Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan

Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas pembuktian aturan perkalian pada turunan. Sekarang kita akan membuktikan aturan lain yang berlaku pada turunan, yaitu aturan pembagian. Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan \(g(x) \neq 0\), maka

\begin{align*}
\left( \frac{f}{g} \right)’ = \frac{f'(x)g(x) {}- g'(x)f(x)}{g^2(x)}
\end{align*}

Kita akan membuktikan aturan pembagian ini dengan dua cara, yaitu menggunakan definisi turunan yang melibatkan limit dan menggunakan logaritma natural. Pertama, kita buktikan dengan definisi limit.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan \(F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}\).

pembuktian aturan pembagian

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, diperoleh

bukti aturan pembagian

Selanjutnya, kita buktikan dengan logaritma natural.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan \(F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}\)

Beri logaritma natural pada kedua ruas.

\begin{align*}
\ln F(x)= \ln \frac{f(x)}{g(x)}
\end{align*}

Ingat sifat logaritma natural \(\ln \frac{a}{b} = \ln a {}- \ln b\)

\begin{align*}
\ln F(x)= \ln f(x) {}- \ln g(x)
\end{align*}

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan aturan rantai.

\begin{align*}
F'(x) \; \frac{1}{F(x)} &= f'(x) \; \frac{1}{f(x)} {}- g'(x) \; \frac{1}{g(x)} \\
F'(x) &= F(x) \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right)
\end{align*}

Ingat \(F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}\)

\begin{align*}
F'(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{g(x) f'(x) {}- f(x) g'(x)}{f(x) g(x)} \right) \\
&= \frac{g(x)f'(x) {}- f(x)g'(x)}{g^2(x)}
\end{align*}

Terbukti.

5 thoughts on “Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *