Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2017 Aljabar Linear (Isian Singkat)

Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal Aljabar Linear dalam ON MIPA-PT Matematika Tahun 2017. Soal aljabar linear terdiri dari 8 soal isian singkat dan 3 soal uraian. Kita hanya akan membahas soal isian singkat. Tiga soal uraian akan dibahas dalam tulisan berikutnya, Insya Allah.

Nomor 1

Misalkan K dan L dua subruang berbeda dari ruang vektor real V. Jika \text{dim}(K)=\text{dim}(L)=4, maka dimensi minimal yang mungkin untuk V adalah…

PEMBAHASAN
Diketahui K dan L merupakan subruang dari V, sehingga berlaku \text{dim}(K) \leq \text{dim}(V) dan \text{dim}(K) \leq \text{dim}(V). Karena \text{dim}(K)=\text{dim}(L)=4, maka 4 \leq \text{dim}(V).

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa \text{dim}(V) \neq 4. Andaikan \text{dim}(V) \neq 4, sehingga \text{dim}(K)=\text{dim}(L)=\text{dim}(V). Subruang K dan L memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor V, maka haruslah K=L=V. Terjadi kontradiksi, karena K dan L adalah dua subruang berbeda.

Jadi, dimensi minimal yang mungkin untuk V adalah 5.

Nomor 2

Misalkan P_2 adalah ruang polinom real berderajat paling tinggi 2. Koordinat x^2 terhadap basis \{ x^2+x,x+1,x^2+1 \} di P_2 adalah…

PEMBAHASAN
Misalkan \vec{p_1}=x^2+x, \vec{p_2}=x+1, dan \vec{p_3}=x^2+1. Akan dicari k_1,k_2,k_3 \in \mathbb{R}, sedemikian sehingga x^2 = k_1\vec{p_1} + k_2\vec{p_2} + k_3\vec{p_3}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} x^2 &= k_1\vec{p_1} + k_2\vec{p_2} + k_3\vec{p_3} \\ &= k_1(x^2+x) + k_2(x+1) + k_3(x^2+1) \\ &= (k_1x^2+k_1x) + (k_2x+k_2) + (k_3x^2+k_3) \\ &= k_1x^2 + k_3x^2 + k_1x + k_2x + k_2 + k_3 \\ &= (k_1+k_3)x^2 + (k_1+k_2)x + (k_2+k_3) \end{align*}

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan

    \begin{align*} k_1+k_3=1 \\ k_1+k_2=0 \\ k_2+k_3=0 \end{align*}

yang mempunyai solusi k_1=k_3=\frac{1}{2}, dan k_2=-\frac{1}{2}.
Jadi, koordinat x^2 terhadap basis \{ \vec{p_1},\vec{p_2},\vec{p_3} \} di P_2 adalah \left(  \frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right).

Nomor 3

Subruang U dan W dari ruang vektor \mathbb{R}^5 masing-masing dibangun oleh \{(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9)\} dan \{(1,3,0,2,1),(1,5,-6,6,3),(2,5,3,2,1)\}. Salah satu basis dari subruang U \cap W adalah…

PEMBAHASAN
Misalkan

    \begin{align*} \vec{u_1}&=(1,3,-2,2,3) \\ \vec{u_2}&=(1,4,-3,4,2) \\ \vec{u_3}&=(2,3,-1,-2,9) \\ \vec{v_1}&=(1,3,0,2,1) \\ \vec{v_2}&=(1,5,-6,6,3) \\ \vec{v_3}&=(2,5,3,2,1) \end{align*}

Sehingga U dan W secara berturut-turut dibangun oleh S=\{\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}\} dan T=\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}. Dapat dicek bahwa \vec{u_3}=5\vec{u_1}-3\vec{u_2} dan \vec{v_2}=5\vec{v_1}-2\vec{v_3}. Berdasarkan Teorema Plus/Minus, S-\vec{u_3} tetap merentang U dan T-\vec{v_2} tetap merentang W. S-\vec{u_3} dan T-\vec{v_2} merupakan himpunan yang bebas linear, sehingga S-\vec{u_3}=\{ \vec{u_1},\vec{u_2} \} merupakan basis dari U dan T-\vec{v_2}=\{ \vec{v_1},\vec{v_3} \} merupakan basis dari W.

