KimiaMath

Sifat aljabar atau sering disebut aksioma lapangan pada bilangan real merupakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh himpunan bilangan real sebagai lapangan terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian. Sifat-sifat yang dimaksud adalah sebagai berikut

(A1) Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a,b \in \mathbb{R}, berlaku a+b=b+a.
(A2) Sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a+(b+c)=(a+b)+c.
(A3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.
Terdapat 0 \in \mathbb{R}, sehingga untuk setiap a \in \mathbb{R} berlaku a+0=0+a=a.
(A4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a \in \mathbb{R}, terdapat -a \in \mathbb{R} sehingga a+(-a)=(-a)+a=0.
(M1) Sifat komutatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a,b \in \mathbb{R}, berlaku a \cdot b=b \cdot a.
(M2) Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c.
(M3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi perkalian.
Terdapat 1 \in \mathbb{R}, di mana 1 \neq 0, sehingga untuk setiap a \in \mathbb{R} berlaku a \cdot 1=1 \cdot a=a.
(M4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a \neq 0 \in \mathbb{R}, terdapat \frac{1}{a} \in \mathbb{R} sehingga a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1.
(D) Sifat Distributif.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.

Sifat aljabar yang ditandai dengan huruf A menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan (addition), sedangkan huruf M menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi perkalian (multiplication). Adapun D menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema pada himpunan bilangan real. Kita akan membahas beberapa di antaranya. Kita mulai dengan membahas teorema yang berkaitan dengan operasi penjumlahan.

Teorema 1

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. Jika x+y=x maka y=0.
b. Jika x+y=0 maka y=-x.
c. -(-x)=x

BUKTI
Bagian a
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x+y=x. Akan dibuktikan bahwa y=0.
Berdasarkan A3, kita dapat menulis y=0+y. Kita akan menggunakan hipotesis x+y=0, namun pada persamaan terakhir belum ada unsur x, yang ada hanya unsur y. Untuk itu, kita perlu memunculkan unsur x dengan bantuan sifat A4, yaitu 0=-x+x. Diperoleh

    \[y=(-x+x)+y\]

Berdasarkan A2, diperoleh

    \[y=-x+(x+y)\]

Diketahui x+y=x, sehingga persamaan menjadi

    \[y=-x+x\]

Berdasarkan A4, diperoleh

    \[y=0\]

Terbukti.

Bagian b
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x+y=0. Akan dibuktikan bahwa y=-x.
Berdasarkan A3, kita dapat menulis y=0+y. Serupa dengan bagian a, kita akan menggunakan hipotesis x+y=0. Namun pada persamaan terakhir, belum ada unsur x. Kita munculkan unsur x dengan bantuan sifat A4, yaitu 0=-x+x. Diperoleh

    \[y=(-x+x)+y\]

Berdasarkan A2, diperoleh

    \[y=-x+(x+y)\]

Diketahui x+y=0, sehingga persamaan menjadi

    \[y=-x+0\]

Berdasarkan A3, diperoleh

    \[y=-x\]

Terbukti.

Bagian c
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa -(-x)=x.

Sebelum membuktikan -(-x)=x, kita perlu memahami makna teorema 1b. Jika jumlah dua bilangan bernilai 0, maka bilangan yang satu merupakan invers penjumlahan dari bilangan yang lain. Pada teorema 1c, kita dapat memandang x sebagai invers penjumlahan dari -x. Jika kita berhasil menunjukkan bahwa (-x)+x=0, maka kita dapat menggunakan teorema 1b untuk membuktikan bahwa x=-(-x). Yang jadi pertanyaan, apakah (-x)+x=0 merupakan pernyataan yang bernilai benar? Tentu saja, ini merupakan sifat A4. Jadi, bukti ini kita mulai dengan sifat A4.

Berdasarkan sifat A4, diperoleh (-x)+x=0. Dengan memanfaatkan teorema 1b, diperoleh x=-(-x).
Terbukti.

