Himpunan Bebas Linear dan Bergantung Linear

Bebas linear, atau dalam beberapa literatur disebut bebas linier, merupakan syarat yang harus dipenuhi oleh suatu himpunan untuk menjadi basis ruang vektor. Selain bebas linear, syarat lainnya adalah membangun ruang vektor. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk belajar mengenai himpunan bebas linear.

Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan Daftar Isi berikut.

Penulisan Kombinasi Linear Secara Tunggal

Coba perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$. Ruang vektor ini dapat digambarkan dalam sistem koordinat $\text{XY}$, di mana $\vec{i}=(1,0)$ adalah vektor satuan pada sumbu $x$ dan $\vec{j}=(0,1)$ adalah vektor satuan pada sumbu $y$.

Setiap vektor dalam $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$. Sebagai contoh, vektor $(4,3)$ dapat dinyatakan sebagai$$\begin{aligned}(4,3)&= (4,0)+(0,3) \\&= 4(1,0)+3(0,1) \\&= 4 \vec{i}+3 \vec{j}\end{aligned}$$

Nah, apa yang akan terjadi jika kita menambah satu sumbu? Sebagai contoh, kita menambahkan sumbu $w$ yang membentuk sudut $45^{\circ}$ terhadap sumbu $x$. Salah satu vektor yang berada pada sumbu ini adalah $\vec{l}=(1,1)$.

Sebelumnya, kita telah menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ secara tunggal. Namun, jika kita melibatkan vektor $\vec{l}$, maka terdapat tak berhingga cara untuk menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$, $\vec{j}$, dan $\vec{l}$. Beberapa di antaranya adalah$$\begin{aligned}(4,3) &= 4(1,0) + 3(0,1) + 0 (1,1) = 4\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{l} \\(4,3) &= 3(1,0) + 2(0,1) + 1(1,1) = 3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{l} \\(4,3) &= 5(1,0) + 4(0,1)-1(1,1) = 5\vec{i}+4\vec{j}-\vec{l}\end{aligned}$$

Dengan menambahkan satu sumbu, kita memperoleh banyak koordinat untuk sebuah vektor. Ternyata, ini terjadi karena $\vec{l}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$, yaitu $\vec{l}=\vec{i}+\vec{j}$.

Misalkan $(c,d,e)$ adalah koordinat dari $(4,3) \in \mathbb{R}^2$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu tersebut. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(4,3) &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \vec{l} \\&= c\vec{i} + d\vec{j} + e(\vec{i}+\vec{j}) \\&= c\vec{i} + d\vec{j} + e\vec{i} + e\vec{j} \\&= (c+e)\vec{i}+(d+e)\vec{j}\end{aligned}$$

Karena $(4,3)=4\vec{i}+3\vec{j}$, maka haruslah$$\begin{aligned}c+e&=4 \\d+e&=3\end{aligned}$$

Mudah diperiksa bahwa sistem persamaan ini mempunyai tak berhingga solusi. Setiap solusi $(c,d,e)$ merupakan koordinat $(4,3)$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu di atas. Tentu saja, kita berusaha menghindari hal semacam ini. Nah, dari sini, kita mendefinisikan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

Definisi Himpunan Bebas Linear dan Bergantung Linear

Untuk himpunan $S$ yang hanya terdiri dari satu vektor, himpunan $S$ bebas linear jika dan hanya jika vektor tersebut tak nol.

Definisi di atas cukup efisien untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan bergantung linear. Cukup dengan menemukan satu vektor yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, maka himpunan tersebut sudah pasti bergantung linear. Sebagai contoh, misalkan $S=\{(1,2),(2,3),(-2,1),(4,3),(3,5)\}$. Karena $(3,5)$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $(1,2)$ dan $(2,3)$, maka himpunan tersebut bergantung linear.

Namun, bagaimana dengan $S=\{(1,2),(2,3),(-2,1),(4,3) \}$? Sebagai bocoran, himpunan ini juga bergantung linear. Namun, kita tidak dapat melihat secara langsung vektor mana yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya.

Cara yang lebih efisien untuk memeriksa apakah suatu himpunan bebas linear atau bergantung linear adalah menggunakan teorema berikut.

Teorema Untuk Memeriksa Himpunan Bebas Linear

Teorema berikut digunakan untuk memeriksa himpunan yang terdiri dari dua vektor.

Bukti. Misalkan $S=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$. Teorema ini berbentuk biimplikasi, sehingga perlu dibuktikan dari dua arah.

Dari Kiri. Diketahui $S$ bebas linear. Berdasarkan definisi, tidak ada vektor dalam $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya. Artinya, tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\vec{v}_1=k\vec{v}_2$ dan $\vec{v}_2=m\vec{v}_1$. Dengan demikian, $\vec{v}_1$ bukan kelipatan skalar dari $\vec{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Terbukti.

