KimiaMath

Sifat Aljabar pada Himpunan Bilangan Real

Oleh Aiz — 20 Juni 2019

Kategori: Analisis Real

Sifat Aljabar pada Himpunan Bilangan Real

Sifat aljabar atau sering disebut aksioma lapangan pada bilangan real merupakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh himpunan bilangan real sebagai lapangan terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian. Sifat-sifat yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Sifat

(A1) Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap $a,b \in \mathbb{R}$, berlaku $a+b=b+a$.
(A2) Sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{R}$ berlaku $a+(b+c)=(a+b)+c$.
(A3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.
Terdapat $0 \in \mathbb{R}$, sehingga untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ berlaku $a+0=0+a=a$.
(A4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap $a \in \mathbb{R}$, terdapat $-a \in \mathbb{R}$ sehingga $a+(-a)=(-a)+a=0$.
(M1) Sifat komutatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap $a,b \in \mathbb{R}$, berlaku $a \cdot b=b \cdot a$.
(M2) Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{R}$ berlaku $a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$.
(M3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi perkalian.
Terdapat $1 \in \mathbb{R}$, di mana $1 \neq 0$, sehingga untuk setiap $a \in \mathbb{R}$ berlaku $a \cdot 1=1 \cdot a=a$.
(M4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap $a \neq 0 \in \mathbb{R}$, terdapat $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$ sehingga $a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1$.
(D) Sifat Distributif.
Untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{R}$ berlaku $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ dan $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Sifat aljabar yang ditandai dengan huruf A menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan (addition), sedangkan huruf M menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi perkalian (multiplication). Adapun D menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema pada himpunan bilangan real. Kita akan membahas beberapa di antaranya. Kita mulai dengan membahas teorema yang berkaitan dengan operasi penjumlahan.

Teorema 1

Misalkan $x,y \in \mathbb{R}$.
a. Jika $x+y=x$ maka $y=0$.
b. Jika $x+y=0$ maka $y=-x$.
c. $-(-x)=x$

Bukti

Bagian a
Ambil sebarang $x,y \in \mathbb{R}$, dengan $x+y=x$. Akan dibuktikan bahwa $y=0$.

Berdasarkan A3, kita dapat menulis $y=0+y$. Kita akan menggunakan hipotesis $x+y=0$, namun pada persamaan terakhir belum ada unsur $x$, yang ada hanya unsur $y$. Untuk itu, kita perlu memunculkan unsur $x$ dengan bantuan sifat A4, yaitu $0=-x+x$. Diperoleh $$y=(-x+x)+y$$ Berdasarkan A2, diperoleh $$y=-x+(x+y)$$ Diketahui $x+y=x$, sehingga persamaan menjadi $$y=-x+x$$ Berdasarkan A4, diperoleh $$y=0$$ Terbukti.

Bagian b
Ambil sebarang $x,y \in \mathbb{R}$, dengan $x+y=0$. Akan dibuktikan bahwa $y=-x$.

Berdasarkan A3, kita dapat menulis $y=0+y$. Serupa dengan bagian a, kita akan menggunakan hipotesis $x+y=0$. Namun pada persamaan terakhir, belum ada unsur $x$. Kita munculkan unsur $x$ dengan bantuan sifat A4, yaitu $0=-x+x$. Diperoleh $$y=(-x+x)+y$$ Berdasarkan A2, diperoleh $$y=-x+(x+y)$$ Diketahui $x+y=0$, sehingga persamaan menjadi $$y=-x+0$$ Berdasarkan A3, diperoleh $$y=-x$$ Terbukti.

Bagian c
Ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan bahwa $-(-x)=x$.

Sebelum membuktikan $-(-x)=x$, kita perlu memahami makna teorema 1b. Jika jumlah dua bilangan bernilai 0, maka bilangan yang satu merupakan invers penjumlahan dari bilangan yang lain. Pada teorema 1c, kita dapat memandang $x$ sebagai invers penjumlahan dari $-x$. Jika kita berhasil menunjukkan bahwa $(-x)+x=0$, maka kita dapat menggunakan teorema 1b untuk membuktikan bahwa $x=-(-x)$. Yang jadi pertanyaan, apakah $(-x)+x=0$ merupakan pernyataan yang bernilai benar? Tentu saja, ini merupakan sifat A4. Jadi, bukti ini kita mulai dengan sifat A4.

