Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

CONTOH
Diketahui persamaan kuadrat x^2 -x+3=0 dengan akar-akar x_1 dan x_2. Bentuklah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
3. \frac{1}{x_1 -2} dan \frac{1}{x_2 -2}.
4. \frac{x_1}{x_2} dan \frac{x_2}{x_1}.

SOLUSI
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x^2 -x+3=0

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \alpha dan \beta, dengan \alpha = x_1 +2 dan \beta = x_2 +2

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

    \begin{align*} \alpha + \beta &= (x_1 +2) + (x_2 +2) \\ &= (x_1 + x_2) +4 \\ &= 1 + 4 \\ &= 5 \end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} \alpha \cdot \beta &= (x_1 +2) \cdot (x_2 +2) \\ &= x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4 \\ &= 3+2 \cdot 1 +4 \\ &= 9 \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x^2 -5x+9=0

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x^2 -x+3=0. Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan y=x+2 yang berakibat x=y-2. Substitusi x=y-2 ke persamaan kuadrat yang lama

    \begin{align*} x^2 -x+3 &= 0 \\ (y-2)^2 -(y-2)+3 &= 0 \\ (y^2 -4y+4) -(y-2)+3 &= 0 \\ y^2 -5y+9 &= 0 \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah y^2 -5y+9=0

2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat x^2 -x+3=0

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \alpha dan \beta, dengan \alpha = {x_1}^2 dan \beta = {x_2}^2

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

    \begin{align*} \alpha + \beta &= {x_1}^2 + {x_2}^2 \\ &= (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 \\ &= 1^2 - 2 \cdot 3 \\ &= -5 \end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} \alpha \cdot \beta &= {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 \\ &= (x_1 \cdot x_2)^2 \\ &= 3^2 \\ &=9 \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x^2 +5x+9=0

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat x^2 -x+3=0. Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan y=x^2 yang berakibat x= \sqrt{y}. Substitusi x= \sqrt{y} ke persamaan kuadrat yang lama.

    \begin{align*} x^2 -x+3 &= 0 \\ (\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3 &= 0 \\ y - \sqrt{y} +3 &= 0 \\ y+3 &= \sqrt{y} \end{align*}

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh

    \begin{align*} (y+3)^2 &= (\sqrt{y})^2 \\ y^2 +6y+9 &= y \\ y^2 +5y+9 &= 0 \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah y^2 +5y+9=0.

3. akar-akarnya \frac{1}{x_1 -2} dan \frac{1}{x_2 -2}.

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \alpha dan \beta, dengan \alpha = \frac{1}{x_1 -2} dan \beta = \frac{1}{x_2 -2}.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

    \begin{align*} \alpha + \beta &= \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2} \\ &=\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)} \\ &= \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\ &= \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} \\ &= - \frac{3}{5} \end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} \alpha \cdot \beta &= \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2} \\ &= \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\ &= \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4} \\ &=\frac{1}{5} \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0.

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan y=\frac{1}{x-2} atau x= \frac{1}{y} +2. Substitusi x= \frac{1}{y} +2 ke persamaan kuadrat yang lama.

    \begin{align*} \left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 - \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\ \left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) - \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\ \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5 &= 0 \end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan y^2, sehingga diperoleh 5y^2 +3y +1=0
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah 5y^2 +3y +1=0.

4. akar-akarnya \frac{x_1}{x_2} dan \frac{x_2}{x_1}.

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \alpha dan \beta, dengan \alpha = \frac{x_1}{x_2} dan \beta = \frac{x_2}{x_1}.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

    \begin{align*} \alpha + \beta &= \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \\ &= \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2} \\ &= \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} \\ &= \frac{1^2 - 2 \cdot 3}{3} \\ &= - \frac{5}{3} \end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} \alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1 \end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0.

Mungkin Anda juga menyukai

2 Respon

  1. deanazpriska berkata:

    Pengrtian menyusun persamaan kuadrat barunya mana? kok ga lengkapp

  1. 24 Juni 2017

    […] Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar-akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru. […]

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.