Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Menyusun persamaan kuadrat baru
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

CONTOH
Diketahui persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\) dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Bentuklah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.
3. \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).
4. \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

SOLUSI
1. dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = x_1 +2\) dan \(\beta = x_2 +2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= (x_1 +2) + (x_2 +2) \\
&= (x_1 + x_2) +4 \\
&= 1 + 4 \\
&= 5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= (x_1 +2) \cdot (x_2 +2) \\
&= x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4 \\
&= 3+2 \cdot 1 +4 \\
&= 9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 -5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x+2\) yang berakibat \(x=y-2\). Substitusi \(x=y-2\) ke persamaan kuadrat yang lama

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(y-2)^2 -(y-2)+3 &= 0 \\
(y^2 -4y+4) -(y-2)+3 &= 0 \\
y^2 -5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 -5y+9=0\)

2. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\)

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = {x_1}^2\) dan \(\beta = {x_2}^2\)

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= {x_1}^2 + {x_2}^2 \\
&= (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 \\
&= 1^2 – 2 \cdot 3 \\
&= -5
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 \\
&= (x_1 \cdot x_2)^2 \\
&= 3^2 \\
&=9
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 +5x+9=0\)

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 -x+3=0\). Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=x^2\) yang berakibat \(x= \sqrt{y}\). Substitusi \(x= \sqrt{y}\) ke persamaan kuadrat yang lama.

\begin{align*}
x^2 -x+3 &= 0 \\
(\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3 &= 0 \\
y – \sqrt{y} +3 &= 0 \\
y+3 &= \sqrt{y}
\end{align*}

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh
\begin{align*}
(y+3)^2 &= (\sqrt{y})^2 \\
y^2 +6y+9 &= y \\
y^2 +5y+9 &= 0
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(y^2 +5y+9=0\).

3. akar-akarnya \(\frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\frac{1}{x_2 -2}\).

CARA 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{1}{x_1 -2}\) dan \(\beta = \frac{1}{x_2 -2}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2} \\
&=\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)} \\
&= \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&= – \frac{3}{5}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta &= \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2} \\
&= \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\
&= \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4} \\
&=\frac{1}{5}
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0\).

CARA 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.
Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan \(y=\frac{1}{x-2}\) atau \(x= \frac{1}{y} +2\). Substitusi \(x= \frac{1}{y} +2\) ke persamaan kuadrat yang lama.
\begin{align*}
\left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) – \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\
\frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5 &= 0
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(y^2\), sehingga diperoleh \(5y^2 +3y +1=0\)
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(5y^2 +3y +1=0\).

4. akar-akarnya \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}\).

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 = 1 \\
x_1 \cdot x_2 = 3
\end{align*}

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\alpha\) dan \(\beta\), dengan \(\alpha = \frac{x_1}{x_2}\) dan \(\beta = \frac{x_2}{x_1}\).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah
\begin{align*}
\alpha + \beta &= \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \\
&= \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{(x_1 + x_2)^2 – 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} \\
&= \frac{1^2 – 2 \cdot 3}{3} \\
&= – \frac{5}{3}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
\alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\end{align*}

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0\).

Menentukan Turunan Fungsi dengan Menggunakan Definisi Turunan

Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan
Pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), kita telah mempelajari cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan beberapa teorema. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara lain dalam menentukan turunan suatu fungsi, yaitu menggunakan definisi turunan fungsi. Cara ini terbilang lebih rumit dibanding menggunakan teorema. Akan tetapi, jika kita memang tertarik dengan matematika, apalagi jika kuliah di jurusan matematika, kita perlu menguasai cara ini sebelum menentukan turunan fungsi menggunakan teorema.

DEFINISI
Turunan fungsi \(f\) yang dinotasikan sebagai \(f’\), merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

CONTOH 1
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)=x^2\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2 + h^2 + 2hx) – x^2}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h^2 + 2hx}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(h + 2x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} h + 2x \\
&= 2x
\end{align*}

CONTOH 2
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{1}{x^2 + 1}\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} – \frac{1}{x^2 + 1}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) – [x^2+h^2+2hx+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h(-h-2x)}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{-h-2x}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-0-2x}{[(x+0)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\
&= \frac{-2x}{(x^2+1)\cdot(x^2+1)} \\
&= -\frac{2x}{(x^2+1)^2}
\end{align*}

Dari dua contoh di atas, terlihat bahwa kita selalu dihadapkan pada limit hasil bagi, dengan pembilang dan penyebut sama-sama menuju nol. Tugas kita adalah melakukan penyederhanan, sehingga faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut. Dengan ini, kita dapat menentukan limitnya dengan melakukan substitusi.

CONTOH 3
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \sqrt{x}, \: x \ge 0\)

SOLUSI
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}
\end{align*}

Agar faktor \(h\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut, kita perlu merasionalkan pembilangnya.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{x+h – x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}
\end{align*}

Karena faktor \(h\) sudah dicoret dari pembilang dan penyebut, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

Selain dengan definisi di atas, turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan bentuk ekuivalen definisi di atas. Perhatikan kembali definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}
\end{align*}

Dengan mensubstitusi \(h=t-x\) dan \(x+h=t\) pada persamaan di atas, diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t-x \to 0}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

Selanjutnya, \(t-x\) mendekati 0 artinya nilai \(t\) mendekati nilai \(x\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
f'(x)= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x}
\end{align*}

CONTOH 4
Tentukan turunan pertama dari \(f(x)= \frac{x}{x-5}\)

SOLUSI
Kita akan menentukan turunannya dengan menggunakan bentuk ekuivalen dari definisi turunan.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{f(t) – f(x)}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{\frac{t}{t-5} – \frac{x}{x-5}}{t-x}
\end{align*}

