Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax^2 +bx+c=0 adalah x_1 dan x_2, maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \end{align*}

PENURUNAN RUMUS
Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat ax^2 +bx+c=0 adalah

    \begin{align*} x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \end{align*}

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2b}{2a} \\ &= - \frac{b}{a} \end{align*}

Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah

    \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ &= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\ &= \frac{b^2 - (b^2 -4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{4ac}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{align*}

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
CONTOH 1
Diketahui persamaan kuadrat 2x^2 -4x +3=0. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

SOLUSI
Diketahui a=2, b=-4, dan c=3. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan x_1 dan x_2. Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh.

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2} \end{align*}

Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah 2 dan \frac{3}{2}.

CONTOH 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat 2x^2 -(2p+1)x+p=0 merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

SOLUSI
Diketahui a=2, b=-2p-1, dan c=p.
Misalkan akar-akarnya x_1 dan x_2. Karena akar-akarnya berkebalikan, maka x_2 = \frac{1}{x_1}.

Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh

    \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\ x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\ 1 &= \frac{p}{2} \\ p &= 2 \end{align*}

Diperoleh p=2. Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= - \frac{(-2p-1)}{2} \\ &= \frac{2p+1}{2} \end{align*}

Karena p=2, maka diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\ &= \frac{5}{2} \end{align*}

CONTOH 3
Persamaan kuadrat px^2 -(p+1)x+1=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

SOLUSI
Diketahui a=p, b=p-1, c=1, dan x_2=2 x_1. Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh

    \begin{align*} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} \\ x_1 + 2 x_1 &= - \frac{(-p-1)}{p} \\ 3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\ x_1 &= \frac{p+1}{3p} \end{align*}

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh

    \begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\ x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\ 2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\ {x_1}^2 &= \frac{1}{2p} \end{align*}

Substitusi nilai x_1 yang diperoleh, pada persamaan di atas.

    \begin{align*} \left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\ \frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p} \end{align*}

Kalikan kedua ruas dengan 18p^2, sehingga diperoleh

    \begin{align*} 2p^2 +4p+2 &= 9p \\ 2p^2 -5p+2 &= 0 \end{align*}

Semoga bermanfaat. 🙂