Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Rumus Pythagoras

Garis tinggi adalah salah satu garis istimewa pada segitiga. Garis ini didapat dengan menarik garis dari titik sudut menuju sisi di depannya tegak lurus. Dengan panjang garis tinggi ini, kita bisa menghitung luas segitiga. Menghitung garis tinggi tidak mutlak untuk mencari luas segitiga, ada kalanya garis tinggi merupakan objek yang ditanyakan dalam soal.

Dalam tulisan ini, pembahasan dikhususkan pada segitiga sembarang, karena perhitungan garis tinggi pada segitiga inilah yang paling rumit. Berbeda dengan jenis segitiga lainnya, misalnya pada segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki. Pada kedua segitiga ini, garis tinggi dapat dihitung dengan rumus pythagoras.

Ada beberapa cara untuk menghitung tinggi segitiga sembarang, jika panjang ketiga sisinya diketahui. Misalnya dengan menggunakan teorema pythagoras, atau dengan aturan cosinus. Dalam tulisan ini, kita akan menghitung tinggi segitiga sembarang dengan cara pertama. Agar lebih mudah dipahami, kita langsung ke pembahasan soal.

Contoh

Diketahui sebuah segitiga ABC, AB = 21 cm, BC = 20 cm, dan AC = 13 cm. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut C.

Pembahasan

Pertama, buat sketsa segitiga tersebut.

Buat garis tinggi dari titik C menuju sisi AB, beri nama D pada perpotongannya. Garis AC terbagi menjadi AD dan BD. Misalkan panjang AD dengan x cm, sehingga panjang BD = 21 – x cm.

Garis tinggi CD ini membagi segitiga ABC menjadi segitiga siku-siku ACD dan BCD.
Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga ACD dan segitiga BCD diperoleh

    \begin{align*} CD^2 &= AC^2 {}- AD^2 \\ CD^2 &= BC^2 {}- BD^2 \end{align*}

Dari kedua persamaan diatas, kita peroleh

    \begin{align*} AC^2 {}- AD^2 &= BC^2 -{} BD^2 \\ 13^2 {}- x^2 &= 20^2 -{} \left( 21-x \right) ^2 \\ 169 {}- x^2 &= 400 -{} \left( x^2 {}- 42x + 441 \right) \\ 169 {}- x^2 &= 400 -{} x^2 + 42x {}- 441 \end{align*}

Coret -x^2 yang ada pada kedua ruas

    \begin{align*} 169 &= 400 + 42x {}- 441 \\ 169 &= 42x {}- 41 \\ 42x &= 169 + 41 \\ 42x &= 210 \\ x &= 5 \: cm \end{align*}

Hitung tinggi segitiga ABC dengan teorema pythagoras.

    \begin{align*} CD^2 &= AC^2 {}- AD^2 \\ &= 13^2 {}- x^2 \\ &= 13^2 {}- 5^2 \\ &= 169 {}- 25 \\ &= 144 \end{align*}

Akarkan kedua ruas, sehingga diperoleh

    \begin{align*} CD &= \sqrt{144} = 12 \: cm \end{align*}

Jadi, tinggi segitiga ABC dari titik C adalah 12 cm.

Terdapat cara lain yang lebih singkat dalam menentukan tinggi segitiga sembarang. Cara tersebut dibahas dalam tulisan berjudul Cara Mudah Menentukan Tinggi Segitiga Sembarang.

40 Responses

  1. Arnoldi says:

    Bagaimana cara mencari segitiga

  2. Terimakasihhh.. sgt membantu^^

  3. vera says:

    Klo soalnya ini bagaimana cra kerjanya….
    dua orang pengamat P dan Q mengamati sebuah layang2 dgn sudut elavasi masing2 45derajat dan 50 derajat jika jarak P dan Q 200 m hitunglah tinggi layang2…

  4. Farhan maulidi says:

    AB=48,5
    BC=24
    AC=29
    t?

  5. Ryan says:

    21 dapat dari mana gan

  6. Irawan says:

    Cara mencari AC gmn mz?

  7. tama says:

    kalau blh saya tau angka 42 yg awal itu dapat dari mana

  8. Fany says:

    Knp x2 ( x pangkat 2) nya dicoret ?

  9. Steven says:

    Klo yg begini ini termasuk pythagoras atau bukan, di buku Mate gw sih pythagoras tapi gk tau ada yg beginian: AB² = CB² x AC² itu maksudnya gimana ya ??

