Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}
\end{align*}

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 +bx+c=0\) adalah

\begin{align*}
x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
x_2 &= \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{align*}

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{-2b}{2a} \\
&= – \frac{b}{a}
\end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b – \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
&= \frac{(-b)^2 – (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\
&= \frac{b^2 – (b^2 -4ac)}{4a^2} \\
&= \frac{4ac}{4a^2} \\
&= \frac{c}{a}
\end{align*}

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat \(2x^2 -4x +3=0\). Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-4\), dan \(c=3\). Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan \(x_1\) dan \(x_2\). Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2}
\end{align*}

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah \(2\) dan \(\frac{3}{2}\).

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 -(2p+1)x+p=0\) merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui \(a=2\), \(b=-2p-1\), dan \(c=p\).
Misalkan akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\). Karena akar-akarnya berkebalikan, maka \(x_2 = \frac{1}{x_1}\).

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\
x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\
1 &= \frac{p}{2} \\
p &= 2
\end{align*}

Diperoleh \(p=2\). Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{(-2p-1)}{2} \\
&= \frac{2p+1}{2}
\end{align*}

Karena \(p=2\), maka diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}

CONTOH 3
Persamaan kuadrat \(px^2 -(p+1)x+1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui \(a=p\), \(b=p-1\), \(c=1\), dan \(x_2=2 x_1\). Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= – \frac{b}{a} \\
x_1 + 2 x_1 &= – \frac{(-p-1)}{p} \\
3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\
x_1 &= \frac{p+1}{3p}
\end{align*}

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh
\begin{align*}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\
x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\
2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\
{x_1}^2 &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Substitusi nilai \(x_1\) yang diperoleh, pada persamaan di atas.
\begin{align*}
\left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\
\frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p}
\end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan \(18p^2\), sehingga diperoleh
\begin{align*}
2p^2 +4p+2 &= 9p \\
2p^2 -5p+2 &= 0
\end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂

One thought on “Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *