Himpunan yang Membangun (Merentang) suatu Ruang Vektor

Jika S=\{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , ... ,\vec{v_n}\} merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

    \begin{align*} W=span(S)=span \{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , ... ,\vec{v_n}\} \end{align*}

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika V=span(S), dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan S=\{(1,0),(0,1)\} merentang \mathbb{R}^2, karena setiap vektor (a,b) yang ada di \mathbb{R}^2 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

    \begin{align*} (a,b)=a(1,0)+b(0,1) \end{align*}

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan \{(-1,0),(0,1)\} juga merentang \mathbb{R}^2.

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1
Periksa apakah S=\{(1,1,2),(1,0,1),(2,1,3)\} merentang ruang vektor \mathbb{R}^3.

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \vec{v} \in \mathbb{R}^3. Tulis \vec{v} =(a,b,c), untuk suatu a,b,c \in \mathbb{R}.

Kita harus menentukan apakah \vec{v} dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

v ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

    \begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\ k_1 + k_3 =b \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 =c \end{align*}

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \mathbb{R}^3 dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

    \begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 1

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang \mathbb{R}^3.

Alternatif:

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & a\\ 1 & 0 & 1 & b\\ 2 & 1 & 3 & c\end{array} \right] \end{align*}

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & a\\ 0 & -1 & -1 & -a+b\\ 0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array} \right] \end{align*}

Kalikan baris kedua dengan (-1).

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & a\\ 0 & 1 & 1 & a-b\\ 0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array} \right] \end{align*}

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & a\\ 0 & 1 & 1 & a-b\\ 0 & 0 & 0 & -a-b+c\end{array} \right] \end{align*}

Diperoleh

    \begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\ k_2 + k_3 =a-b \\ -a-b+c=0 \end{align*}

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika -a-b+c=0. Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang \mathbb{R}^3.

CONTOH 2
Diketahui \vec{p_1}=1+x+x^2, \vec{p_2}= 1+x^2, dan \vec{p_3}= 1+2x.
Periksa apakah S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\} merentang P_2.

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \vec{p} \in P_2. Tulis \vec{p} = a +bx+cx^2, untuk suatu a,b,c \in \mathbb{R}.

Kita harus menentukan apakah \vec{p} dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

p ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh

    \begin{align*} k_1+k_2+k_3 =a \\ k_1+2k_3 =b \\ k_1+k_2 =c \end{align*}

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah

    \begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 0\end{array} \right] \end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 2

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang P_2.

Alternatif:

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & a\\ 1 & 0 & 2 & b\\ 1 & 1 & 0 & c\end{array} \right] \end{align*}

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & a\\ 0 & -1 & 1 & -a+b\\ 0 & 0 & -1 & -a+c\end{array} \right] \end{align*}

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & a\\ 0 & 1 & -1 & a-b\\ 0 & 0 & 1 & a-c\end{array} \right] \end{align*}

Diperoleh

    \begin{align*} k_1+k_2+k_3 =a \\ k_2 - k_3 =a-b \\ k_3 =a-c \end{align*}

Dengan substitusi balik, diperoleh

    \begin{align*} k_1 =-2a +b+2c \\ k_2 =2a-b-c \\ k_3 =a-c \end{align*}

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang P_2.

You may also like...

1 Response

  1. 15 September 2018

    […] berturut-turut dibangun oleh dan . Dapat dicek bahwa dan . Berdasarkan Teorema Plus/Minus, tetap merentang dan tetap merentang . dan merupakan himpunan yang bebas linear, sehingga merupakan basis dari […]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.