Kita belum dapat melakukan substitusi, karena jika t mendekati x, maka nilai pembilang dan penyebut di atas mendekati 0. Kita harus melakukan penyederhanaan, sehingga faktor \((t-x)\) dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{t(x-5) – x(t-5)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{tx – 5t – tx + 5x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5t + 5x}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5(t – x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\
&= \lim_{t \to x}\frac{- 5}{(t-5)(x-5)}
\end{align*}

Setelah mencoret faktor \((t-x)\), maka nilai limit di atas dapat ditentukan dengan substitusi.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{- 5}{(x-5)(x-5)} \\
&= -\frac{5}{(x-5)^2}
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂

Merentang (Membangun)

Jika \(S=\{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}\) merupakan subset dari suatu ruang vektor V, maka subruang dari V, katakan W, yang direntang oleh S adalah himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor yang ada di S. Ditulis

\begin{align*}
W=span(S)=span \{\vec{v_1} ,\vec{v_2} , … ,\vec{v_n}\}
\end{align*}

Himpunan S dikatakan merentang atau membangun ruang vektor V, jika \(V=span(S)\), dengan kata lain, setiap vektor yang ada di ruang vektor V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Sebagai contoh, himpunan \(S=\{(1,0),(0,1)\}\) merentang \(\mathbb{R}^2\), karena setiap vektor \((a,b)\) yang ada di \(\mathbb{R}^2\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di S, yaitu

\begin{align*}
(a,b)=a(1,0)+b(0,1)
\end{align*}

Himpunan yang merentang suatu ruang vektor tidak bersifat tunggal. Dapat dicek bahwa himpunan \(\{(-1,0),(0,1)\}\) juga merentang \(\mathbb{R}^2\).

Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan.

CONTOH 1
Periksa apakah \(S=\{(1,1,2),(1,0,1),(2,1,3)\}\) merentang ruang vektor \(\mathbb{R}^3\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{v} \in \mathbb{R}^3\). Tulis \(\vec{v} =(a,b,c)\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{v}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

v ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh sebuah sistem persamaan linear

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_1 + k_3 =b \\
2k_1 + k_2 + 3k_3 =c
\end{align*}

Sekarang, kita hanya perlu menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten untuk semua nilai a, b, dan c. Jika sistem persamaan ini konsisten, maka setiap vektor yang ada di \(\mathbb{R}^3\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

Untuk menentukan apakah sistem persamaan ini konsisten, kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan. Jika determinan dari matriks koefisiennya tidak nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten. Sebaliknya, jika determinan matriks koefisiennya bernilai nol, maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan di atas merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S merentang V dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 2\\
1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 3\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 1

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

Alternatif:

Setelah mendapatkan sistem persamaan linear di atas, kita akan menguji apakah sistem persamaan linear tersebut konsisten untuk semua nilai a, b, dan c dengan menentukan solusinya terlebih dahulu.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
1 & 0 & 1 & b\\
2 & 1 & 3 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & -1 & -1 & -a+b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dengan (-1).

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & -1 & -1 & -2a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 2 & a\\
0 & 1 & 1 & a-b\\
0 & 0 & 0 & -a-b+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1 + k_2 + 2k_3 =a \\
k_2 + k_3 =a-b \\
-a-b+c=0
\end{align*}

Sistem persamaan ini mempunyai solusi hanya jika \(-a-b+c=0\). Dengan demikian, sistem persamaan linear ini tidak konsisten untuk semua nilai a, b, dan c.
Dengan demikian, himpunan S tidak merentang \(\mathbb{R}^3\).

CONTOH 2
Diketahui \(\vec{p_1}=1+x+x^2\), \(\vec{p_2}= 1+x^2\), dan \(\vec{p_3}= 1+2x\).
Periksa apakah \(S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}\) merentang \(P_2\).

PEMBAHASAN
Ambil sebarang \(\vec{p} \in P_2\). Tulis \(\vec{p} = a +bx+cx^2\), untuk suatu \(a,b,c \in \mathbb{R}\).

Kita harus menentukan apakah \(\vec{p}\) dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di himpunan S.

p ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_1+2k_3 =b \\
k_1+k_2 =c
\end{align*}

Karena matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat menggunakan determinan untuk mengetahui apakah sistem persamaan linear ini konsisten.
Matriks koefisiennya adalah

\begin{align*}
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
1 & 1 & 0\end{array}
\right]
\end{align*}

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

determinan matriks A contoh 2

Karena nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut konsisten, yang berakibat himpunan S merentang \(P_2\).

Alternatif:

Setelah memperoleh sistem persamaan linear di atas, kita tentukan solusinya menggunakan eliminasi Gauss. Kita ubah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut menjadi bentuk eselon baris.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
1 & 0 & 2 & b\\
1 & 1 & 0 & c\end{array}
\right]
\end{align*}

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & -1 & 1 & -a+b\\
0 & 0 & -1 & -a+c\end{array}
\right]
\end{align*}

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

\begin{align*}
\left[
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & -1 & a-b\\
0 & 0 & 1 & a-c\end{array}
\right]
\end{align*}

Diperoleh

\begin{align*}
k_1+k_2+k_3 =a \\
k_2 – k_3 =a-b \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Dengan substitusi balik, diperoleh

\begin{align*}
k_1 =-2a +b+2c \\
k_2 =2a-b-c \\
k_3 =a-c
\end{align*}

Karena selalu ada solusi, berapapun nilai a, b, dan c, maka sistem persamaan linear ini konsisten. Dengan demikian, himpunan S merentang \(P_2\).