Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Kompleks

Dalam tulisan ini, kita akan membahas tentang perkalian dan pembagian bilangan kompleks. Misalkan z_1, z_2 \in \mathbb{C}, dimana \mathbb{C} merupakan himpunan bilangan kompleks. Tulis z_1=x_1+iy_1 dan z_2=x_2+iy_2, untuk suatu x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb{R}. Selain dengan notasi tersebut, z_1 dan z_2 juga dapat ditulis sebagai z_1=(x_1,y_1) dan z_2=(x_2,y_2), dimana komponen pertama merupakan bagian real dan komponen kedua merupakan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut.

PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS

Operasi perkalian pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai

    \begin{align*} z_1z_2 &= (x_1,y_1)(x_2,y_2) \\ &= (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2) \end{align*}

Hasil operasi di atas dapat diperoleh dari

    \[z_1z_2 &= (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)\]

Dengan memanfaatkan sifat distributif, diperoleh

    \[z_1z_2 &= x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_2+i^2y_1y_2\]

Karena i^2=-1, maka

    \begin{align*} z_1z_2 &= x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_2+(-1)y_1y_2 \\ &= x_1x_2-y_1y_2+ix_1y_2+iy_1x_2 \\ &= (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2) \\ &= (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2) \end{align*}

CONTOH 1

Tentukan hasil dari (2+3i)(1-2i).

PEMBAHASAN

    \begin{align*} (2+3i)(1-2i) &= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 2i \\ &= 2 - 4i +3i -6i^2 \\ &= 2 - 4i +3i -6(-1) \\ &= 8 - i \end{align*}

CONTOH 2

Tentukan hasil dari (-1,2)(3,1).

PEMBAHASAN

    \begin{align*} (-1,2)(3,1) &= ((-1)\cdot3-2\cdot1,(-1)\cdot1+2\cdot3) \\ &= (-3-2,-1+6) \\ &= (-5,5) \end{align*}

UNSUR IDENTITAS TERHADAP OPERASI PERKALIAN

Sebelum mendefinisikan operasi pembagian pada himpunan bilangan kompleks, kita perlu mengenal identitas perkalian dari \mathbb{C}. 1=(1,0) \in \mathbb{C} merupakan unsur identitas terhadap operasi perkalian, karena untuk sebarang z=(x,y) \in \mathbb{C}, berlaku

    \begin{align*} 1 \cdot z = (1,0)(x,y) = (1 \cdot x - 0 \cdot y, 1 \cdot y + 0 \cdot x) = (x,y) = z \\ z \cdot 1 = (x,y)(1,0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0, x \cdot 0 + y \cdot 1) = (x,y) = z \\ \end{align*}

INVERS TERHADAP OPERASI PERKALIAN

Selanjutnya, kita akan menentukan invers dari z=(x,y), dengan x,y \neq 0. Misalkan inversnya adalah z^{-1}=(u,v). Karena z^{-1} merupakan invers dari z, maka haruslah berlaku

    \begin{align*} zz^{-1} &= 1 \\ (x,y)(u,v) &= (1,0) \\ (xu-yv,xv+yu) &= (1,0) \end{align*}

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, diperoleh

    \begin{align*} xu-yv=1 \\ xv+yu=0 \end{align*}

Pandang kedua persamaan di atas sebagai sistem persamaan linear dua variabel (u dan v), dengan x dan y sebagai koefisien. Solusi sistem persamaan linear tersebut dapat ditentukan dengan beberapa metode. Dalam tulisan ini, kita akan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Kalikan persamaan pertama dengan x dan persamaan kedua dengan y.

    \begin{align*} xu-yv=1 \Rightarrow x^2u - xyv = x \\ xv+yu=0 \Rightarrow xyv + y^2u = 0 \end{align*}

Dengan menjumlahkan kedua persamaan, diperoleh

    \begin{align*} x^2u + y^2u &= x \\ u(x^2 + y^2) &= x \\ u &= \frac{x}{x^2 + y^2} \end{align*}

Selanjutnya, nilai u disubstitusi pada persamaan kedua, sehingga

    \begin{align*} xv + yu &= 0 \\ xv + y \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} &= 0 \\ xv &= \frac{-xy}{x^2 + y^2} \\ v &= \frac{1}{x} \cdot \frac{-xy}{x^2 + y^2} \\ &= \frac{-y}{x^2 + y^2} \end{align*}

Jadi, invers dari z=(x,y) adalah z^{-1}= \left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2} \right).

