Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal Struktur Aljabar dalam ON MIPA-PT Matematika Tahun 2017. Soal Struktur Aljabar terdiri dari empat soal isian singkat dan dua soal uraian. Tulisan ini dikhususkan untuk soal isian singkat.

Tulisan ini adalah bagian dari seri Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika. Jadi, setelah membaca tulisan ini, pastikan anda mengetuk tautan tersebut. Di sana tersedia pembahasan soal-soal ON MIPA-PT lainnya.

Nomor 1

Banyaknya unit di ring $\mathbb{Z}_{2^n}$ adalah ...

Pembahasan

Unit pada ring $\mathbb{Z}_{2^n}$ adalah unsur-unsur yang relatif prima dengan $2^n$. Karena $2^n$ habis dibagi 2, maka unsur yang bernilai genap bukanlah unit. Sebaliknya, unsur-unsur dari$$Z_{2^n}=\{0,1,2,\ldots,2^n-1\}$$yang bernilai ganjil merupakan unit. Jadi, kita perlu menghitung berapa unsur bernilai ganjil dari $\mathbb{Z}_{2^n} $. Suku-suku ganjil adalah anggota dari barisan $1,3,5,\ldots,2^n-1$.

Tambahkan setiap suku barisan di atas dengan 1, diperoleh$$2,4,6,\ldots,2^n$$Berikutnya, bagi setiap suku dengan 2.$$1,2,3,\ldots,2^{n-1}$$Banyak suku barisan ini jelas sama dengan banyak suku barisan semula, yaitu $2^{n-1}$. Dengan demikian, banyak unit di ring $\mathbb{Z}_{2^n}$ adalah $2^{n-1}$.

Nomor 2

Misalkan $S_5$ adalah grup permutasi atas $\{1,2,3,4,5\}$. Banyaknya unsur berorde 2 di $S_5$ adalah ...

Pembahasan

Kita menggunakan teorema-teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan $S_n$ adalah grup permutasi dengan $n \geq 2$. Setiap unsur dari $S_n$, selain identitas, dapat ditulis secara tunggal sebagai putaran atau hasil kali beberapa putaran saling lepas, dengan panjang setiap putaran minimal 2.

Teorema 2

Jika $\pi \in S_n$ adalah putaran dengan panjang $k$, maka order dari $\pi$ adalah $k$.

Teorema 3

Misalkan $\pi \in S_n$ dapat ditulis sebagai hasil kali putaran-putaran saling lepas dengan panjang $m_1,m_2,\ldots,m_k$. Order dari $\pi$ adalah kelipatan persekutuan terkecil dari $m_1,m_2,\ldots,m_k$.

Berdasarkan Teorema 1, setiap unsur di $S_5$ dapat ditulis sebagai putaran atau hasil kali beberapa putaran saling lepas, dengan panjang minimal 2. Panjang suatu putaran menentukan order dari putaran tersebut (Teorema 2), sehingga unsur berorder 2 di $S_5$ tidak mungkin tersusun dari putaran dengan order lebih dari 2. Lebih lanjut, setiap unsur berorder 2 dapat ditulis sebagai transposisi (putaran dengan panjang $2$) atau hasil kali dua transposisi (karena $\text{kpk}(2,2)=2$).

Kasus I. Misalkan $\pi \in S_5$ dapat ditulis sebagai transposisi $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}$, dengan $a,b \in \{1,2,3,4,5\}$. Untuk membentuk sebuah transposisi, kita perlu memilih 2 dari 5 unsur yang tersedia. Karena $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b&a \end{pmatrix}$, maka pemilihan tersebut tidak memperhatikan urutan. Jadi, banyaknya transposisi yang mungkin adalah $\binom{5}{2}=10$.

Kasus II. Misalkan $\pi \in S_5$ dapat ditulis sebagai hasil kali dua transposisi $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c&d \end{pmatrix}$, dengan $a,b,c,d \in \{1,2,3,4,5\}$. Untuk membentuk $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}$, kita memilih 2 dari 5 unsur yang tersedia. Sedangkan untuk memilih $\begin{pmatrix} c&d \end{pmatrix}$, kita memilih 2 dari 3 unsur yang tersisa. Sehingga secara keseluruhan, terdapat $\binom{5}{2} \binom{3}{2}=10 \cdot 3=30$.

Perhatikan bahwa$$\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}$$Akibatnya, kita perlu membagi hasil sebelumnya dengan $2!$. Jadi, banyaknya permutasi yang mungkin adalah $\frac{30}{2!}=15$.

