Pembuktian Akar 2 adalah Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Kita akan membuktikan bahwa \sqrt{2} adalah bilangan irasional, dengan kontradiksi (proof by contradiction).

Dalam pembuktian dengan kontradiksi, kita mengasumsikan suatu pernyataan (teorema) salah, dan yang benar adalah negasinya. Lalu kita menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah, dengan kata lain pernyataan semula (teorema) benar.

\sqrt{2} adalah bilangan irasional.”

Negasi dari pernyataan di atas adalah

\sqrt{2} adalah bilangan rasional.”

Kita akan menunjukkan bahwa negasi di atas salah.
\sqrt{2} diasumsikan sebagai bilangan rasional, sehingga bisa dituliskan dalam bentuk

\frac{p}{q} \quad p,q \in \mathbb{Z} \quad q \neq 0 \quad fpb(p,q)=1

Bentuk \frac{p}{q} merupakan bentuk pecahan yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Dua bilangan dikatakan relatif prima, apabila faktor persekutuan terbesarnya (FPB) adalah 1.

\sqrt{2}=\frac{p}{q}
2 = \frac{p^2}{q^2}
2q^2 = p^2

Diperoleh p^2 bilangan genap karena merupakan kelipatan 2 dari suatu bilangan bulat, yang berakibat p juga genap. Karena genap, maka p bisa ditulis sebagai 2k, untuk k suatu bilangan bulat. Substitusi p = 2k ke persamaan di atas.

2q^2 = (2k)^2
2q^2 = 4k^2
q^2 = 2k^2

Diperoleh q^2 genap, yang berakibat q juga genap. Ternyata p dan q merupakan bilangan genap, artinya 2 merupakan faktor persekutuan dari kedua bilangan itu. Hal ini kontradiksi dengan asumsi semula bahwa faktor persekutuan terbesar dari p dan q adalah 1.

Ini menunjukkan bahwa pengandaian \sqrt{2} rasional adalah pernyataan yang salah, dan tidak boleh dilakukan. Secara tidak langsung, kita membuktikan bahwa yang benar adalah pernyataan semula, \sqrt{2} merupakan bilangan irasional.

Demikian pembuktian \sqrt{2} merupakan bilangan irasional.
Tahukah anda bahwa akar dari setiap bilangan prima, termasuk \sqrt{2} yang telah kita buktikan, merupakan bilangan irasional? Jika belum, silahkan baca artikel berjudul Akar bilangan prima adalah bilangan irasional.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.