Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan

Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas pembuktian aturan perkalian pada turunan. Sekarang kita akan membuktikan aturan lain yang berlaku pada turunan, yaitu aturan pembagian. Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) \neq 0, maka

    \begin{align*} \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'(x)g(x) {}- g'(x)f(x)}{g^2(x)} \end{align*}

Kita akan membuktikan aturan pembagian ini dengan dua cara, yaitu menggunakan definisi turunan yang melibatkan limit dan menggunakan logaritma natural. Pertama, kita buktikan dengan definisi limit.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}.

pembuktian aturan pembagian

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, diperoleh

bukti aturan pembagian

Selanjutnya, kita buktikan dengan logaritma natural.

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}

Beri logaritma natural pada kedua ruas.

    \begin{align*} \ln F(x)= \ln \frac{f(x)}{g(x)} \end{align*}

Ingat sifat logaritma natural \ln \frac{a}{b} = \ln a {}- \ln b

    \begin{align*} \ln F(x)= \ln f(x) {}- \ln g(x) \end{align*}

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan aturan rantai.

    \begin{align*} F'(x) \; \frac{1}{F(x)} &= f'(x) \; \frac{1}{f(x)} {}- g'(x) \; \frac{1}{g(x)} \\ F'(x) &= F(x) \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \end{align*}

Ingat F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}

    \begin{align*} F'(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\ &= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{g(x) f'(x) {}- f(x) g'(x)}{f(x) g(x)} \right) \\ &= \frac{g(x)f'(x) {}- f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{align*}

Terbukti.

Mungkin Anda juga menyukai

5 Respon

  1. 18 Agustus 2016

    […] Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan […]

  2. 21 Agustus 2016

    […] Pembuktian Aturan Pembagian pada Turunan […]

  3. 5 November 2016

    […] menggunakan aturan pembagian […]

  4. 9 Juli 2017

    […] Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian. […]

  5. 16 Oktober 2017

    […] Nilai dari (frac{dy}{dx}) dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian. […]

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.