Berdasarkan kedua kasus di atas, banyaknya unsur berorder 2 di $S_5$ adalah $10+15=25$.

Nomor 3

Banyaknya subgrup dari $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ berorde 4 adalah ...

Pembahasan

Diketahui $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ dan $\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}$. Kita kelompokkan setiap anggota $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ dengan inversnya masing-masing.$$\begin{aligned}&\{(0,0)\} \\&\{(0,1),(0,3)\} \\&\{(0,2)\} \\&\{(1,0)\} \\&\{(1,1),(1,3)\} \\&\{(1,2)\}\end{aligned}$$

Kita akan membentuk subgrup yang terdiri dari 4 unsur. Apapun pilihan anggotanya, sifat asosiatif pasti diturunkan dari grup $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$. Subgrup yang dibentuk harus memuat unsur identitas, yaitu $(0,0)$. Sehingga kita perlu memilih 3 unsur lainnya, dengan mempertimbangkan keterpenuhan sifat tertutup dan keberadaan invers.

Dengan mempertimbangkan keberadaan invers, ada dua cara memilih anggota yang tersisa. Pertama, tiga unsur yang inversnya adalah dirinya sendiri. Kedua, sebuah unsur yang inversnya adalah unsur lain dan sebuah unsur yang inversnya adalah dirinya sendiri.

Hanya ada satu kemungkinan untuk cara pertama, yaitu memilih $(0,2),(1,0),(1,2)$. Perhatikan bahwa$$\{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}$$memenuhi sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Jadi, himpunan ini adalah salah satu subgrup berorder 4 dari $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$.

Untuk cara kedua, ada beberapa kemungkinan$$\begin{aligned}\textcolor{blue}{\{(0,1),(0,3),(0,2)\}} \\\{(0,1),(0,3),(1,0)\} \\\{(0,1),(0,3),(1,2)\} \\\textcolor{blue}{\{(1,1),(1,3),(0,2)\}} \\\{(1,1),(1,3),(1,0)\} \\\{(1,1),(1,3),(1,2)\}\end{aligned}$$Di antara himpunan di atas, ada dua yang memenuhi sifat tertutup (ditandai dengan warna biru). Jadi, terdapat dua subgrup berorder 4 untuk kasus 2.

Berdasarkan kedua kasus di atas, banyaknya subgrup berorder 4 dari $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ adalah $1+2=3$.

Nomor 4

Misalkan $\mathbb{F}_2$ adalah lapangan (field) dengan dua unsur. Semua polinom tereduksi berderajat 5 di $\mathbb{F}_2[x]$ yang tidak memiliki akar adalah ...

Pembahasan

Misalkan $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ dan $p(x)$ adalah polinom tereduksi berderajat 5 di $\mathbb{F}_2[x]$ yang tidak memiliki akar. Tulis $p(x)$ sebagai $q(x) \cdot r(x)$, untuk suatu $q(x),r(x) \in \mathbb{F}_2[x]$.

Perhatikan bahwa polinom dengan faktor linear pasti memiliki akar. Jadi, $q(x)$ dan $r(x)$ bukan faktor linear. Akibatnya salah satu dari $q(x)$ dan $r(x)$ merupakan polinom berderajat 2 dan yang lain merupakan polinom berderajat 3. Tanpa mengurangi perumuman, misalkan $q(x)$ berderajat 2 dan $r(x)$ berderajat 3.

Jika $q(x)$ tereduksi maka faktornya pasti linear. Namun, ini berakibat $p(x)$ mempunyai akar. Jadi, $q(x)$ haruslah polinom tidak tereduksi. Satu-satunya polinom tidak tereduksi berderajat 2 di $\mathbb{F}_2$ adalah $x^2+x+1$.

Jika $r(x)$ tereduksi maka salah satu faktornya pasti linear. Sehingga, $r(x)$ haruslah polinom tidak tereduksi. Terdapat dua polinom tidak tereduksi berderajat 3 di $\mathbb{F}_2[x]$, yaitu $x^3+x^2+1$ dan $x^3+x+1$.

Jadi, polinom tereduksi berderajat 5 di $\mathbb{F}_2[x]$ yang tidak memiliki akar adalah $(x^2+x+1)(x^3+x^2+1)$ dan $(x^2+x+1)(x^3+x+1)$.

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau anda punya solusi yang berbeda, silakan beritahu melalui komentar.