Dari Kanan. Diketahui bahwa tidak ada vektor dalam $S$ yang merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Artinya tidak ada skalar $k$ dan $m$ yang memenuhi $\vec{v}_1=k\vec{v}_2$ dan $\vec{v}_2=m\vec{v}_1$. Dengan kata lain, $\vec{v}_1$ bukan kombinasi linear dari $\vec{v}_2$ dan begitupun sebaliknya. Berdasarkan definisi, $S$ adalah himpunan bebas linear. Terbukti.

Teorema berikutnya berkaitan dengan keberadaan $\vec{0}$ pada suatu himpunan. Namun, perlu dicatat bahwa teorema berikut hanya berlaku pada himpunan berhingga.

Bukti. Misalkan $S$ adalah himpunan berhingga yang terdiri dari $r+1$ elemen, dengan $S=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r,\vec{0}\}$. Perhatikan bahwa$$\vec{0}=0\vec{v}_1+0\vec{v}_2+\ldots+0\vec{v_r}$$Artinya, $\vec{0}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Berdasarkan definisi, $S$ bergantung linear. Terbukti.

Bukti. Teorema di atas berbentuk biimplikasi, sehingga kita perlu membuktikannya dalam dua arah.

Dari Kiri. Kita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\vec{v}$. Karena $S$ bebas linear, maka haruslah $\vec{v} \neq \vec{0}$. Perhatikan bahwa persamaan vektor $k\vec{v}=\vec{0}$ hanya dipenuhi oleh skalar $k=0$. Terbukti.

Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, dengan $S=\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r \}, \: r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Andaikan persamaan vektor$$k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \ldots + k_r \vec{v}_r = \vec{0} \quad \ldots(1)$$mempunyai solusi non trivial. Artinya, di antara $k_1,k_2,\ldots,k_r$ terdapat skalar tak nol. Tanpa mengurangi perumumuan, misalkan $k_1 \neq 0$.

Karena $k_1 \neq 0$, maka persamaan $(1)$ dapat ditulis sebagai$$\vec{v}_1+\frac{k_2}{k_1} \vec{v}_2 + \ldots + \frac{k_r}{k_1} \vec{v}_r = \vec{0}$$yang berakibat$$\vec{v}_1 = \left(-\frac{k_2}{k_1} \right) \vec{v}_2 + \ldots + \left(-\frac{k_r}{k_1} \right) \vec{v}_r$$

Persamaan di atas menunjukkan bahwa $\vec{v}_1$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Berdasarkan definisi, himpunan $S$ bergantung linear. Kontradiksi. Jadi, persamaan $(1)$ hanya mempunyai solusi trivial.

Dari Kanan. Kita bagi menjadi dua kasus, berdasarkan banyak anggota dari $S$. Untuk kasus pertama, kita misalkan $S$ hanya beranggotakan satu vektor, sebutlah $\vec{v}$. Diketahui persamaan $k\vec{v}=0$ hanya dipenuhi oleh $k=0$, sehingga haruslah $\vec{v} \neq \vec{0}$. Akibatnya, himpunan $S$ bebas linear. Terbukti.

Untuk kasus kedua, kita misalkan $S$ beranggotakan lebih dari satu vektor, dengan $S=\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r \}, \: r \geq 2$. Kita akan menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Andaikan $S$ bergantung linear. Berdasarkan definisi, terdapat anggota $S$ yang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $\vec{v_1} \in S$ adalah vektor yang demikian, sehingga$$\vec{v}_1=c_2\vec{v}_2+\ldots+c_r\vec{v}_r, \quad \text{untuk suatu skalar } c_2,c_3,\ldots,c_r$$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai$$1\vec{v}_1+(-c_2)\vec{v}_2+\ldots+(-c_r)\vec{v}_r=\vec{0}$$

Akibatnya, persamaan vektor$$k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \ldots + k_r \vec{v}_r = \vec{0}$$dipenuhi oleh $k_1=1,k_2=-c_2,\ldots,k_r=-c_r$. Dengan kata lain, terdapat solusi non trivial. Kontradiksi. Jadi, $S$ adalah himpunan bebas linear. Terbukti.

Contoh Himpunan Bebas Linear dan Bergantung Linear

Berikut disajikan sebuah teorema yang dapat memudahkan penyelesaian soal untuk kasus tertentu.

Karena teorema di atas tidak berkaitan langsung dengan materi Himpunan Bebas Linear, maka buktinya diserahkan pada pembaca. :)

Sampai di sini kita telah membahas tiga teorema untuk memeriksa apakah suatu himpunan bebas linear. Agar lebih paham, mari mengerjakan beberapa contoh soal.

Contoh 1

Periksa apakah himpunan $S_1=\{(1,2),(2,5)\}$ bebas linear dalam ruang vektor $\mathbb{R}^2$.

Perhatikan bahwa $(1,2)$ bukan kelipatan skalar dari $(2,5)$ dan begitupun sebaliknya. Berdasarkan Teorema 1, himpunan $S$ bebas linear.

