Sifat Aljabar pada Himpunan Bilangan Real

Sifat aljabar atau sering disebut aksioma lapangan pada bilangan real merupakan sifat-sifat yang dipenuhi oleh himpunan bilangan real sebagai lapangan terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian. Sifat-sifat yang dimaksud adalah sebagai berikut

(A1) Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a,b \in \mathbb{R}, berlaku a+b=b+a.
(A2) Sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a+(b+c)=(a+b)+c.
(A3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.
Terdapat 0 \in \mathbb{R}, sehingga untuk setiap a \in \mathbb{R} berlaku a+0=0+a=a.
(A4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi penjumlahan.
Untuk setiap a \in \mathbb{R}, terdapat -a \in \mathbb{R} sehingga a+(-a)=(-a)+a=0.
(M1) Sifat komutatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a,b \in \mathbb{R}, berlaku a \cdot b=b \cdot a.
(M2) Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c.
(M3) Keberadaan unsur identitas terhadap operasi perkalian.
Terdapat 1 \in \mathbb{R}, di mana 1 \neq 0, sehingga untuk setiap a \in \mathbb{R} berlaku a \cdot 1=1 \cdot a=a.
(M4) Keberadaan unsur invers terhadap operasi perkalian.
Untuk setiap a \neq 0 \in \mathbb{R}, terdapat \frac{1}{a} \in \mathbb{R} sehingga a \cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a} \cdot a=1.
(D) Sifat Distributif.
Untuk setiap a,b,c \in \mathbb{R} berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.

Sifat aljabar yang ditandai dengan huruf A menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan (addition), sedangkan huruf M menunjukkan sifat yang berkaitan dengan operasi perkalian (multiplication). Adapun D menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema pada himpunan bilangan real. Kita akan membahas beberapa di antaranya. Kita mulai dengan membahas teorema yang berkaitan dengan operasi penjumlahan.

Teorema 1

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. Jika x+y=x maka y=0.
b. Jika x+y=0 maka y=-x.
c. -(-x)=x

BUKTI
Bagian a
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x+y=x. Akan dibuktikan bahwa y=0.
Berdasarkan A3, kita dapat menulis y=0+y. Kita akan menggunakan hipotesis x+y=0, namun pada persamaan terakhir belum ada unsur x, yang ada hanya unsur y. Untuk itu, kita perlu memunculkan unsur x dengan bantuan sifat A4, yaitu 0=-x+x. Diperoleh

    \[y=(-x+x)+y\]

Berdasarkan A2, diperoleh

    \[y=-x+(x+y)\]

Diketahui x+y=x, sehingga persamaan menjadi

    \[y=-x+x\]

Berdasarkan A4, diperoleh

    \[y=0\]

Terbukti.

Bagian b
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x+y=0. Akan dibuktikan bahwa y=-x.
Berdasarkan A3, kita dapat menulis y=0+y. Serupa dengan bagian a, kita akan menggunakan hipotesis x+y=0. Namun pada persamaan terakhir, belum ada unsur x. Kita munculkan unsur x dengan bantuan sifat A4, yaitu 0=-x+x. Diperoleh

    \[y=(-x+x)+y\]

Berdasarkan A2, diperoleh

    \[y=-x+(x+y)\]

Diketahui x+y=0, sehingga persamaan menjadi

    \[y=-x+0\]

Berdasarkan A3, diperoleh

    \[y=-x\]

Terbukti.

Bagian c
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa -(-x)=x.

Sebelum membuktikan -(-x)=x, kita perlu memahami makna teorema 1b. Jika jumlah dua bilangan bernilai 0, maka bilangan yang satu merupakan invers penjumlahan dari bilangan yang lain. Pada teorema 1c, kita dapat memandang x sebagai invers penjumlahan dari -x. Jika kita berhasil menunjukkan bahwa (-x)+x=0, maka kita dapat menggunakan teorema 1b untuk membuktikan bahwa x=-(-x). Yang jadi pertanyaan, apakah (-x)+x=0 merupakan pernyataan yang bernilai benar? Tentu saja, ini merupakan sifat A4. Jadi, bukti ini kita mulai dengan sifat A4.

Berdasarkan sifat A4, diperoleh (-x)+x=0. Dengan memanfaatkan teorema 1b, diperoleh x=-(-x).
Terbukti.

