Pembuktian Turunan tan x dan cot x

Masih melanjutkan postingan tentang turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan tan x dan turunan cot x.

    \begin{align*} D_x \left( \tan x \right) &= \sec ^2 x \\ D_x \left( \cot x \right) &= -\csc ^2 x \end{align*}

Turunan tan x

Kita mulai dengan mengubah tan x menjadi hasil bagi antara sin x dan cos x.

    \begin{align*} D_x \left( \tan x \right) =D_x \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) \end{align*}

Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh.

D_x \left( \tan x \right) =\frac{\cos x \cdot D_x (\sin x)-\sin x \cdot D_x (\cos x)}{(\cos x)^2}

Diketahui bahwa D_x \left( \sin x \right) =\cos x (BUKTI) dan D_x \left( \cos x \right) =-\sin x (BUKTI), sehingga

    \begin{align*} D_x \left( \tan x \right) &= \frac{\cos x \cdot \cos x -\sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} \\ &= \frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{(\cos x)^2} \end{align*}

Ingat identitas trigonometri: \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1

    \begin{align*} D_x \left( \tan x \right) &= \frac{1}{(\cos x)^2} \\ &= \sec ^2 x \end{align*}

Terbukti. Selanjutnya kita melangkah ke pembuktian turunan cot x.

Turunan cot x

Kita mulai dengan menulis cot x sebagai hasil bagi antara cos x dengan sin x.

    \begin{align*} D_x \left( \cot x \right) =D_x \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) \end{align*}

Dengan menggunakan aturan pembagian, diperoleh

D_x \left( \cot x \right) =\frac{\sin x \cdot D_x (\cos x) - \cos x \cdot D_x (sin x)}{(\sin x)^2}

Diketahui D_x (\sin x)=\cos x dan D_x (\cos x)=-\sin x, sehingga

    \begin{align*} D_x \left( \cot x \right) &= \frac{\sin x \cdot (- \sin x) - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \\ &= \frac{- \sin ^2 x - \cos ^2 x}{(\sin x)^2} \\ &= \frac{- (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\sin x)^2} \\ &= -\frac{1}{(\sin x)^2} \\ &= -\csc ^2 x \end{align*}

Terbukti.

Selain dengan aturan pembagian, kita juga bisa membuktikan turunan fungsi-fungsi di atas dengan menggunakan definisi turunan. Untuk pembuktian dengan cara ini, saya serahkan kepada pembaca. Silahkan mencoba. 🙂

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.