Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2017 Aljabar Linear (Isian)
Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal Aljabar Linear dalam ON MIPA-PT Matematika Tahun 2017. Soal aljabar linear terdiri dari 8 soal isian singkat dan 3 soal uraian. Kita hanya akan membahas soal isian singkat. Tiga soal uraian akan dibahas dalam tulisan berikutnya, Insya Allah.
Misalkan dan
dua subruang berbeda dari ruang vektor real
. Jika
, maka dimensi minimal yang mungkin untuk
adalah…
PEMBAHASAN
Diketahui dan
merupakan subruang dari
, sehingga berlaku
dan
. Karena
, maka
.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa . Andaikan
, sehingga
. Subruang
dan
memiliki dimensi yang sama dengan ruang vektor
, maka haruslah
. Terjadi kontradiksi, karena
dan
adalah dua subruang berbeda.
Jadi, dimensi minimal yang mungkin untuk adalah 5.
Misalkan adalah ruang polinom real berderajat paling tinggi 2. Koordinat
terhadap basis
di
adalah…
PEMBAHASAN
Misalkan ,
, dan
. Akan dicari
, sedemikian sehingga
. Perhatikan bahwa
Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan
yang mempunyai solusi , dan
.
Jadi, koordinat terhadap basis
di
adalah
.
Subruang dan
dari ruang vektor
masing-masing dibangun oleh
dan
. Salah satu basis dari subruang
adalah…
PEMBAHASAN
Misalkan
Sehingga dan
secara berturut-turut dibangun oleh
dan
. Dapat dicek bahwa
dan
. Berdasarkan Teorema Plus/Minus,
tetap merentang
dan
tetap merentang
.
dan
merupakan himpunan yang bebas linear, sehingga
merupakan basis dari
dan
merupakan basis dari
.
Misalkan . Terdapat
sehingga
Perhatikan ruas kanan persamaan di atas. Komponen ketiga selalu habis dibagi tiga, dan komponen keempat merupakan dua kali komponen kelima. Hal serupa harus berlaku pada ruas kiri, yaitu
Diperoleh . Komponen ketiga pada ruas kiri, yaitu
juga habis dibagi 3. Akibatnya,
dapat ditulis sebagai
Jadi, salah satu basis dari subruang adalah
.
Dengan hasil kali dalam ,
,
merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika
…
PEMBAHASAN
Misalkan
merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika
. Perhatikan bahwa
(1)
Jadi, merupakan himpunan orthogonal jika dan hanya jika
.
Inti transformasi linier dibangun oleh
. Jika
, maka
…
PEMBAHASAN
Misalkan .
Diperoleh sistem persamaan linear
Substitusi ke persamaan (1), sehingga diperoleh
. Dengan memisalkan
dan
, diperoleh solusi
Dengan mensubstitusi nilai pada persamaan
, diperoleh
tidak boleh bernilai nol. Karena, jika
, maka
. Akibatnya
Diperoleh . Di lain pihak
Terjadi kontradiksi.
Jadi, , dengan
.
Misalkan . Misalkan
operator linier pada
dengan aturan
,
. Maka
…
PEMBAHASAN
Misalkan . Kita akan menentukan basis dari range(T). Perhatikan bahwa
Diperoleh , sebagai basis dari range(T). Jadi,
.
Matriks memiliki dua nilai eigen yang sama jika dan hanya jika
. Maka
…
PEMBAHASAN
Misalkan , sehingga
Nilai eigen matriks adalah nilai
yang memenuhi
.
Nilai eigen matriks bernilai sama, jika diskriminan persamaan kuadrat di atas bernilai 0.
Diperoleh solusi atau
. Jadi,
.
Misalkan ruang vektor fungsi-fungsi
. Transformasi
didefinisikan
untuk setiap
. Matriks representasi
terhadap basis
adalah…
PEMBAHASAN
Misalkan dan
, sehingga basis
adalah
. Perhatikan bahwa
Melalui inspeksi, diperoleh koordinat dan
terhadap basis
, yaitu
Jadi, matriks representasi terhadap basis
adalah
.
Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau anda punya solusi yang berbeda, silakan beritahu melalui komentar. 🙂
Kereeen