Menentukan Nilai Eigen Matriks

Menentukan nilai eigen matriks

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan nilai eigen suatu matriks. Sebelum itu, kita perlu memahami definisi nilai eigen.

DEFINISI
Misalkan A matriks berukuran n \times n. Vektor tak nol x di \mathbb{R}^n disebut sebagai vektor eigen dari A, jika A \textbf{x} merupakan kelipatan skalar dari \textbf{x}, yaitu

    \[A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}\]

untuk suatu skalar \lambda. Skalar \lambda disebut nilai eigen matriks A dan \textbf{x} disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan \lambda.

Vektor \textbf{x} disyaratkan bukan vektor nol untuk menghindari kasus A \textbf{0} = \lambda \textbf{0}, yang dipenuhi oleh setiap matriks A dan skalar \lambda.

Selain definisi nilai eigen dan vektor eigen, kita juga perlu mengetahui teorema berikut.

Teorema 1
Misalkan A adalah matriks dengan ordo n \times n, dan \textbf{x} \in \mathbb{R}^n. Jika A \textbf{x} = \textbf{0} mempunyai solusi non trivial maka \text{det}(A)=0.
Bukti
Misalkan A matriks berukuran n \times n, dan \textbf{x} \in \mathbb{R}^n. Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontraposisi. Kontraposisi teorema ini adalah “Jika \text{det}(A) \neq 0 maka A \textbf{x} = \textbf{0} hanya mempunyai solusi trivial”.

Diketahui \text{det}(A) \neq 0, yang berakibat A mempunyai invers. Kalikan kedua ruas persamaan A \textbf{x} = \textbf{0} dari kiri dengan A^{-1}, sehingga

    \begin{align*} A^{-1}(A \textbf{x}) &= A^{-1} \textbf{0} \\ (A^{-1} A) \textbf{x} &= \textbf{0} \\ I \textbf{x} &= \textbf{0} \\ \textbf{x} &= \textbf{0} \end{align*}

Diperoleh \textbf{x}=\textbf{0}, artinya persamaan A \textbf{x} = \textbf{0} hanya mempunyai solusi trivial.
Terbukti.

Sebelum membahas prosedur dalam menentukan nilai eigen, kita akan membahas sebuah contoh pada matriks 2 \times 2.

Contoh

Misalkan A=\begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix}. Vektor \textbf{x}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} merupakan vektor eigen dari A, karena terdapat skalar \lambda = -1 sehingga

    \begin{align*} A \textbf{x} &= \begin{bmatrix}1&2\\3&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} \\ &= (-1) \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \\ &= \lambda \textbf{x} \end{align*}

Menentukan Nilai Eigen Matriks

Selanjutnya, kita akan membahas prosedur dalam menentukan nilai eigen suatu matriks. Kita mulai dari persamaan

    \[A \textbf{x} = \lambda \textbf{x}\]

Vektor \textbf{x} dapat ditulis sebagai I\textbf{x}, dengan I matriks identitas n \times n, sehingga

    \begin{align*} A \textbf{x} &= \lambda I \textbf{x} \\ A \textbf{x}-\lambda I \textbf{x}&= \textbf{0} \\ (A-\lambda I) \textbf{x} &= \textbf{0} \end{align*}

Agar \lambda menjadi nilai eigen matriks A, persamaan di atas harus memiliki solusi non trivial (solusi selain \textbf{x} = \textbf{0}). Berdasarkan Teorema 1, hal ini terjadi jika \text{det}(A-\lambda I)=0.

Dengan menguraikan \text{det}(A-\lambda I), kita akan memperoleh polinomial berderajat n. Polinomial ini disebut polinomial karakteristik. Akar-akar polinomial karakteristik, atau dengan kata lain, solusi \text{det}(A-\lambda I)=0 merupakan nilai eigen matriks A. Polinomial berderajat n memiliki paling banyak n akar berbeda, sehingga matriks n \times n memiliki paling banyak n nilai eigen berbeda.

Setelah mengetahui prosedur dalam menentukan nilai eigen, kita beralih ke contoh soal. Kita mulai dengan menentukan nilai eigen matriks 2 \times 2.

Contoh

Tentukan nilai eigen matriks A=\begin{bmatrix} -1&4\\ 1&2 \end{bmatrix}.

PEMBAHASAN
Kurangi entri pada diagonal matriks A dengan \lambda untuk memperoleh

    \[A-\lambda I=\begin{bmatrix} -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix}\]

Selanjutnya, kita tentukan determinan matriks di atas.

    \begin{align*} \begin{vmatrix} -1-\lambda & 4 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} &= (-1-\lambda)(2-\lambda)-4 \cdot 1 \\ &= (\lambda^2-\lambda-2)-4 \\ &= \lambda^2-\lambda-6 \\ &= (\lambda-3)(\lambda+2) \end{align*}

Nilai eigen diperoleh jika determinan (\lambda-3)(\lambda+2) bernilai 0. Dari \lambda-3=0 dan \lambda+2=0 secara berturut-turut diperoleh \lambda=3 dan \lambda=-2.
Jadi, nilai eigen matriks A adalah \lambda=3 dan \lambda=-2.

Berikutnya, kita akan membahas contoh penentuan nilai eigen pada matriks 3 \times 3.

Contoh

Tentukan nilai eigen matriks B=\begin{bmatrix} 0&0&-2\\ 1&2&1\\ 1&0&3 \end{bmatrix}.

PEMBAHASAN
Kurangi entri pada diagonal matriks B dengan \lambda untuk memperoleh

    \[B-\lambda I=\begin{bmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{bmatrix}\]

Selanjutnya, kita tentukan determinan matriks di atas. Nilai determinan matriks 3 \times 3 dapat dihitung menggunakan beberapa cara, seperti metode sarrus dan ekspansi kofaktor. Dalam tulisan ini, kita menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua untuk memperoleh

    \begin{align*} \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} &= (2-\lambda) \left| \begin{array}{cc} -\lambda&-2\\ 1&3-\lambda \end{array} \right| \\ &= (2-\lambda)[-\lambda(3-\lambda)-1(-2)] \\ &= (2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+2) \\ &= (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1) \end{align*}

Nilai eigen diperoleh jika determinan (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-1) bernilai 0. Ini terjadi jika \lambda=2 atau \lambda=1.
Jadi, nilai eigen matriks B adalah \lambda=3 dan \lambda=-2.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *