Pembuktian Silogisme dengan Aturan Penggantian

Silogisme adalah salah satu aturan yang digunakan dalam proses penarikan kesimpulan. Misalkan, kita mempunyai dua buah premis, yaitu

Premis 1: Jika p, maka q.
Premis 2: Jika q, maka r.

Jika kedua premis di atas benar, maka kita dapat menyimpulkan, jika p maka r.

    \begin{align*} P_1 : \: p \Rightarrow q \\ P_2 : \: q \Rightarrow r \\ \quad p \Rightarrow r \end{align*}

Berikut contoh penggunaan silogisme dalam penarikan kesimpulan.

Jika hari ini cerah, maka saya pergi ke toko buku.
Jika saya pergi ke toko buku, maka saya merasa senang.

Misalkan
p: Hari ini cerah
q: Saya pergi ke toko buku
r: Saya merasa senang

Perhatikan bahwa premis di atas memiliki bentuk
P_1 : \: p \Rightarrow q
P_1 : \: q \Rightarrow r

Berdasarkan silogisme, kita dapat menarik kesimpulan, jika hari ini cerah, maka saya merasa senang ( q \Rightarrow r ).

Bagaimana, mudah bukan?
Tapi, bagaimana kita yakin bahwa penarikan kesimpulan ini sah? Dalam matematika, kita perlu mengkonstruksi buktinya. Salah satu cara membuktikan silogisme adalah dengan tabel kebenaran. Tapi, kita tidak akan membuktikan dengan cara ini, kita akan menggunakan aturan penggantian (Aljabar Proposisi).

Kita mulai dengan bentuk implikasi berikut.

[(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r) &s=0

Hukum Implikasi

[( \overline{p} \vee q) \wedge ( \overline{q} \vee r)] \Rightarrow (\overline{p} \vee r) &s=0

Hukum Implikasi

[ \overline{( \overline{p} \vee q) \wedge ( \overline{q} \vee r) } ] \vee ( \overline{p} \vee r) &s=0

Hukum De Morgan

[( \overline{ \overline{p} \vee q }) \vee ( \overline{ \overline{q} \vee r } )] \vee (\overline{p} \vee r) &s=0

Hukum De Morgan

[(p \wedge \overline{q}) \vee (q \wedge \overline{r})] \vee (\overline{p} \vee r) &s=0

Hukum Komutatif dan Asosiatif

[ \overline{p} \vee (p \wedge \overline{q})] \vee [r \vee (q \wedge \overline{r})] &s=0

Hukum Distributif

[ ( \overline{p} \vee p) \wedge ( \overline{p} \vee \overline{q})] \vee [(r \vee q) \wedge (r \vee \overline{r})] &s=0

Hukum Komplemen

[ \mbox{T} \wedge ( \overline{p} \vee \overline{q})] \vee [(r \vee q) \wedge \mbox{T}] &s=0

Hukum Identitas

( \overline{p} \vee \overline{q}) \vee (r \vee q) &s=0

Hukum Komutatif dan Asosiatif

( \overline{p} \vee r) \vee (\overline{q} \vee q) &s=0

Hukum Komplemen

( \overline{p} \vee r) \vee \mbox{T} &s=0

Hukum Identitas

\mbox{T} &s=0

Nah, terbukti bahwa silogisme adalah proses penarikan kesimpulan yang sah. Jadi, kita tidak perlu ragu menggunakan silogisme, jika dihadapkan pada premis-premis yang memiliki bentuk p \Rightarrow q dan q \Rightarrow r.

Demikian bukti silogisme dengan aturan penggantian (aljabar proposisi). Untuk bukti silogisme, dengan menggunakan tabel kebenaran, saya serahkan kepada pembaca.

Semoga bermanfaat. 🙂

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.