Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer

Ada beberapa metode yang sering digunakan dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear, yaitu metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (eliminasi-substitusi). Dalam artikel ini akan diperkenalkan metode lain, yaitu dengan menggunakan operasi baris elementer.

Sebelum masuk ke pembahasan, kita perlu mengetahui istilah matriks yang diperbesar, atau dalam bahasa inggris disebut Augmented Matrix. Matriks yang diperbesar merupakan suatu matriks yang berisi koefisien dan konstanta dari suatu sistem persamaan. Tetapi dalam hal ini, kita perlu mengingat posisi variabel-variabel yang koefisiennya ditulis dalam bentuk matriks. Begitupun letak konstantanya. Misalnya dalam suatu sistem persamaan terdapat 3 buah variabel (x, y, dan z), maka kita perlu menentukan kolom mana yang akan ditempati oleh koefisien variabel tersebut, misalnya kolom pertama untuk koefisien x, kolom kedua untuk koefisien y, kolom ketiga untuk koefisien z, dan kolom terakhir untuk konstanta.

CONTOH 1
x + 2y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

Dalam penulisan matriks yang diperbesar, kita tentukan kolom pertama sebagai tempat koefisien x, kolom kedua sebagai tempat koefisien y, kolom ketiga sebagai tempat koefisien z, dan kolom terakhir sebagai tempat konstanta. Jadi matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 9\\ 2 & 4 & -3 & 1\\ 3 & 6 & -5 & 0\end{array} \right] \end{align*}

CONTOH 2
2a + 2c = 1
3a – b +4c = 7
6a + b – 2c = 3

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 4 & 7\\ 6 & 1 & -2 & 3\end{array} \right] \end{align*}

Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kita mencari sistem persamaan lain yang berpadanan, tetapi lebih mudah dicari solusinya (lebih sederhana). Dua sistem yang berpadanan memiliki solusi yang sama. Untuk mendapatkan sistem persamaan tersebut, kita dapat menggunakan tiga operasi aljabar berikut.

  1. Mengalikan persamaan dengan suatu konstanta tak nol.
  2. Menukar posisi dua persamaan.
  3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan dengan persamaan lainnya.

Kata persamaan dalam operasi di atas bersesuaian dengan kata baris dalam sebuah matriks yang dperbesar. Dengan mengganti kata persamaan dengan kata baris, kita memperoleh operasi baris elementer, yaitu

  1. Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.
  2. Menukar posisi dua baris.
  3. Menambahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya.

Berikut ini contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan operasi baris elementer.

CONTOH
Tentukan solusi sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan operasi baris elementer.
x + 2y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0

SOLUSI
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 9\\ 2 & 4 & -3 & 1\\ 3 & 6 & -5 & 0\end{array} \right] \end{align*}

Tambahkan (-2) kali baris pertama ke baris kedua, dan tambahkan (-3) kali baris pertama ke baris ketiga, diperoleh

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 9\\ 0 & 2 & -7 & -17\\ 0 & 3 & -11 & -27\end{array} \right] \end{align*}

Kalikan baris kedua dengan \frac{1}{2}, diperoleh

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 9\\ 0 & 1 & -\frac{7}{2} & -\frac{17}{2}\\ 0 & 3 & -11 & -27\end{array} \right] \end{align*}

Tambahkan (-1) kali baris kedua ke baris pertama, dan (-3) kali baris kedua ke baris ketiga

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{35}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{7}{2} & -\frac{17}{2}\\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\end{array} \right] \end{align*}

Kalikan baris ketiga dengan (-2)

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{35}{2}\\ 0 & 1 & -\frac{7}{2} & -\frac{17}{2}\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}

Tambahkan -\frac{11}{2} kali baris ketiga ke baris pertama, dan tambahkan \frac{7}{2} kali baris ketiga ke baris kedua.

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}

Jadi, solusi sistem persamaan di atas adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Semoga bermanfaat. 🙂

1 thought on “Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Operasi Baris Elementer”

  1. Pingback: Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika 2018 Aljabar Linear (Isian)

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *