. Jadi, P(1) bernilai benar. Selanjutnya asumsikan P(k) bernilai benar, yaitu (ab)^k=a^kb^k. Akan ditunjukkan P(k+1) juga bernilai benar, yaitu (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} (ab)^{k+1} &= (ab)^k(ab) &\text{[Definisi]} \\ &= (a^kb^k)(ab) &\text{[Asumsi]} \\ &= (a^kb^k)(ba) &[G \text{ abelian]} \\ &= a^k(b^k(ba)) &\text{[Asosiatif]} \\ &= a^k((b^kb)a) &\text{[Asosiatif]} \\ &= a^k(b^{k+1}a) &\text{[Definisi]} \\ &= a^k(ab^{k+1}) &[G \text{ abelian]} \\ &= (a^ka)b^{k+1} &\text{[Asosiatif]} \\ &= a^{k+1}b^{k+1} &\text{[Definisi]}  \end{align*}

Diperoleh (ab)^{k+1}=a^{k+1}b^{k+1}. Dengan demikian, berdasarkan induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Terakhir, untuk n bilangan bulat negatif. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} (ab)^n &= ((ab)^{-1})^{-n} &\text{[Sifat 3]} \\ &= (b^{-1}a^{-1})^{-n} &\text{[Sifat 1]} \\ &= (b^{-1})^{-n}(a^{-1})^{-n} &\text{[Kasus 2, }-n \in \mathbb{N}] \\ &= b^na^n &\text{[Sifat 3]} \\ &= a^nb^n &[G \text{ abelian]} \end{align*}

Diperoleh (ab)^n=a^nb^n, untuk n bilangan bulat negatif.
Dengan demikian, terbukti bahwa (ab)^n=a^nb^n untuk setiap n \in \mathbb{Z}.

Contoh 7

Misal G grup. Untuk setiap a,b \in G berlaku (ab)^3=a^3b^3 dan (ab)^5=a^5b^5. Buktikan G grup abelian.

BUKTI
Misal G grup. Ambil sebarang a,b \in G, dengan (ab)^3=a^3b^3 dan (ab)^5=a^5b^5. Akan dibuktikan G grup abelian. Ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa ab=ba.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} (ab)^5 &= a^5b^5 &\text{[Diketahui]} \\ ababababab &= aaaaabbbbb &\text{[Definisi]} \\ babababa &= aaaabbbb &\text{[Hukum pembatalan]} \\ (ba)^4 &= a^4b^4 &(1) \end{align*}

Di lain pihak

    \begin{align*} (ab)^3 &= a^3b^3 &\text{[Diketahui]} \\ ababab &= aaabbb &\text{[Definisi]} \\ baba &= aabb &\text{[Hukum pembatalan]} \\ (ba)^2 &= a^2b^2 &(2) \end{align*}

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan (2), diperoleh.

    \begin{align*} ((ba)^2)^2 &= (a^2b^2)^2 \\ (ba)^4 &= (a^2b^2)(a^2b^2) &\text{[Definisi]} \\ a^4b^4 &= a^2b^2a^2b^2 &\text{[Persamaan (1)]} \\ a^2a^2b^2b^2 &= a^2b^2a^2b^2 &\text{[Definisi]} \\ a^2b^2 &= b^2a^2 &\text{[Hukum pembatalan]} \\ (ba)^2 &= b^2a^2 &\text{[Persamaan (2)]} \\ baba &= bbaa &\text{[Definisi]} \\ ab &= ba &\text{[Hukum pembatalan]} \end{align*}

Diperoleh ab=ba.
Terbukti bahwa G grup abelian.

Demikian pembahasan mengenai grup abelian. Semoga bermanfaat.
Jika ada yang ingin ditanyakan atau dirasa keliru, silahkan sampaikan melalui komentar.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.