Berdasarkan sifat A4, diperoleh $(-x)+x=0$. Dengan memanfaatkan teorema 1b, diperoleh $x=-(-x)$. Terbukti.

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan operasi perkalian.

Teorema 2

Misalkan $x,y \in \mathbb{R}$.
a. Jika $x \cdot y=x$ maka $y=1$.
b. Jika $x \cdot y=1$ maka $y=\frac{1}{x}$.
c. $\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$

Bukti

Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema 2 serupa dengan ide pada teorema 1. Jadi, saya tidak menuliskan penjelasan secara rinci pada bagian ini.

Bagian a
Ambil sebarang $x,y \in \mathbb{R}$, dengan $x \cdot y=x$. Akan dibuktikan bahwa $y=1$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot x &[\text{Diketahui}]\\ &= 1 &[\text{M4}] \end{aligned}$$

Bagian b
Ambil sebarang $x,y \in \mathbb{R}$, dengan $x \cdot y=1$. Akan dibuktikan bahwa $y=\frac{1}{x}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot 1 &[\text{Diketahui}]\\ &= \frac{1}{x} &[\text{M3}] \end{aligned}$$

Bagian c
Ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan bahwa $\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$. Berdasarkan M3, diperoleh $$\frac{1}{x} \cdot x=1$$ Dengan menggunakan teorema 2b, diperoleh $$x=\frac{1}{\frac{1}{x}}$$

Teorema 3

Misalkan $x,y \in \mathbb{R}$.
a. $0 \cdot x=0$.
b. Jika $x \cdot y=0$ maka $x=0$ atau $y=0$.

Bukti

Bagian a
Ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$. Akan dibuktikan bahwa $0 \cdot x=0$.

Sebelum membuktikan teorema ini, kita perlu memahami makna teorema 1a. Jika suatu bilangan real $x$ dijumlahkan dengan bilangan real lain dan hasilnya tetap $x$, maka bilangan yang ditambahkan tadi merupakan unsur identitas, yaitu 0. Pada teorema 3a ini, $0 \cdot x$ bernilai sama dengan unsur identitas. Jadi, untuk membuktikan bahwa $0 \cdot x = 0$, kita cukup menunjukkan bahwa $x+0 \cdot x=x$.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x + 0 \cdot x &= 1 \cdot x + 0 \cdot x \quad &[\text{M3}] \\ &= (1+0) \cdot x &[\text{D}] \\ &= 1 \cdot x &[\text{A3}] \\ &= x &[\text{M3}] \end{aligned}$$ Diperoleh $x+0 \cdot x=x$. Berdasarkan teorema 1a, diperoleh $0 \cdot x = 0$. Terbukti.

Bagian b
Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi. Agar lebih jelas, kita misalkan $p$ sebagai pernyataan $x \cdot y=0$, $q$ sebagai pernyataan $x=0$, dan $r$ sebagai pernyataan $y=0$. Jika dinyatakan dalam $p$, $q$, dan $r$, teorema ini dapat ditulis sebagai $p \Rightarrow (q \vee r)$. Ingkaran dari pernyataan ini adalah $p \wedge (\bar{q} \wedge \bar{r})$.

Andaikan pernyataan pada teorema ini salah, sehingga ingkarannya bernilai benar, yaitu $$x \cdot y=0 \text{ tetapi } x \neq 0 \text{ dan } y \neq 0$$ Berdasarkan M3 diperoleh $$y=1 \cdot y$$

Diketahui $x \neq 0$. Berdasarkan M4, terdapat $\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$ sehingga $\frac{1}{x} \cdot x=1$. Akibatnya $$\begin{aligned} y &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &\text{[M4]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &\text{[M2]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot 0 &\text{[Diketahui]} \\ &= 0 &\text{[Teorema 3a]} \end{aligned}$$ Diperoleh $y=0$. Terjadi kontradiksi. Dengan demikian, terbukti bahwa "Jika $x \cdot y=0$ maka $x=0$ atau $y=0$".

Komentar