Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan nilai eigen suatu matriks. Sebelum itu, kita perlu memahami definisi nilai eigen.

Definisi

Misalkan $A$ matriks berukuran $n \times n$. Vektor tak nol $x$ di $\mathbb{R}^n$ disebut sebagai vektor eigen dari $A$, jika $A \textbf{x}$ merupakan kelipatan skalar dari $\textbf{x}$, yaitu$$A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}$$untuk suatu skalar $\lambda$. Skalar $\lambda$ disebut nilai eigen matriks $A$ dan $\textbf{x}$ disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$.

Vektor $\textbf{x}$ disyaratkan bukan vektor nol untuk menghindari kasus $A \textbf{0} = \lambda \textbf{0}$, yang dipenuhi oleh setiap matriks $A$ dan skalar $\lambda$.

Selain definisi nilai eigen dan vektor eigen, kita juga perlu mengetahui teorema berikut.

Teorema

Misalkan $A$ adalah matriks dengan ordo $n \times n$, dan $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$. Jika $A \textbf{x} = \textbf{0}$ mempunyai solusi non trivial maka $\text{det}(A)=0$.

Bukti

Misalkan $A$ matriks berukuran $n \times n$, dan $\textbf{x} \in \mathbb{R}^n$. Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontraposisi. Kontraposisi teorema ini adalah "Jika $\text{det}(A) \neq 0$ maka $A \textbf{x} = \textbf{0}$ hanya mempunyai solusi trivial".

Diketahui $\text{det}(A) \neq 0$, yang berakibat $A$ mempunyai invers. Kalikan kedua ruas persamaan $A \textbf{x} = \textbf{0}$ dari kiri dengan $A^{-1}$, sehingga$$\begin{aligned}A^{-1}(A \textbf{x}) &= A^{-1} \textbf{0} \\(A^{-1} A) \textbf{x} &= \textbf{0} \\I \textbf{x} &= \textbf{0} \\\textbf{x} &= \textbf{0}\end{aligned}$$Diperoleh $\textbf{x}=\textbf{0}$, artinya persamaan $A \textbf{x} = \textbf{0}$ hanya mempunyai solusi trivial.Terbukti.

Sebelum membahas prosedur dalam menentukan nilai eigen, kita akan membahas sebuah contoh pada matriks $2 \times 2$.

Contoh

Misalkan $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}$. Vektor $\textbf{x}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ merupakan vektor eigen dari $A$, karena terdapat skalar $\lambda = -1$ sehingga$$\begin{aligned}A \textbf{x} &= \begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} \\&= (-1) \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \\&= \lambda \textbf{x}\end{aligned}$$

Menentukan Nilai Eigen Matriks

Selanjutnya, kita akan membahas prosedur dalam menentukan nilai eigen suatu matriks. Kita mulai dari persamaan$$A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}$$Vektor $\textbf{x}$ dapat ditulis sebagai $I\textbf{x}$, dengan $I$ matriks identitas $n \times n$, sehingga$$\begin{aligned}A \textbf{x} &= \lambda I \textbf{x} \\A \textbf{x}-\lambda I \textbf{x}&= \textbf{0} \\(A-\lambda I) \textbf{x} &= \textbf{0}\end{aligned}$$

Agar $\lambda$ menjadi nilai eigen matriks $A$, persamaan di atas harus memiliki solusi non trivial (solusi selain $\textbf{x} = \textbf{0}$). Berdasarkan Teorema di atas, hal ini terjadi jika $\text{det}(A-\lambda I)=0$.

Dengan menguraikan $\text{det}(A-\lambda I)$, kita akan memperoleh polinomial berderajat $n$. Polinomial ini disebut polinomial karakteristik. Akar-akar polinomial karakteristik, atau dengan kata lain, solusi $\text{det}(A-\lambda I)=0$ merupakan nilai eigen matriks $A$. Polinomial berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ akar berbeda, sehingga matriks $n \times n$ memiliki paling banyak $n$ nilai eigen berbeda.

Setelah mengetahui prosedur dalam menentukan nilai eigen, kita beralih ke contoh soal. Kita mulai dengan menentukan nilai eigen matriks $2 \times 2$.

Contoh

Tentukan nilai eigen matriks $A=\begin{bmatrix} -1&4\\ 1&2 \end{bmatrix}$.

Pembahasan

Kurangi entri pada diagonal matriks $A$ dengan $\lambda$ untuk memperoleh$$A-\lambda I=\begin{bmatrix} -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix}$$Selanjutnya, kita tentukan determinan matriks di atas.$$\begin{aligned}\begin{vmatrix} -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} &= (-1-\lambda)(2-\lambda)-4 \cdot 1 \\&= (\lambda^2-\lambda-2)-4 \\&= \lambda^2-\lambda-6 \\&= (\lambda-3)(\lambda+2)\end{aligned}$$

Nilai eigen diperoleh jika determinan $(\lambda-3)(\lambda+2)$ bernilai 0. Dari $\lambda-3=0$ dan $\lambda+2=0$ secara berturut-turut diperoleh $\lambda=3$ dan $\lambda=-2$.Jadi, nilai eigen matriks $A$ adalah $\lambda=3$ dan $\lambda=-2$.

Berikutnya, kita akan membahas contoh penentuan nilai eigen pada matriks $3 \times 3$.

Contoh

Tentukan nilai eigen matriks $B=\begin{bmatrix} 0&0&-2\\ 1&2&1\\ 1&0&3 \end{bmatrix}$.

Pembahasan

Kurangi entri pada diagonal matriks $B$ dengan $\lambda$ untuk memperoleh$$B-\lambda I=\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}$$

Selanjutnya, kita tentukan determinan matriks di atas. Nilai determinan matriks $3 \times 3$ dapat dihitung menggunakan beberapa cara, seperti metode sarrus dan ekspansi kofaktor. Dalam tulisan ini, kita menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua untuk memperoleh$$\begin{aligned}\begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} &= (2-\lambda) \left| \begin{array}{cc} -\lambda&-2\\ 1&3-\lambda \end{array} \right| \\&= (2-\lambda)[-\lambda(3-\lambda)-1(-2)] \\&= (2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+2) \\&= (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1)\end{aligned}$$

Nilai eigen diperoleh jika determinan $(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1)$ bernilai 0. Ini terjadi jika $\lambda=2$ atau $\lambda=1$.Jadi, nilai eigen matriks $B$ adalah $\lambda=3$ dan $\lambda=-2$.