Pembuktian Formula Heron (Cara Lain)

Formula heron atau rumus heron merupakan salah satu rumus untuk menghitung luas daerah segitiga. Rumus ini digunakan jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga.

    \[L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

Rumus ini digunakan sebagai alternatif jika tinggi segitiga belum diketahui, sehingga rumus L = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} belum bisa digunakan. Begitu pula jika panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit tidak diketahui.

Bukti Rumus Heron

Pada tulisan sebelumnya, kita telah membuktikan formula heron dengan memanfaatkan aturan cosinus dan rumus luas segitiga yang melibatkan cosinus salah satu sudut. Kali ini, kita akan membuktikan formula heron dengan cara lain, yaitu dengan memanfaatkan teorema pythagoras. Perhatikan segitiga \text{ABC} berikut.

Pembuktian Rumus Heron

Lukis garis tinggi segitiga dari titik sudut \text{A}. Misalkan perpotongan antara garis tinggi dengan sisi \text{BC} adalah \text{D} dan panjang sisi \text{BD} adalah \text{d}. Panjang sisi \text{CD} adalah a-d.

Garis Tinggi pada Pembuktian Rumus Heron

Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga \text{ABD} dan \text{ADC}, diperoleh

    \begin{align*} \text{AD}^2 &= \text{AB}^2-\text{BD}^2 \\ t^2 &= c^2-d^2 \end{align*}

dan

    \begin{align*} \text{AD}^2 &= \text{AC}^2-\text{CD}^2 \\ t^2 &= b^2-(a-d)^2 \\ &= b^2-(a^2 + d^2-2ad) \\ &= b^2-a^2-d^2 + 2ad) \\ \end{align*}

Berdasarkan kedua persamaan di atas, diperoleh

    \begin{align*} c^2-d^2 &= b^2-a^2-d^2 + 2ad) \\ c^2 &= b^2-a^2 + 2ad) \\ 2ad &= c^2-b^2 + a^2 \\ d &= \frac{c^2-b^2 + a^2}{2a} \end{align*}

Substitusi nilai d pada persamaan t^2 = c^2-d^2.

    \begin{align*} t^2 &= c^2-d^2 \\ &= c^2-\left( \frac{c^2-b^2 + a^2}{2a} \right)^2 \\ &= c^2-\frac{(c^2-b^2 + a^2)^2}{(2a)^2} \\ &= \frac{2a^2c^2-(c^2-b^2 + a^2)^2}{(2a)^2} \\ &= \frac{(2ac)^2-(c^2-b^2 + a^2)^2}{(2a)^2} \\ &= \frac{(2ac+(c^2-b^2 + a^2))(2ac-(c^2-b^2 + a^2))}{(2a)^2} \\ &= \frac{(2ac+c^2-b^2 + a^2)(2ac-c^2+b^2-a^2))}{(2a)^2} \\ &= \frac{(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b-c)}{(2a)^2} \\ &= \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(2a)^2} \\ &= \frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)}{(2a)^2} \end{align*}

Diketahui bahwa s=\frac{1}{2} (a+b+c) atau 2s=a+b+c, sehingga

    \begin{align*} t^2 &= \frac{ 2s(2s-2a)(2s-2c)(2s-2b)}{(2a)^2 } \\ &= \frac{16s (s-a) (s-c) (s-b)}{4a^2 } \\ &= \frac{4s(s-a)(s-c)(s-b)}{a^2 } \end{align*}

Tarik akar pada kedua ruas

    \begin{align*} t &= \sqrt{\frac{4s(s-a)(s-c)(s-b)}{a^2 }} \\ &= \frac{ \sqrt{4s(s-a)(s-c)(s-b)}}{ \sqrt{a^2} } \\ &= \frac{2 \sqrt{s(s-a)(s-c)(s-b)}}{a} \end{align*}

Luas segitiga \text{ABC} dapat dihitung dengan rumus

    \begin{align*} L &= \frac{1}{2} \cdot \text{BC} \cdot \text{AD} \\ &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \\ &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2 \sqrt{s(s-a)(s-c)(s-b)}}{a} \\ &= \sqrt{s(s-a)(s-c)(s-b)} \end{align*}

Terbukti.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.