Pembuktian Integral sec x dan Integral csc x

Dalam tulisan ini, kita akan membuktikan dua bentuk integral fungsi trigonometri, yaitu $\int \sec x \: \text{dx}$ dan $\int \csc x \: \text{dx}$.$$\begin{aligned}\int \sec x \: \text{dx} &= \ln | \sec x + \tan x | + C \\\int \csc x \: \text{dx} &= -\ln | \csc x + \cot x | + C\end{aligned}$$

$\int \sec x \: \text{dx}$

Kalikan $\sec x$ dengan $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$. Kita boleh melakukan hal ini, karena sebenarnya kita mengalikan $\sec x$ dengan 1.$$\begin{aligned}\int \sec x \: \text{dx} &= \int \sec x \frac{\sec x + \tan x }{\sec x + \tan x} \: \text{dx} \\&= \int \frac{\sec ^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \: \text{dx}\end{aligned}$$

Misalkan $u = \sec x + \tan x$, sehingga $du = ( \sec x \tan x + \sec ^2 x )$. Substitusi kedua nilai tersebut pada integral.$$\begin{aligned}\int \sec x \: \text{dx} &= \frac{1}{u} \: \text{du} \\&= \ln |u| + C\end{aligned}$$

Kembalikan ke bentuk trigonometri.$$\int \sec x \: \text{dx} = \ln | \sec x + \tan x | + C$$Terbukti.

$\int \csc x \: \text{dx}$

Prinsipnya sama dengan pembuktian yang pertama. Kali ini, kita mengalikan $\csc x$ dengan $\frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$.$$\begin{aligned}\int \csc x \: \text{dx} &= \csc x \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} \: \text{dx} \\&= \frac{\csc ^2 x + \csc x \cot x}{\csc x + \cot x} \: \text{dx}\end{aligned}$$

Misalkan $u = \csc x + \cot x$, sehingga$$\begin{aligned}du &= ( -\csc x \cot x {}- \csc ^2 x) \: \text{dx} \\-du &= \csc ^2 x + \csc x \cot x \: \text{dx}\end{aligned}$$

Substitusi kedua nilai tersebut pada integral.$$\begin{aligned}\int \csc x \: \text{dx} &= -\int \frac{1}{u} \: \text{du} \\&= -\ln |u| + C\end{aligned}$$

Kembalikan ke bentuk trigonometri.$$\int \csc x \: \text{dx} = -\ln | \csc x + \cot x | + C$$Terbukti.