Pembuktian Turunan sin x dan cosec x

Sekarang kita akan membuktikan turunan sin x dan turunan cosec x.

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right)  &= \cos x \\ D_x \left( \csc x \right)  &= -\csc x \cot x \end{align*}

Bukti Turunan sin x

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right)  = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} \end{align*}

Gunakan rumus jumlah sudut sinus.

turunan sin x bagian 1

Limitnya untuk h menuju 0. Karena \sin x dan \cos x tidak memuat variabel h, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh

turunan sin x bagian 2

Diketahui bahwa \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1 dan \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0, sehingga

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right) &= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 \\ &= \cos x \end{align*}

Terbukti. Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut.

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right)  = D_x (\cos ( \frac{\pi}{2} - x)) \end{align*}

Diketahui bahwa D_x (\cos x) = - \sin x. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right) &= -1 \cdot (- \sin ( \frac{\pi}{2} - x)) \\ &= \sin ( \frac{\pi}{2} - x) \\ &= \sin \frac{\pi}{2} \cos x - \cos \frac{\pi}{2} \sin x \end{align*}

Diketahui \sin \frac{\pi}{2} = 1 dan \cos \frac{\pi}{2} = 0.

    \begin{align*} D_x \left( \sin x \right) &= 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x \\ &= \cos x \end{align*}

Bukti Turunan cosec x

turunan csc x bagian 1

Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

turunan csc x bagian 2

Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.

    \begin{align*} D_x \left( \csc x \right) &= D_x \left( \frac{1}{\sin x} \right) \\ &= \frac{0 \cdot \sin x - (\cos x) \cdot 1}{\left( \sin x \right) ^{2}} \\ &= \frac{- \cos x}{\left( \sin x \right) ^{2}} \\ &= -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= -\csc x \cdot \cot x \end{align*}

Terbukti.

Demikian pembahasan tentang turunan sin x dan csc x. Semoga bermanfaat. 🙂

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.