Misalkan \vec{x} = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in U \cap W. Terdapat a,b,c,d \in \mathbb{R} sehingga

    \begin{align*} \vec{x} &= \vec{x} \\ a\vec{u_1} + b\vec{u_2} &= c\vec{v_1} + d\vec{v_3} \\ a(1,3,-2,2,3) + b(1,4,-3,4,2) &= c(1,3,0,2,1) + d(2,5,3,2,1)\\ (a+b,3a+4b,-2a-3b,2a+4b,3a+2b) &= (c+2d,3c+5d,3d,2c+2d,c+d) \end{align*}

Perhatikan ruas kanan persamaan di atas. Komponen ketiga selalu habis dibagi tiga, dan komponen keempat merupakan dua kali komponen kelima. Hal serupa harus berlaku pada ruas kiri, yaitu

    \begin{align*} 2a+4b &= 2(3a+2b) \\ 2a+4b &= 6a+4b \\ 4a &= 0 \\ a &=0 \end{align*}

Diperoleh a=0. Komponen ketiga pada ruas kiri, yaitu -2a-3b=-3b juga habis dibagi 3. Akibatnya, \vec{x} dapat ditulis sebagai

    \[\vec{x} = b(1,4,-3,4,2)\]

Jadi, salah satu basis dari subruang U \cap W adalah \{ (1,4,-3,4,2) \}.

Nomor 4

Dengan hasil kali dalam \langle A,B \rangle=\text{tr}(B^tA), A,B \in \mathbb{R}^{2\times2}, \left\{ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&1\\a&0\end{bmatrix} \right\} merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika a=

PEMBAHASAN
Misalkan

    \begin{align*} A &= \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix}1&1\\a&0\end{bmatrix} \Rightarrow B^t=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix} \end{align*}

\{A,B\} merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika \langle A,B \rangle=0. Perhatikan bahwa

(1)   \begin{align*} \langle A,B \rangle &= \text{tr}\left(B^tA\right) \\ 0 &= \text{tr}\left(\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\right) \\ 0 &= \text{tr}\left( \begin{bmatrix}-a&1\\0&1\end{bmatrix} \right) \\ 0 &= -a+1 \\ a &= 1 \end{align**}

Jadi, \left\{ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&1\\a&0\end{bmatrix} \right\} merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika a=1.

Nomor 5

Inti transformasi linier T:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3 dibangun oleh \{(1,2,3,4),(0,1,1,1)\}. Jika T(a,b,c,d)=(a+b-c,x,0), maka x=

PEMBAHASAN
Misalkan x=k_1a+k_2b+k_3c+k_4d.

    \begin{align*} &(1,2,3,4) \in \text{inti}(T) \Rightarrow x=k_1+2k_2+3k_3+4k_4=0 \\ &(0,1,1,1) \in \text{inti}(T) \Rightarrow x=k_2+k_3+k_4=0 \end{align*}

Diperoleh sistem persamaan linear

    \begin{align*} k_1+2k_2+3k_3+4k_4&=0 \\ k_2+k_3+k_4&=0 \end{align*}

Substitusi k_2=-k_3-k_4 ke persamaan (1), sehingga diperoleh k_1=-k_3-2k_4. Dengan memisalkan k_3=m dan k_4=n, diperoleh solusi

    \begin{align*} k_4&=n \\ k_3&=m \\ k_2&=-k_3-k_4=-m-n \\ k_1&=-k_3-2k_4=-m-2n \end{align*}

Dengan mensubstitusi nilai k_1,k_2,k_3,k_4 pada persamaan x=k_1a+k_2b+k_3c+k_4d, diperoleh

    \begin{align*} x&=(-m-2n)a+(-m-n)b+mc+nd \\ &=(-a-b+c)m+(-2a-b+d)n \end{align*}

n tidak boleh bernilai nol. Karena, jika n=0, maka x=(-a-b+c)m. Akibatnya

    \begin{align*} T(a,b,c,d)&=(a+b-c,x,0) \\ &=(a+b-c,(-a-b+c)m,0) \\ &=(a+b-c) \cdot (1,-m,0) \end{align*}

Diperoleh \text{dim}(\text{range}(T))=1. Di lain pihak

    \begin{align*} \text{dim}(\mathbb{R}^4) &= \text{dim}(\text{Inti}(T))+\text{dim}(\text{range}(T)) \\ 4&=2+\text{dim}(\text{range}(T)) \\ \text{dim}(\text{range}(T))&=2 \end{align*}

Terjadi kontradiksi.
Jadi, x=(-a-b+c)m+(-2a-b+d)n, dengan m,n \in \mathbb{R}, \: n\neq0.

