Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita bisa menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu, kemudian menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diminta. Akan tetapi, cara ini terbilang tidak efisien, apalagi jika akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui memuat bilangan imajiner.

Untuk memudahkan, kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar atau dengan melakukan substitusi. Cara pertama selalu dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti ini, sedangkan substitusi hanya bisa dilakukan jika akar pertama dan akar kedua memiliki pola yang sama.

Contoh 1

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$ dengan akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Bentuklah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.

Pembahasan

Cara 1
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh$$\begin{aligned}x_1 + x_2 = 1 \\x_1 \cdot x_2 = 3\end{aligned}$$Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $\alpha$ dan $\beta$, dengan $\alpha = x_1 +2$ dan $\beta = x_2 +2$

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah$$\begin{aligned}\alpha + \beta &= (x_1 +2) + (x_2 +2) \\&= (x_1 + x_2) +4 \\&= 1 + 4 \\&= 5\end{aligned}$$Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah$$\begin{aligned}\alpha \cdot \beta &= (x_1 +2) \cdot (x_2 +2) \\&= x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 +x_2) +4 \\&= 3+2 \cdot 1 +4 \\&= 9\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $x^2 -5x+9=0$.

Cara 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$. Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.

Jika $x$ merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan $y=x+2$ yang berakibat $x=y-2$. Substitusi $x=y-2$ ke persamaan kuadrat semula.$$\begin{aligned}x^2 -x+3 &= 0 \\(y-2)^2 -(y-2)+3 &= 0 \\(y^2 -4y+4) -(y-2)+3 &= 0 \\y^2 -5y+9 &= 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $y^2 -5y+9=0$.

Contoh 2

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$ dengan akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Bentuklah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat di atas.

Pembahasan

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah$$\begin{aligned}\alpha + \beta &= {x_1}^2 + {x_2}^2 \\&= (x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2 \\&= 1^2 - 2 \cdot 3 \\&= -5\end{aligned}$$Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah$$\begin{aligned}\alpha \cdot \beta &= {x_1}^2 \cdot {x_2}^2 \\&= (x_1 \cdot x_2)^2 \\&= 3^2 \\&=9\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $x^2 +5x+9=0$.

Cara 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, yaitu kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$. Karenanya, kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.

Jika x merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan $y=x^2$ yang berakibat $x= \sqrt{y}$. Substitusi $x= \sqrt{y}$ ke persamaan kuadrat semula.$$\begin{aligned}x^2 -x+3 &= 0 \\(\sqrt{y})^2 -(\sqrt{y})+3 &= 0 \\y - \sqrt{y} +3 &= 0 \\y+3 &= \sqrt{y}\end{aligned}$$

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh$$\begin{aligned}(y+3)^2 &= (\sqrt{y})^2 \\y^2 +6y+9 &= y \\y^2 +5y+9 &= 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $y^2 +5y+9=0$.

Contoh 3

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$ dengan akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Bentuklah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{x_1 -2}$ dan $\frac{1}{x_2 -2}$.

Pembahasan

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah$$\begin{aligned}\alpha + \beta &= \frac{1}{x_1 -2} + \frac{1}{x_2 -2} \\&=\frac{(x_1 -2)+(x_2 -2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)} \\&= \frac{(x_1 +x_2) -4}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\&= \frac{1 -4}{3 -2 \cdot 1 +4} \\&= - \frac{3}{5}\end{aligned}$$Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah$$\begin{aligned}\alpha \cdot \beta &= \frac{1}{x_1 -2} \cdot \frac{1}{x_2 -2} \\&= \frac{1}{x_1 \cdot x_2 -2(x_1 +x_2) +4} \\&= \frac{1}{3 -2 \cdot 1 +4} \\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $x^2 + \frac{3}{5} x+ \frac{1}{5} =0$.

Cara 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pola yang sama, sehingga kita bisa menyelesaikan soal ini dengan substitusi.

Jika $x$ merupakan akar persamaan kuadrat yang lama, maka akar persamaan baru dapat kita misalkan dengan $y=\frac{1}{x-2}$ atau $x= \frac{1}{y} +2$. Substitusi $x= \frac{1}{y} +2$ ke persamaan kuadrat semula.$$\begin{aligned}\left( \frac{1}{y} +2 \right) ^2 - \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\\left( \frac{1}{y^2} + \frac{4}{y} +4 \right) - \left( \frac{1}{y} +2 \right) +3 &= 0 \\\frac{1}{y^2} + \frac{3}{y} +5 &= 0\end{aligned}$$

Kalikan kedua ruas dengan $y^2$, sehingga diperoleh $5y^2 +3y +1=0$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $5y^2 +3y +1=0$.

Contoh 4

Diketahui persamaan kuadrat $x^2 -x+3=0$ dengan akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Bentuklah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{x_1}{x_2}$ dan $\frac{x_2}{x_1}$.

Pembahasan

Terlihat bahwa akar pertama dan akar kedua dari persamaan kuadrat baru tidak memiliki pola yang sama, sehingga soal ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi. Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, diperoleh$$\begin{aligned}x_1 + x_2 = 1 \\x_1 \cdot x_2 = 3\end{aligned}$$Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $\alpha$ dan $\beta$, dengan $\alpha = \frac{x_1}{x_2}$ dan $\beta = \frac{x_2}{x_1}$.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah$$\begin{aligned}\alpha + \beta &= \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \\&= \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2}{x_1 \cdot x_2} \\&= \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} \\&= \frac{1^2 - 2 \cdot 3}{3} \\&= - \frac{5}{3}\end{aligned}$$Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah$$\begin{aligned}\alpha \cdot \beta = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1\end{aligned}$$Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah $x^2 + \frac{5}{3} x+ 1=0$.