Pembuktian Rumus Jumlah Khusus Bilangan Asli

Dalam artikel ini, kita akan membuktikan dua rumus jumlah khusus bilangan asli, yaitu.

    \begin{align*} \sum \limits_{i=1}^n i &= 1+2+3+ \cdots +n \\ &= \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

Kita mulai dengan membuktikan rumus yang pertama. Jika diperhatikan, rumus ini merupakan rumus deret aritmatika. Kita tidak akan membuktikan rumus ini dengan cara yang digunakan Carl Friedrich Gauss. Kita akan menggunakan identitas aljabar 2i+1 = (i+1)^2 {}- i^2.

Beri tanda sigma pada kedua ruas.

    \begin{align*} \sum \limits_{i=1}^n (2i+1) = \sum \limits_{i=1}^n [(i+1)^2 {}- i^2] \end{align*}

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri dan definisi sigma pada ruas kanan.

pembuktian sigma i bagian 1

Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan dapat disusun ulang menjadi.

pembuktian sigma i bagian 2

TERBUKTI

Selanjutnya, kita melangkah ke pembuktian rumus jumlah khusus berikut

    \begin{align*} \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

Kita mulai dari identitas aljabar.

    \begin{align*} 3i^2 + 3i + 1 = (i+1)^3 {}- i^3 \end{align*}

Beri tanda sigma pada kedua ruas.

    \begin{align*} \sum \limits_{i=1}^n ( 3i^2 + 3i + 1) = \sum \limits_{i=1}^n [ (i+1)^3 {}- i^3] \end{align*}

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri, kemudian uraikan ruas kanan berdasarkan definisi sigma.

pembuktian sigma i kuadrat bagian 1

Selanjutnya, gunakan rumus jumlah khusus yang sudah dibuktikan sebelumnya, yaitu \sum \limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.

pembuktian sigma i kuadrat bagian 2

Selanjutnya, faktorkan ruas kanan persamaan di atas.

    \begin{align*} 6 \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= n(n+1)(2n+1) \\ \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}

TERBUKTI

Demikianlah pembuktian rumus jumlah khusus bilangan asli. Semoga bermanfaat 🙂

You may also like...

1 Response

  1. website says:

    Hello everybody, here every person is sharing these kinds of knowledge, therefore it’s nice to read this website, and I used to go to see this website all
    the time.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.