Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2006 Kombinatorika (Isian)

Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal Kombinatorika dalam ON MIPA-PT Matematika Tahun 2006. Soal Kombinatorika terdiri dari delapan soal isian singkat dan tiga soal uraian. Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal isian singkat.

INFORMASI
Pembahasan soal uraian kombinatorika telah tersedia. Silakan kunjungi link berikut.
Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2006 Kombinatorika (Uraian)
Nomor 1

Hitung \binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n}=\cdots

PEMBAHASAN
Misalkan

    \[S=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+(n-1)\binom{n}{n-1}+n\binom{n}{n} \quad\cdots(1)\]

Ingat bahwa \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}, sehingga persamaan (1) menjadi

    \[S=\binom{n}{n-1}+2\binom{n}{n-2}+3\binom{n}{n-3}+\cdots+(n-1)\binom{n}{1}+n\binom{n}{0} \quad\cdots(2)\]

Jumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2), sehingga diperoleh

    \begin{align*} 2S &= n\binom{n}{0}+n\binom{n}{1}+n\binom{n}{2}+\cdots+n\binom{n}{n-1}+n\binom{n}{n} \\ &= n \left[ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n} \right] \end{align*}

Berdasarkan teorema binomial, diperoleh

    \begin{align*} 2S &= n\cdot(1+1)^n \\ 2S &= n\cdot2^n \\ S &= n\cdot2^{n-1} \end{align*}

Nomor 2

Tentukan banyaknya bilangan bulat 7 digit yang disusun dari angka 2, 2, 3, 4, 4, 4, 0.

PEMBAHASAN
Banyaknya susunan tujuh angka pada soal, dapat dihitung menggunakan permutasi dengan unsur berulang, yaitu

    \[\frac{7!}{2!1!3!1!}\]

Namun, dalam susunan tujuh angka di atas, angka 0 boleh menempati posisi pertama. Padahal, jika 0 berada pada posisi pertama, susunan tujuh angka tersebut membentuk bilangan bulat enam digit.
Banyaknya susunan tujuh angka dengan angka pertama 0 adalah

    \[\frac{6!}{2!1!3!}\]

Jadi, banyaknya bilangan bulat tujuh digit yang dapat terbentuk adalah

    \begin{align*} \frac{7!}{2!1!3!1!}-\frac{6!}{2!1!3!} &= \frac{7\cdot6!}{2!3!}-\frac{6!}{2!3!} \\ &= 6\cdot\frac{6!}{2!3!} \\ &= 6\cdot60 \\ &= 360 \end{align*}

Nomor 3

Tentukan solusi dari a_n=2a_{n-1}+3^n dengan a_1=5.

PEMBAHASAN

Relasi rekursif pada soal merupakan relasi rekursif non homogen. Untuk menyelesaikan relasi ini, kita perlu menentukan solusi relasi rekursif homogen yang bersesuian, yaitu a_n^{(h)}. Kemudian, kita menentukan solusi partikularnya, yaitu a_n^{(p)}. Nah, solusi relasi rekursif non homogen merupakan jumlah dari kedua solusi tersebut, yaitu a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}

Pertama, kita akan menentukan solusi homogen. Relasi rekursif homogen yang bersesuaian adalah a_n-2a_{n-1}=0, yang mempunyai solusi a_n^{(h)}=c\cdot2^n.
Selanjutnya, kita akan menentukan solusi partikular. Diketahui f(n)=3^n, sehingga solusi a_n{(p)} yang kita cari berbentuk A\cdot3^n. Substitusi a_n{(p)}=A\cdot3^n pada relasi rekursif non homogen.

    \[A \cdot 3^n = 2 \cdot A \cdot 3^{n-1}+3^n\]

Bagi kedua ruas dengan 3^{n-1}, sehingga

    \[A \cdot 3 = 2 \cdot A+3 \Rightarrow A=3\]

Diperoleh A=3, sehingga a_n^{(p)}=3\cdot3^n=3^{n+1}.

Solusi relasi rekursif non homogen adalah

    \[a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}=c \cdot 2^n+3^{n+1}\]

Terakhir, kita perlu menentukan nilai c. Diketahui a_1=5, sehingga

    \begin{align*} a_n &= c \cdot 2^n+3^{n+1} \\ a_1 &= c \cdot 2^1+3^{1+1} \\ 5 &= 2 \cdot c+9 \\ 2 \cdot c &= -4 \\ c &= -2 \end{align*}

Jadi, solusi relasi rekursif non homogen tersebut adalah

    \[a_n = -2 \cdot 2^n+3^{n+1} = -2^{n+1}+3^{n+1}\]

Nomor 4

Berapa banyaknya permutasi dari huruf-huruf ABCDEFG yang memuat string BA dan GF.

