Menghitung Luas Segitiga dengan Determinan

Determinan memiliki banyak kegunaan. Bukan hanya untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, tetapi juga untuk menentukan luas suatu segitiga pada bidang koordinat. Perhitungan luas segitiga dengan determinan digunakan jika posisi titik-titik sudut segitiga diketahui. Jika koordinat titik-titik sudut segitiga ABC adalah (x_1, y_1), (x_2 , y_2), dan (x_3 , y_3), maka luasnya dapat dihitung dengan rumus berikut.

L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right|

Dengan

M = \left[ \begin{array}{rrr}  x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\end{array} \right]

BUKTI

Perhatikan segitiga ABC dengan koordinat A(x_1 , y_1), B(x_2 , y_2), dan C(x_3 , y_3) berikut.

Selanjutnya, kita menggambar persegi panjang yang melalui ketiga titik sudut segitiga.

Melalui pengamatan gambar, kita memperoleh
AD=x_2 - x_1
BD=y_2 - y_1
BE=y_3 - y_2
CE=x_2 - x_3
CF=x_3 - x_1
AF=y_3 - y_1

Kemudian, kita mencari luas daerah persegi panjang ADEF dan luas segitiga-segitiga, selain segitiga ABC.

L ABCD = AD \cdot AF = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) = x_2 y_3 - x_2 y_1 - x_1 y_3 + x_1 y_1
L \triangle ADB=\frac{1}{2} AD \cdot BD=\frac{1}{2} (x_2 - x_1)(y_2 - y_1)=\frac{1}{2}(x_2 y_2 - x_2 y_1 - x_1 y_2 + x_1 y_1)
L \triangle BEC=\frac{1}{2} CE \cdot BE=\frac{1}{2} (x_2 - x_3)(y_3 - y_2)=\frac{1}{2}(x_2 y_3 - x_2 y_2 - x_3 y_3 + x_3 y_2)
L \triangle ACF=\frac{1}{2} CF \cdot AF=\frac{1}{2} (x_3 - x_1)(y_3 - y_1)=\frac{1}{2}(x_3 y_3 - x_3 y_1 - x_1 y_3 + x_1 y_1)

Jumlahkan luas ketiga segitiga tersebut, sehingga diperoleh.

L \triangle ADB + L \triangle BEC + L \triangle ACF = x_1 y_1 + \frac{1}{2} (x_2 y_3 + x_3 y_2 - x_2 y_1 - x_1 y_2 - x_3 y_1 - x_1 y_3)

Untuk menghitung luas segitiga ABC, kurangi luas ABCD dengan jumlah luas ketiga segitiga lainnya.

L \triangle ABC = (x_2 y_3 - x_2 y_1 - x_1 y_3 + x_1 y_1) - [x_1 y_1 + \frac{1}{2} (x_2 y_3 + x_3 y_2 - x_2 y_1 - x_1 y_2 - x_3 y_1 - x_1 y_3]

L \triangle ABC = \frac{1}{2} x_2 y_3 - \frac{1}{2} x_2 y_1 - \frac{1}{2} x_1 y_3 - \frac{1}{2} x_3 y_2 + \frac{1}{2} x_1 y_2 + \frac{1}{2} x_3 y_1

Melalui proses penyederhanaan, kita memperoleh.

L \triangle ABC = \frac{1}{2} [(x_2 y_3 - x_3 y_2) - (x_1 y_3 - x_3 y_1) + (x_1 y_2 - x_2 y_1)

Perhatikan bahwa (x_2 y_3 - x_3 y_2) merupakan determinan dari matriks

\left[ \begin{array}{rr} x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\end{array} \right]

Sehingga kita dapat menuliskannya sebagai

\left| \begin{array}{rr} x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\end{array} \right|

Dengan cara yang sama, kita bisa menuliskan dua suku lainnya sebagai determinan suatu matriks. Sehingga luas segitiga ABC menjadi

L \triangle ABC = \frac{1}{2} \left( \left| \begin{array}{rr} x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\end{array} \right| - \left| \begin{array}{rr} x_1 & y_1\\ x_3 & y_3\end{array} \right| + \left| \begin{array}{rr} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\end{array} \right| \right)

Perhatikan bahwa

\left| \begin{array}{rr} x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\end{array} \right| - \left| \begin{array}{rr} x_1 & y_1\\ x_3 & y_3\end{array} \right| + \left| \begin{array}{rr} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\end{array} \right|

merupakan determinan dari suatu matrix M, dengan

M = \left[ \begin{array}{rrr}  x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\end{array} \right]

Jadi, rumus luas segitiga ABC menjadi

L \triangle ABC = \frac{1}{2} [det(M)]= \frac{det(M)}{2}

Penukaran posisi dua baris akan mengubah tanda determinan. Jadi, untuk mengantisipasi munculnya luas yang bernilai negatif, kita perlu menambahkan tanda nilai mutlak pada rumus di atas. Diperoleh

L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right|

Terbukti.

CONTOH
Hitunglah luas segitiga dengan titik-titik sudut (3, 3), (4, 0), (-2, -1).

Penyelesaian

Pertama, kita bentuk matriks M dari koordinat titik-titik sudut segitiga tersebut.

M = \left[ \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 1\\ 4 & 0 & 1\\ -2 & - 1& 1\end{array} \right]

Hitung determinan matriks M.

det(M) = 1 \left| \begin{array}{rr} 4 & 0\\ -2 & - 1\end{array} \right| - 1 \left| \begin{array}{rr} 3 & 3\\ -2 & -1\end{array} \right| + 1 \left| \begin{array}{rr} 3 & 3\\ 4 & 0\end{array} \right|

det(M) = (-4-0) - (-3-(-6)) + (0-12)

det(M) = -4-3-12 =-19

Selanjutnya, kita menghitung luas segitiga dengan rumus

L \triangle ABC = \left| \frac{det(M)}{2} \right| = \left| \frac{-19}{2} \right| = \frac{19}{2}

Jadi, luas segitiga ABC adalah \frac{19}{2} satuan luas.

You may also like...

2 Responses

  1. November says:

    makasih ya gan!!!! postingannya sangat membantu. 😉 :*
    /

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.