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan operasi perkalian

Teorema 2

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. Jika x \cdot y=x maka y=1.
b. Jika x \cdot y=1 maka y=\frac{1}{x}.
c. \frac{1}{\frac{1}{x}}=x

BUKTI
Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema 2 serupa dengan ide pada teorema 1. Jadi, saya tidak menuliskan penjelasan secara rinci pada bagian ini.

Bagian a
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x \cdot y=x. Akan dibuktikan bahwa y=1. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot x &[\text{Diketahui}]\\ &= 1 &[\text{M4}] \end{align*}

Bagian b
Ambil sebarang x,y \in \mathbb{R}, dengan x \cdot y=1. Akan dibuktikan bahwa y=\frac{1}{x}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} y &= 1 \cdot y \quad &[\text{M3}] \\ &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &[\text{M4}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &[\text{M2}] \\ &= \frac{1}{x} \cdot 1 &[\text{Diketahui}]\\ &= \frac{1}{x} &[\text{M3}] \end{align*}

Bagian c
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa \frac{1}{\frac{1}{x}}=x.
Berdasarkan M3, diperoleh

    \[\frac{1}{x} \cdot x=1\]

Dengan menggunakan teorema 2b, diperoleh

    \[x=\frac{1}{\frac{1}{x}}\]

Teorema 3

Misalkan x,y \in \mathbb{R}.
a. 0 \cdot x=0.
b. Jika x \cdot y=0 maka x=0 atau y=0.

BUKTI
Bagian a
Ambil sebarang x \in \mathbb{R}. Akan dibuktikan bahwa 0 \cdot x=0.

Sebelum membuktikan teorema ini, kita perlu memahami makna teorema 1a. Jika suatu bilangan real x dijumlahkan dengan bilangan real lain dan hasilnya tetap x, maka bilangan yang ditambahkan tadi merupakan unsur identitas, yaitu 0. Pada teorema 3a ini, 0 \cdot x bernilai sama dengan unsur identitas. Jadi, untuk membuktikan bahwa 0 \cdot x = 0, kita cukup menunjukkan bahwa x+0 \cdot x=x.

Perhatikan bahwa

    \begin{align*} x + 0 \cdot x &= 1 \cdot x + 0 \cdot x \quad &[\text{M3}] \\ &= (1+0) \cdot x &[\text{D}] \\ &= 1 \cdot x &[\text{A3}] \\ &= x &[\text{M3}] \end{align*}

Diperoleh x+0 \cdot x=x. Berdasarkan teorema 1a, diperoleh 0 \cdot x = 0.
Terbukti.

Bagian b
Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi. Agar lebih jelas, kita misalkan p sebagai pernyataan x \cdot y=0, q sebagai pernyataan x=0, dan r sebagai pernyataan y=0. Jika dinyatakan dalam p, q, dan r, teorema ini dapat ditulis sebagai p \Rightarrow (q \vee r). Ingkaran dari pernyataan ini adalah p \wedge (\bar{q} \wedge \bar{r}).

Andaikan pernyataan pada teorema ini salah, sehingga ingkarannya bernilai benar, yaitu

    \[x \cdot y=0 \text{ tetapi } x \neq 0 \text{ dan } y \neq 0\]

Berdasarkan M3 diperoleh

    \[y=1 \cdot y\]

Diketahui x \neq 0. Berdasarkan M4, terdapat \frac{1}{x} \in \mathbb{R} sehingga \frac{1}{x} \cdot x=1. Akibatnya

    \begin{align*} y &= \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) \cdot y &\text{[M4]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot (x \cdot y) &\text{[M2]} \\ &= \frac{1}{x} \cdot 0 &\text{[Diketahui]} \\ &= 0 &\text{[Teorema 3a]} \end{align*}

Diperoleh y=0. Terjadi kontradiksi.
Dengan demikian, terbukti bahwa “Jika x \cdot y=0 maka x=0 atau y=0“.

Semoga bermanfaat. 🙂

2 Responses

  1. Alif Rezky says:

    Masya Allah, jazakallahu khairan atas ilmunya, sangat bermanfaat untuk memahami tentang sifat aljabar. Tetap semangat utk menulis dan menjelaskan matematika agar mudah dipahami oleh semua orang

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.