Contoh 2

Diketahui $V=\{(1,a) \mid a \in \mathbb{R} \}$. Pada $V$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.$$\begin{aligned}(1,u)+(1,v) &= (1,u+v) \\k(1,v) &= (1,kv)\end{aligned}$$Periksa apakah $S_2=\{(1,-2),(1,0),(1,2),(1,3)\}$ bebas linear dalam ruang vektor $V$.

Dapat dicek bahwa $V$ adalah ruang vektor dengan unsur nol $(1,0)$. Perhatikan bahwa $S_2$ adalah himpunan berhingga yang memuat $\vec{0}=(1,0)$. Berdasarkan Teorema 2, $S_2$ adalah himpunan bergantung linear.

Contoh 3

Diketahui $\vec{v}_1=(1,1,2)$, $\vec{v}_2=(1,0,1)$, dan $\vec{v_3}=(2,1,3)$. Periksa apakah $S_3=\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v_3} \}$ bebas linear dalam ruang vektor $\mathbb{R}^3$.

Untuk menentukan himpunan $S_3$ bebas linear atau tidak, perlu diperiksa apakah persamaan$$k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v_3} = \vec{0} \quad \ldots (1)$$hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v_3} &= \vec{0} \\k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\(k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\(k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0)\end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$, diperoleh$$\begin{aligned}k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\k_1 + k_3 &= 0 \\2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0\end{aligned}$$

Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah$$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\end{bmatrix}$$Karena $A$ matriks persegi, maka kita dapat menggunakan Teorema 4. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\text{det}(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 1 \\&= 0 + 2 + 2-0-1-3 \\&= 0\end{aligned}$$Karena $\text{det}(A)=0$, maka berdasarkan Teorema 4, persamaan $(1)$ mempunyai solusi non trivial. Akibatnya, himpunan $S_3$ bergantung linear.

Contoh 4

Diketahui $p_1=1+x+x^2$, $p_2= 1+x^2$, dan $p_3= 1+2x$. Periksa apakah $S_4=\{p_1,p_2,p_3\}$ merupakan himpunan bebas linear dalam $P_2$.

Untuk menentukan apakah $S_4$ bebas linear atau tidak, perlu diperiksa apakah persamaan$$k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3 = \vec{0} \quad \ldots (2)$$hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3 &= 0 \\k_1 (1+x+x^2) + k_2 (1+x^2) + k_3 (1+2x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\(k_1+k_1x+k_1x^2) + (k_2+k_2x^2) + (k_3+2k_3x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\(k_1 + k_2 + k_3) + (k_1 + 2k_3)x + (k_1 + k_2)x^2 &= 0 + 0x + 0x^2\end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+k_2+k_3 &= 0 \\k_1+2k_3 &= 0 \\k_1+k_2 &= 0\end{aligned}$$

Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah$$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$Perhatikan bahwa $A$ adalah matriks persegi, dengan$$\begin{aligned}\text{det}(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot 1-0 \cdot 1 \cdot 1 \\&= 0+2+1-0-2-0 \\&= 1\end{aligned}$$

Karena $\text{det}(A)=1 \neq 0$, maka berdasarkan Teorema 4, persamaan $(2)$ hanya mempunyai solusi trivial. Akibatnya, himpunan $S_4$ bebas linear.

Contoh 5

Misalkan$$A=\begin{bmatrix}-1&3\\2&1\end{bmatrix}, \: B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}, \: C=\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix}$$Periksa apakah $S_5=\{A,B,C\}$ bebas linear dalam ruang vektor $\text{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.

Untuk menentukan apakah $S_5$ bebas linear atau tidak, perlu diperiksa apakah persamaan$$k_1A + k_2B + k_3C = 0 \quad \ldots (3)$$hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}k_1\begin{bmatrix}-1&3\\2&1\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} \\\begin{bmatrix}-k_1-k_3&3k_1+k_2+k_3\\2k_1+k_3&k_1+k_2\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}-k_1-k_3 &= 0 \\3k_1+k_2+k_3 &= 0 \\2k_1+k_3 &= 0\\k_1+k_2 &= 0\end{aligned}$$Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas bukan matriks persegi, sehingga Teorema 4 tidak dapat digunakan. Karena itu, kita perlu menentukan solusi sistem persamaan $(3)$. Misalnya, menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan.

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&0&1&0\\3&1&1&0\\2&0&1&0\\1&1&0&0\end{bmatrix}$$Dengan serangkaian operasi baris elementer, diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas, yaitu$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$

Terlihat bahwa $k_1=k_2=k_3=0$, sehingga persamaan $(3)$ hanya mempunyai solusi trivial. Jadi, $S_5$ adalah himpunan bebas linear.

Referensi

Materi ini disusun berdasarkan pengalaman penulis selama belajar Aljabar Linear, dengan memperhatikan sumber berikut.
Elementary Linear Algebra 11th Edition by Howard Anton and Chris Rorres