Pembagian Bilangan Kompleks

Operasi pembagian pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1} \end{align*}

dengan z_2^{-1} merupakan invers perkalian dari z_2. Jika z_1=(x_1,y_1)=x_1+iy_1 dan z_2=(x_2,y_2)=x_2+iy_2, z_2 \neq 0, maka

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= z_1z_2^{-1} \\ &= \left( x_1,y_1\right) \left( \frac{x_2}{x_2^2 + y_2^2}, \frac{-y_2}{x_2^2 + y_2^2} \right) \\ &= \left( x_1 \cdot \frac{x_2}{x_2^2+y_2^2} - y_1 \cdot \frac{-y_2}{x_2^2+y_2^2}, x_1 \cdot \frac{-y_2}{x_2^2+y_2^2} + y_1 \cdot \frac{x_2}{x_2^2+y_2^2} \right) \\ &= \left( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \right) \\ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \end{align*}

Diperoleh rumus untuk menentukan hasil bagi dua bilangan kompleks. Meskipun sulit untuk dihapalkan, ternyata rumus ini dapat diperoleh dengan menuliskan hasil bagi bilangan kompleks sebagai

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \\ &= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \\ \end{align*}

Karena z_2=x_2+iy_2 \neq 0, maka x_2-iy_2 \neq 0. Sehingga, mengalikan \frac{z_1}{z_2} dengan \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} tidak akan mengubah nilai, karena kita sebenarnya mengalikannya dengan bilangan 1. Lebih lanjut, x_2-iy_2 ini disebut sebagai konjugat dari bilangan kompleks z_2. Konjugat dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan bagian imajinernya dengan (-1). Konjugat dari a+ib=(a,b) adalah a-ib=(a,-b).

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \\ &= \frac{x_1x_2 -y_1y_2i^2 + y_1x_2i-x_1y_2i}{x_2^2-x_2y_2i+x_2y_2i-y_2^2i^2} \\ &= \frac{(x_1x_2 -y_1y_2i^2) + i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2} \\ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \end{align*}

Jadi, kita tidak perlu menghapalkan rumus yang panjang tadi. Kita cukup mengingat prosedur yang digunakan pada perhitungan hasil bagi yang terakhir ini. Untuk menentukan hasil bagi dari dua bilangan kompleks, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebutnya. Agar lebih jelas, kita akan membahas beberapa contoh soal.

CONTOH 3

Tentukan bentuk paling sederhana dari \frac{5i}{i-2}.

PEMBAHASAN
Konjugat dari i-2 adalah -i-2, sehingga

    \begin{align*} \frac{5i}{i-2} &= \frac{5i}{i-2} \cdot \frac{-i-2}{-i-2} \\ &= \frac{-5i^2-10i}{-i^2+(-2)(-2)} \\ &= \frac{5-10i}{5} \\ &= 1-2i \end{align*}

CONTOH 4

Tentukan bentuk paling sederhana dari \frac{1+2i}{3-4i}.

PEMBAHASAN
Konjugat dari 3-4i adalah 3+4i, sehingga

    \begin{align*} \frac{1+2i}{3-4i} &= \frac{1+2i}{3-4i} \cdot \frac{3+4i}{3+4i} \\ &= \frac{3+4i+6i+8i^2}{9-16i^2} \\ &= \frac{3+10i-8}{9+16} \\ &= \frac{-5+10i}{25} \\ &= -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i \end{align*}

Semoga bermanfaat. Jika ada yang kurang jelas, atau perlu dikoreksi, silahkan disampaikan lewat kolom komentar.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.