Dalam tulisan ini, kita akan membahas tentang perkalian dan pembagian bilangan kompleks. Misalkan $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, dimana $\mathbb{C}$ merupakan himpunan bilangan kompleks. Tulis $z_1=x_1+iy_1$ dan $z_2=x_2+iy_2$, untuk suatu $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb{R}$. Selain dengan notasi tersebut, $z_1$ dan $z_2$ juga dapat ditulis sebagai $z_1=(x_1,y_1)$ dan $z_2=(x_2,y_2)$, dimana komponen pertama merupakan bagian real dan komponen kedua merupakan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut.

Perkalian Bilangan Kompleks

Operasi perkalian pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai$$\begin{aligned}z_1z_2 &= (x_1,y_1)(x_2,y_2) \\&= (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\end{aligned}$$

Hasil operasi di atas dapat diperoleh dari$$z_1z_2 = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)$$Dengan memanfaatkan sifat distributif, diperoleh$$z_1z_2 = x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_2+i^2y_1y_2$$Karena $i^2=-1$, maka$$\begin{aligned}z_1z_2 &= x_1x_2+ix_1y_2+iy_1x_2+(-1)y_1y_2 \\&= x_1x_2-y_1y_2+ix_1y_2+iy_1x_2 \\&= (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2) \\&= (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+y_1x_2)\end{aligned}$$

Contoh 1

Tentukan hasil dari $(2+3i)(1-2i)$.

Pembahasan

$$\begin{aligned}(2+3i)(1-2i) &= 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 2i \\&= 2 - 4i +3i -6i^2 \\&= 2 - 4i +3i -6(-1) \\&= 8 - i\end{aligned}$$

Contoh 2

Tentukan hasil dari $(-1,2)(3,1)$.

Pembahasan

$$\begin{aligned}(-1,2)(3,1) &= ((-1)\cdot3-2\cdot1,(-1)\cdot1+2\cdot3) \\&= (-3-2,-1+6) \\&= (-5,5)\end{aligned}$$

Unsur Identitas terhadap Operasi Perkalian

Sebelum mendefinisikan operasi pembagian pada himpunan bilangan kompleks, kita perlu mengenal identitas perkalian dari $\mathbb{C}$. Bilangan kompleks $1=(1,0) \in \mathbb{C}$ merupakan unsur identitas terhadap operasi perkalian, karena untuk setiap $z=(x,y) \in \mathbb{C}$, berlaku$$\begin{aligned}1 \cdot z = (1,0)(x,y) = (1 \cdot x - 0 \cdot y, 1 \cdot y + 0 \cdot x) = (x,y) = z \\z \cdot 1 = (x,y)(1,0) = (x \cdot 1 - y \cdot 0, x \cdot 0 + y \cdot 1) = (x,y) = z \\\end{aligned}$$

Invers terhadap Operasi Perkalian

Selanjutnya, kita akan menentukan invers dari $z=(x,y)$, dengan $z \neq 0$. Misalkan inversnya adalah $z^{-1}=(u,v)$. Karena $z^{-1}$ merupakan invers dari $z$, maka haruslah berlaku$$\begin{aligned}zz^{-1} &= 1 \\(x,y)(u,v) &= (1,0) \\(xu-yv,xv+yu) &= (1,0)\end{aligned}$$Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, diperoleh$$\begin{aligned}xu-yv=1 \\xv+yu=0\end{aligned}$$

Pandang kedua persamaan di atas sebagai sistem persamaan linear dua variabel ($u$ dan $v$), dengan $x$ dan $y$ sebagai koefisien. Solusi sistem persamaan linear tersebut dapat ditentukan dengan beberapa metode. Dalam tulisan ini, kita akan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Kalikan persamaan pertama dengan $x$ dan persamaan kedua dengan $y$.$$\begin{aligned}xu-yv=1 \Rightarrow x^2u - xyv = x \\xv+yu=0 \Rightarrow xyv + y^2u = 0\end{aligned}$$

Dengan menjumlahkan kedua persamaan, diperoleh$$\begin{aligned}x^2u + y^2u &= x \\u(x^2 + y^2) &= x \\u &= \frac{x}{x^2 + y^2}\end{aligned}$$Pembagian dengan $x^2+y^2$ dibolehkan, karena $x^2+y^2 \neq 0$. Ingat, $x^2+y^2 =0$ hanya terjadi jika $z=0$.