PEMBAHASAN
Banyaknya permutasi huruf-huruf ABCDEFG yang memuat string BA dan GF sama dengan banyaknya permutasi 5 objek berbeda (BA, GF, C, D, dan E), yaitu 5!.

Nomor 5

Saudara memilih 7 bilangan (tanpa pengembalian) dari himpunan \{1,2,3,\cdots,14,15\}. Berapa peluang bahwa jumlah dari 7 bilangan yang terpilih tadi genap?

PEMBAHASAN
Misalkan A adalah kejadian terambilnya tujuh bilangan dari himpunan \{1,2,3,\cdots,14,15\} dengan jumlah genap. Pada himpunan tersebut, terdapat delapan bilangan ganjil dan tujuh bilangan genap.

Agar jumlah ketujuh bilangan tersebut genap, maka di antara tujuh bilangan tersebut harus ada sebanyak genap bilangan ganjil. Sehingga banyaknya bilangan ganjil yang mungkin adalah 0, 2, 4, atau 6.

Kasus I: Terdapat tujuh bilangan genap. Banyaknya cara hal ini dapat terjadi adalah \binom{8}{0}\binom{7}{7}=1.
Kasus II: Terdapat dua bilangan ganjil dan lima bilangan genap. Banyaknya cara hal ini dapat terjadi adalah \binom{8}{2}\binom{7}{5}=588.
Kasus III: Terdapat empat bilangan ganjil dan tiga bilangan genap. Banyaknya cara hal ini dapat terjadi adalah \binom{8}{4}\binom{7}{3}=2450.
Kasus IV: Terdapat enam bilangan ganjil dan satu bilangan genap. Banyaknya cara hal ini dapat terjadi adalah \binom{8}{6}\binom{7}{1}=196.

Dengan demikian,

    \[n(A)=1+588+2450+196=3235\]

Adapun n(S) pada masalah ini adalah \binom{15}{7}=6435, sehingga

    \[P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3235}{6435}\]

Nomor 6

Berapa banyak solusi bilangan bulat dari persamaan x_1+x_2+x_3 = 20 dengan 2 < x_1 < 6, 6 < x_2 < 10, dan 0 < x_3 < 5.

PEMBAHASAN
Nilai maksimum x_1, x_2, dan x_3 secara berturut-turut adalah 5, 9, dan 4. Karena 5+9+4=18 < 20, maka banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut adalah 0 (persamaan tersebut tidak mempunyai solusi).

Nomor 7

Kartu bridge dengan 52 kartu dibagi kepada 4 orang pemain sehingga masing-masing pemain menerima 13 kartu. Banyaknya cara yang dapat dilakukan….

PEMBAHASAN
Misalkan keempat pemain tersebut adalah A, B, C, dan D. Notasi ACDB… menyatakan kartu pertama diterima oleh A, kartu kedua oleh C, dan seterusnya. Dengan demikian, masalah pada soal ini dapat dipandang sebagai banyaknya susunan 52 huruf dalam satu baris, yang terdiri dari masing-masing 13 huruf A, B, C, dan D.

Banyaknya susunan huruf yang mungkin dapat dihitung menggunakan permutasi dengan unsur berulang, yaitu

    \[\frac{52!}{13!13!13!13!}\]

Nomor 8

Berikan koefisien dari x^{80} dalam ekspansi \left( x-\frac{1}{x} \right)^{100}.

PEMBAHASAN
Kita akan menentukan koefisien dari x^{80} dalam ekspansi \left( x-\frac{1}{x} \right)^{100}.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} \left( x-\frac{1}{x} \right)^{100} &= \left( \frac{x^2-1}{x} \right)^{100} \\ &= \frac{\left( x^2-1 \right) ^{100}}{x^{100}} \end{align*}

Sehingga koefisien x^{80} dalam ekspansi semula sama dengan koefisien x^{180} dalam ekspansi (x^2-1)^{100}.
Berdasarkan teorema binomial, suku yang memuat x^{180} pada (x^2-1)^{100} adalah

    \[\binom{100}{90}(x^2)^{90}(-1)^{10}=\binom{100}{90}x^{180}\]

Akibatnya, koefisien x^{180} pada (x^2-1)^{100} adalah \binom{100}{90}.
Jadi, koefisien x^{80} dalam ekspansi \left( x-\frac{1}{x} \right)^{100} adalah \binom{100}{90}.

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau anda punya solusi yang berbeda, silakan beritahu melalui komentar. 🙂

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.