Nomor 6

Misalkan A=\begin{bmatrix}0&1\\0&-1\end{bmatrix}. Misalkan T operator linier pada \mathbb{R}^{2\times2} dengan aturan T(X)=AX-XA, \forall X \in \mathbb{R}^{2\times2}. Maka \text{rank}(T)=

PEMBAHASAN
Misalkan X=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}. Kita akan menentukan basis dari range(T). Perhatikan bahwa

    \begin{align*} T(X) &= AX-XA \\ &= \begin{bmatrix}0&1\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\0&-1\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}c&d\\-c&-d\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&a-b\\0&c-d\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}c&-a+b+d\\-c&c\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}c&0\\-c&c\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&-a+b+d\\0&0\end{bmatrix} \\ &= c\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix} + (-a+b+d)\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \end{align*}

Diperoleh \left\{ \begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \right\}, sebagai basis dari range(T). Jadi, \text{rank}(T)=2.

Nomor 7

Matriks \begin{bmatrix}w&1\\-1&3\end{bmatrix} memiliki dua nilai eigen yang sama jika dan hanya jika w \in S. Maka S=

PEMBAHASAN
Misalkan A=\begin{bmatrix}w&1\\-1&3\end{bmatrix}, sehingga

    \begin{align*} \lambda I-A &= \lambda \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}w&1\\-1&3\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\lambda-w&-1\\1&\lambda-3\end{bmatrix} \end{align*}

Nilai eigen matriks A adalah nilai \lambda yang memenuhi |\lambda I-A|=0.

    \begin{align*} \begin{vmatrix}\lambda-w&-1\\1&\lambda-3\end{vmatrix} &= 0 \\ (\lambda-w)(\lambda-3)-1(-1) &= 0 \\ \lambda^2-(w+3)\lambda+(3w+1) &= 0 \end{align*}

Nilai eigen matriks A bernilai sama, jika diskriminan persamaan kuadrat di atas bernilai 0.

    \begin{align*} [-(w+3)]^2-4\cdot 1 \cdot (3w+1) &= 0 \\ w^2+6w+9-12w-4 &= 0 \\ w^2-6w+5 &= 0 \\ (w-1)(w-5) &= 0 \end{align*}

Diperoleh solusi w=1 atau w=5. Jadi, S=\{1,5\}.

Nomor 8

Misalkan V ruang vektor fungsi-fungsi ae^{3x} \sin x + be^{3x} \cos x. Transformasi T:V \rightarrow V didefinisikan T(f)=f'+f untuk setiap f \in V. Matriks representasi T terhadap basis \{e^{3x} \sin x, e^{3x} \cos x\} adalah…

PEMBAHASAN
Misalkan f_1(x)=e^{3x} \sin x dan f_2(x)=e^{3x} \cos x, sehingga basis V adalah S=\{f_1,f_2\}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} T(f_1) &= f_1'+f_1 \\ &= (3e^{3x} \sin x + e^{3x} \cos x) + e^{3x} \sin x \\ &= 4e^{3x} \sin x + e^{3x} \cos x \\ T(f_2) &= f_2'+f_2 \\ &= (3e^{3x} \cos x-e^{3x} \sin x) + e^{3x} \cos x \\ &= -e^{3x} \sin x + 4e^{3x} \cos x \end{align*}

Melalui inspeksi, diperoleh koordinat T(f_1) dan T(f_2) terhadap basis \{f_1,f_2\}, yaitu

    \begin{align*} \left[T(f_1)\right]_S &= \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix} \\ \left[T(f_2)\right]_S &= \begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix} \\ \end{align*}

Jadi, matriks representasi T terhadap basis S=\{f_1,f_2\} adalah \begin{bmatrix}4&-1\\1&4\end{bmatrix}.

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau anda punya solusi yang berbeda, silahkan sampaikan lewat komentar. 🙂

Mungkin Anda juga menyukai

1 Respon

  1. Aswin berkata:

    Kereeen

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.