Selanjutnya, nilai $u$ disubstitusi pada persamaan kedua, sehingga$$\begin{aligned}xv + yu &= 0 \\xv + y \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} &= 0 \\x \left( v+\frac{y}{x^2 + y^2} \right) &=0\end{aligned}$$Perlu diingat bahwa $x$ adalah sebarang bilangan real, nilainya bergantung pada bilangan kompleks $z$ yang akan dicari inversnya. Akibatnya, bentuk di atas akan terpenuhi jika$$\begin{aligned}v+\frac{y}{x^2 + y^2} &= 0 \\v &= \frac{-y}{x^2 + y^2}\end{aligned}$$Jadi, invers dari $z=(x,y)$ adalah $z^{-1}= \left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)$.

Pembagian Bilangan Kompleks

Operasi pembagian pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}\end{aligned}$$dengan $z_2^{-1}$ merupakan invers perkalian dari $z_2$. Jika $z_1=(x_1,y_1)=x_1+iy_1$ dan $z_2=(x_2,y_2)=x_2+iy_2$, $z_2 \neq 0$, maka$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= z_1z_2^{-1} \\&= \left( x_1,y_1\right) \left( \frac{x_2}{x_2^2 + y_2^2}, \frac{-y_2}{x_2^2 + y_2^2} \right) \\&= \left( x_1 \cdot \frac{x_2}{x_2^2+y_2^2} - y_1 \cdot \frac{-y_2}{x_2^2+y_2^2}, x_1 \cdot \frac{-y_2}{x_2^2+y_2^2} + y_1 \cdot \frac{x_2}{x_2^2+y_2^2} \right) \\&= \left( \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \right) \\&= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\end{aligned}$$Diperoleh rumus untuk menentukan hasil bagi dua bilangan kompleks.

Meskipun sulit untuk dihapalkan, ternyata rumus ini dapat diperoleh dengan menuliskan hasil bagi bilangan kompleks sebagai$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \\&= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \\\end{aligned}$$

Karena $z_2=x_2+iy_2 \neq 0$, maka $x_2-iy_2 \neq 0$. Sehingga, mengalikan $\frac{z_1}{z_2}$ dengan $\frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}$ tidak akan mengubah nilai, karena kita sebenarnya mengalikannya dengan bilangan $1$. Lebih lanjut, $x_2-iy_2$ ini disebut sebagai konjugat dari bilangan kompleks $z_2$. Konjugat dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan bagian imajinernya dengan $(-1)$. Konjugat dari $a+ib=(a,b)$ adalah $a-ib=(a,-b)$.$$\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} \cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \\&= \frac{x_1x_2 -y_1y_2i^2 + y_1x_2i-x_1y_2i}{x_2^2-x_2y_2i+x_2y_2i-y_2^2i^2} \\&= \frac{(x_1x_2 -y_1y_2i^2) + i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2} \\&= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\end{aligned}$$

Jadi, kita tidak perlu menghapalkan rumus yang panjang tadi. Kita cukup mengingat prosedur yang digunakan pada perhitungan hasil bagi yang terakhir ini. Untuk menentukan hasil bagi dari dua bilangan kompleks, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebutnya. Agar lebih jelas, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 3

Tentukan bentuk paling sederhana dari $\frac{5i}{i-2}$.

Pembahasan

Konjugat dari $i-2$ adalah $-i-2$, sehingga$$\begin{aligned}\frac{5i}{i-2} &= \frac{5i}{i-2} \cdot \frac{-i-2}{-i-2} \\&= \frac{-5i^2-10i}{-i^2+(-2)(-2)} \\&= \frac{5-10i}{5} \\&= 1-2i\end{aligned}$$

Contoh 4

Tentukan bentuk paling sederhana dari $\frac{1+2i}{3-4i}$.

Pembahasan

Konjugat dari $3-4i$ adalah $3+4i$, sehingga$$\begin{aligned}\frac{1+2i}{3-4i} &= \frac{1+2i}{3-4i} \cdot \frac{3+4i}{3+4i} \\&= \frac{3+4i+6i+8i^2}{9-16i^2} \\&= \frac{3+10i-8}{9+16} \\&= \frac{-5+10i}{25} \\&= -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i\end{aligned}$$

Semoga bermanfaat. Jika ada yang kurang jelas, atau perlu dikoreksi, silahkan disampaikan lewat kolom komentar.