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan operasi perkalian

Teorema 2

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. Jika x \cdot y=x maka y=1.
b. Jika x \cdot y=1 maka y=\frac{1}{x}.
c. \frac{1}{\frac{1}{x}}=x

BUKTI
Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema 2 serupa dengan ide pada teorema 1. Jadi, saya tidak menuliskan penjelasan secara rinci pada bagian ini.

Bagian a
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x \cdot y=x. Akan dibuktikan bahwa y=1. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot x &[\text{Diketahui}]\\ &= 1 &[\text{M4}] \end{align*}

Bagian b
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x \cdot y=1. Akan dibuktikan bahwa y=\frac{1}{x}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot 1 &[\text{Diketahui}]\\ &= \frac{1}{x} &[\text{M3}] \end{align*}

Bagian c
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa \frac{1}{\frac{1}{x}}=x.
Berdasarkan M3, diperoleh

    \[\frac{1}{x} \cdot x=1\]

Dengan menggunakan teorema 2b, diperoleh

    \[x=\frac{1}{\frac{1}{x}}\]

Teorema 3

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. 0 \cdot x=0.
b. Jika x \cdot y=0 maka x=0 atau y=0.

BUKTI
Bagian a
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa 0 \cdot x=0.

Sebelum membuktikan teorema ini, kita perlu memahami makna teorema 1a. Jika suatu bilangan real x dijumlahkan dengan bilangan real lain dan hasilnya tetap x, maka bilangan yang ditambahkan tadi merupakan unsur identitas, yaitu 0. Pada teorema 3a ini, 0 \cdot x bernilai sama dengan unsur identitas. Jadi, untuk membuktikan bahwa 0 \cdot x = 0, kita cukup menunjukkan bahwa x+0 \cdot x=x.

Perhatikan bahwa

    \begin{align*} x + 0 \cdot x &= 1 \cdot x + 0 \cdot x \quad &[\text{M3}] \\ &= (1+0) \cdot x &[\text{D}] \\ &= 1 \cdot x &[\text{A3}] \\ &= x &[\text{M3}] \end{align*}

Diperoleh x+0 \cdot x=x. Berdasarkan teorema 1a, diperoleh 0 \cdot x = 0.
Terbukti.

Bagian b
Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi. Agar lebih jelas, kita misalkan p sebagai pernyataan x \cdot y=0, q sebagai pernyataan x=0, dan r sebagai pernyataan y=0. Jika dinyatakan dalam p, q, dan r, teorema ini dapat ditulis sebagai p \Rightarrow (q \vee r). Ingkaran dari pernyataan ini adalah p \wedge (\bar{q} \wedge \bar{r}).

Andaikan pernyataan pada teorema ini salah, sehingga ingkarannya bernilai benar, yaitu

    \[x \cdot y=0 \text{ tetapi } x \neq 0 \text{ dan } y \neq 0\]

Berdasarkan M3 diperoleh

    \[y=1 \cdot y\]

Diketahui x \neq 0. Berdasarkan M4, terdapat \frac{1}{x} \in \mathbb{R} sehingga \frac{1}{x} \cdot x=1. Akibatnya

    \begin{align*} y &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &\text{[M4]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &\text{[M2]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot 0 &\text{[Diketahui]} \\ &= 0 &\text{[Teorema 3a]} \end{align*}

Diperoleh y=0. Terjadi kontradiksi.
Dengan demikian, terbukti bahwa “Jika x \cdot y=0 maka x=0 atau y=0“.

Semoga bermanfaat. 🙂

Terdapat 2 Komentar

Alif Rezky

15 Agustus 2018 pada 10:51

Masya Allah, jazakallahu khairan atas ilmunya, sangat bermanfaat untuk memahami tentang sifat aljabar. Tetap semangat utk menulis dan menjelaskan matematika agar mudah dipahami oleh semua orang

Agung Izzul Haq

18 Agustus 2018 pada 08:19

Alhamdulillah. 🙂

Tinggalkan Komentar