Sifat-sifat Grup dalam Struktur Aljabar

Sebelumnya, kita telah membahas definisi dan beberapa contoh grup. Kita akan melanjutkan bahasan tersebut. Kali ini kita akan membahas beberapa teorema atau sifat grup. Sebelum masuk pada teorema beserta pembuktiannya, perlu dipahami bahwa dalam tulisan ini saya menuliskan hasil operasi a*b dengan lebih sederhana sebagai ab.

Teorema 1

Unsur identitas pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI

Untuk membuktikan bahwa unsur identitas grup tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek memenuhi sifat identitas maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan G grup, dan e_1,e_2 \in G merupakan unsur identitas pada G. Akan ditunjukkan e_1=e_2.
Karena e_1 dan e_2 unsur identitas, maka untuk sebarang a \in G berlaku:

    \begin{align*} &e_1a=a &\textbf{(1)} \\ &ae_2=a &\textbf{(2)} \end{align*}

Dengan mengganti a pada persamaan (1) dan (2) secara berturut-turut dengan e_2 dan e_1 diperoleh

    \begin{align*} &e_1e_2=e_2 &\textbf{(3)} \\ &e_1e_2=e_1 &\textbf{(4)} \end{align*}

Berdasarkan persamaan (3) dan (4), diperoleh e_1=e_2.
Jadi, terbukti bahwa unsur identitas pada grup bersifat tunggal.

Teorema 2

Invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI

Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema ini serupa dengan ide pada teorema sebelumnya. Tinjau sebuah anggota dari grup, misalnya x. Untuk membuktikan bahwa invers dari x bersifat tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek merupakan invers dari x maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan G grup, dengan unsur identitas e.
Ambil sebarang a \in G, dengan b,c \in G merupakan invers dari a. Akan ditunjukkan b=c.
Karena b dan c invers dari a, maka berlaku:

    \begin{align*} &ba=e &\textbf{(1)} \\ &ac=e &\textbf{(2)} \end{align*}

Perhatikan bahwa

    \begin{align*} b &= be &\text{[e unsur identitas]} \\ &= b(ac) &\text{[Berdasarkan (2)]} \\ &= (ba)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= ec &\text{[Berdasarkan (1)]} \\ &= c &\text{[e unsur identitas]} \end{align*}

Diperoleh b=c. Jadi, terbukti bahwa invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

Teorema 3

Misalkan G grup. Untuk setiap a \in G berlaku (a^{-1})^{-1}=a.

BUKTI
Misalkan G grup. Ambil sebarang a \in G. Akan dibuktikan (a^{-1})^{-1}=a.
Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh a^{-1}a=e dan a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e. Dari kedua persamaan ini, diperoleh

    \begin{align*} a^{-1}a &= a^{-1}(a^{-1})^{-1} \\ a(a^{-1}a) &= a(a^{-1}(a^{-1})^{-1}) \\ (aa^{-1})a &= (aa^{-1})(a^{-1})^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ ea &= e(a^{-1})^{-1} &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ a &= (a^{-1})^{-1} &\text{[e unsur identitas]} \end{align*}

Jadi, terbukti bahwa (a^{-1})^{-1}=a.

Teorema 4

Misalkan G grup. Untuk setiap a,b \in G berlaku (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

BUKTI

Isi teorema ini menyatakan bahwa invers dari ab adalah b^{-1}a^{-1}. Sehingga, kita perlu menunjukkan bahwa keduanya memenuhi syarat invers suatu anggota, yaitu (ab)(b^{-1}a^{-1})=e dan (b^{-1}a^{-1})(ab)=e.

Misalkan G grup. Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
Untuk membuktikan hal ini, kita cukup menunjukkan bahwa (ab)(b^{-1}a^{-1})=e dan (b^{-1}a^{-1})(ab)=e.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} (ab)(b^{-1}a^{-1}) &= ((ab)b^{-1})a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= (a(bb^{-1}))a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= (ae)a^{-1} &[b^{-1} \text{ invers dari b]} \\ &= aa^{-1} &\text{[e unsur identitas]} \\ &= e &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \end{align*}

Di lain pihak

    \begin{align*} (b^{-1}a^{-1})(ab) &= b^{-1}(a^{-1}(ab)) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= b^{-1}((a^{-1}a)b) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= b^{-1}(eb) &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ &= b^{-1}b &\text{[e unsur identitas]} \\ &= e &[b^{-1} \text{ invers dari b]} \end{align*}

Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.
Jadi, terbukti bahwa (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.

Teorema 5

Misalkan G grup dan a,b,c sebarang anggota dari G.
a. Jika ab=ac maka b=c.
b. Jika ba=ca maka b=c.

BUKTI
Misalkan G grup. Ambil sebarang a,b,c \in G.

Bagian a
Diketahui ab=ac. Akan dibuktikan b=c.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} ab &= ac \\ a^{-1}(ab) &= a^{-1}(ac) \\ (a^{-1}a)b &= (a^{-1}a)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\ eb &= ec &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ b &= c &\text{[e unsur identitas]} \end{align*}

Terbukti.

Bagian b
Diketahui ba=ca. Akan dibuktikan b=c.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} ba &= ca \\ (ba)a^{-1} &= (ca)a^{-1} \\ b(aa^{-1}) &= c(aa^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ be &= ce &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\ b &= c &\text{[e unsur identitas]} \end{align*}

Terbukti.

Teorema terakhir ini disebut sebagai hukum pembatalan (Cancellation Law). Dalam bahasa yang lebih sederhana, jika ab=ac maka unsur a yang ada pada sebelah kiri setiap ruas dapat dicoret. Secara berturut-turut, bagian a dan b dari teorema ini disebut hukum pembatalan kiri dan kanan. Tahu alasannya, kan?

Demikian pembahasan mengenai teorema dasar pada grup. Semoga bermanfaat.
Jika ada yang ingin ditanyakan atau dirasa keliru, silahkan sampaikan melalui komentar.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.