Pangkat dari Bilangan Imajiner

Hasil perpangkatan bilangan kompleks terhadap suatu bilangan bulat dapat ditentukan dengan memanfaatkan operasi perkalian pada pilangan kompleks. Misalkan z merupakan sebuah bilangan kompleks dengan bentuk aljabar x+iy. z^3 dan z^{-2} secara berturut-turut dapat ditulis sebagai z \cdot z \cdot z dan dan z^{-1} \cdot z^{-1}. Namun, sesuai judul tulisan ini, kita tidak akan membahas pangkat dari bilangan kompleks secara umum. Pembahasan dalam tulisan ini akan dibatasi pada pangkat bilangan imajiner.

Untuk x=0 dan y=1 diperoleh z=i. Berdasarkan operasi perkalian pada bilangan kompleks, diperoleh

    \begin{align*} i^0&=1 \\ i^1&=i \\ i^2&=i \cdot i = -1 \\ i^3&=i^2 \cdot i = -1 \cdot i =-i \\ i^4&=i^3 \cdot i = -i \cdot i =-i^2=1 \\ i^5&=i^4 \cdot i = 1 \cdot i =i \\ i^6&=i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) =-1 \\ i^7&=i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) =-i \\ i^8&=i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 =1 \end{align*}

Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa untuk bilangan bulat positif n,

    \begin{align*} &i^{4n}=1 \\ &i^{4n+1}=i \\ &i^{4n+2}=-1 \\ &i^{4n+3}=-i \end{align*}

Kita akan membuktikan proposisi di atas dengan induksi matematika.

i^{4n}=1, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa i^{4n}=1.
LANGKAH DASAR
P(1) bernilai benar, karena i^{4 \cdot 1}=i^4=1.

LANGKAH INDUKSI
Asumsikan P(k) bernilai benar, yaitu i^{4k}=1. Akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga bernilai benar. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} i^{4(k+1)} &= i^{4k+4} \\ &= i^{4k} \cdot i^4 \\ &= 1 \cdot 1 \quad \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\ &= 1 \end{align*}

Diperoleh, P(k+1) juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
Terbukti.

i^{4n+1}=i, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa i^{4n+1}=i.
LANGKAH DASAR
P(1) bernilai benar, karena i^{4 \cdot 1 + 1}=i^5=i.

LANGKAH INDUKSI
Asumsikan P(k) bernilai benar, yaitu i^{4k+1}=i. Akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga bernilai benar. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} i^{4(k+1)+1} &= i^{4k+4+1} \\ &= i^{4k+5} \\ &= i^{4k} \cdot i^5 \\ &= 1 \cdot i \quad \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\ &= i \end{align*}

Diperoleh, P(k+1) juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
Terbukti.

i^{4n+2}=-1, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa i^{4n+2}=-1.
LANGKAH DASAR
P(1) bernilai benar, karena i^{4 \cdot 1 + 2}=i^6=-1.

LANGKAH INDUKSI
Asumsikan P(k) bernilai benar, yaitu i^{4k+2}=-1. Akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga bernilai benar. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} i^{4(k+1)+2} &= i^{4k+4+2} \\ &= i^{4k+6} \\ &= i^{4k} \cdot i^6 \\ &= 1 \cdot (-1) \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\ &= -1 \end{align*}

Diperoleh, P(k+1) juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
Terbukti.

i^{4n+3}=-i, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}

Misalkan P(n) adalah pernyataan bahwa i^{4n+3}=-i.
LANGKAH DASAR
P(1) bernilai benar, karena i^{4 \cdot 1 + 3}=i^7=-i.

LANGKAH INDUKSI
Asumsikan P(k) bernilai benar, yaitu i^{4k+3}=-i. Akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga bernilai benar. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} i^{4(k+1)+3} &= i^{4k+4+3} \\ &= i^{4k+7} \\ &= i^{4k} \cdot i^7 \\ &= 1 \cdot (-i) \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\ &= -i \end{align*}

Diperoleh, P(k+1) juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.
Terbukti.

Sampai di sini, kita telah mendapatkan hasil apabila i dipangkatkan dengan 0 dan bilangan bulat positif. Namun, bagaimana jika pangkatnya merupakan bilangan bulat negatif? Jika n merupakan bilangan bulat negatif, maka

    \begin{align*} i^n &= \left( i^{-1} \right)^{-n} \\ &= \left( \frac{1}{i} \right)^{-n} \\ &= \left( \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \right)^{-n} \\ &= \left( \frac{i}{-1} \right)^{-n} \\ &= \left( -i \right)^{-n} \end{align*}

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh Soal

Tentukan bentuk paling sederhana dari

  1. i^{2018}
  2. \left( 2i \right)^{-2018}
  3. i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34}
Pembahasan

Nomor 1
Pangkat dari i merupakan bilangan bulat positif, dengan 2018=4 \cdot 504 + 2. Berdasarkan rumus yang telah kita buktikan, diperoleh

    \[i^{2018}=i^{4 \cdot 504 + 2}=-1\]

Nomor 2
Pangkat dari 2i merupakan bilangan bulat negatif.

    \begin{align*} \left( 2i \right)^{-2018} &= 2^{2018} \cdot i^{-2018} \\ &= 2^{2018} \cdot (-i)^{2018} \\ &= 2^{2018} \cdot (-1)^{2018} \cdot i^{2018} \\ &= 2^{2018} \cdot 1 \cdot (-1) \\ &= -2^{2018} \end{align*}

Nomor 3

    \begin{align*} i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34} &= i^{4 \cdot 26 + 1} + i^{4 \cdot 5 + 3} + i^{4 \cdot 5}-i^{4 \cdot 8 + 2} \\ &= i + (-i) + 1-(-1) \\ &= 2 \end{align*}

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.