  10. makibu says:

    wadduh,kayaknya salah presepsi ni,sworry banget gan,itu hasil memang tidak konsinten,tapi yg dimaksud adalah; a+3/2b=3 atau b+2/3a=2,atau untuk 13,20;a+20/13=20,dimana a;rasio BD sedang 3/2b adalah rasio AB,nilai rasio tsb kabur saat terjadi sistim kuadrat,sebelum saya lanjutkan,coba dipahami secara perlahan,selain dengan cara “aljabar sisimiring,juga teori heron”ada cara lain dengan memanfaatkan perbandingan garis,yang terlihat* saat menarik garis pertolongan membentuk jajargenjang,karna pada dasarnya setiap garis lurus bersifat”linear”,atau bisa diterapkannya persamaan linear,

  11. makibu says:

    ni tak kasih bocoran,misal segitiga sembarang sperti diatas hilangkan smua nilai,taruh hanya nilai(sembarang) a dan b atau garis AC dan BC,tarik 2garis sejajar a dan b yang bertemu di titik d,sehingga terbentuklah jajar genjang,serta 3 segitiga sembarang,beri nilai rasio dari tiap batas garis segitiga,dari sini jika agan bisa melihat bahwa soal saya itu bisa diselesaikan,berati paling tidak agan setara dg”heron”menemukan dengan formula “jajargenjang”,jika agan tidak repot saat mencari tinggi dengan subtitusi 2 rumus kwadrat,saya berharap anda bisa “menyelesaikannya”.

    • Rasio atau perbandingan AD dan BD tidak konsisten. Perhatikan dua kasus berikut:

      Untuk CD=1, diperoleh AD= \sqrt{3} dan BD=\sqrt{8}.
      Untuk CD=1.5, diperoleh AD= \frac{1}{2}\sqrt{7} dan BD=\frac{3}{2}\sqrt{3}.

      AD:BD pada kedua kasus di atas tentu berbeda.

      Sekarang giliran anda untuk mengerjakan di form komentar ini, nanti akan didiskusikan. Yang jelas, menurut saya perbandingannya tidak konsisten, dengan kata lain nilai @ tidak dapat ditentukan.

  12. makibu says:

    anggap saja!seperti itu,ini ada lagi gan,soal;sebuah segitiga ABC sembarang dengan sisi;AC=2,BC=3,AB tidak diketahui namun ada garis tegak lurus ke titik C atau garis Cd yang panjangnya juga tidak diketahui,jika Ad=x dan Bd=y tentukan nilai y dalam bentuk @x atau berapa nilai koefisien @?.bisa diselesaikan ndak soal tsb!?(sama2 belajar gan*)

    • Anggap saja? Hmm, sepertinya anda masih belum setuju dengan pendapat saya. Kalau memang anda punya pendapat lain, silahkan disampaikan dan selanjutnya akan didiskusikan.

      Dari soal yang anda berikan, diketahui bahwa titik D berada pada sisi AB, dan CD adalah garis tinggi segitiga ABC. Panjang AC adalah 2 satuan dan panjang BC 3 satuan.

      Gunakan teorema pythagoras pada segitiga ADC dan BCD, diperoleh CD^2 = 4-x^2 dan CD^2 = 9-y^2. Selanjutnya, dari kedua persamaan diperoleh 4-x^2 = 9-y^2.

      Dengan sedikit modifikasi aljabar, kita mendapatkan y= \sqrt{x^2 + 5}.

      Konstanta @ tidak dapat ditentukan, karena nilai @ berubah-ubah, bergantung pada nilai x. Yang dapat ditentukan hanyalah hubungan antara nilai x dan y, yaitu y= \sqrt{x^2 + 5}.

      Namun ada sebuah syarat tambahan, yaitu 0 < x < 2.

  13. makibu says:

    sebuah titik-titik akan membentuk “garis”,dan sebuah garis-garis akan membentuk “luas”,lalu bagaimana 2garis dianggap bernilai luas nol,yang filsafaat phitagoras sendiri menolaknya,dan tidak sedikit ilmuan yang membuat satuan dibawah nol koma,sampek ada dsebud “nanometer”.

  14. makibu says:

    persamaan kuadrat kalo pangkat 4 berati ada 4 kemungkinan misalnya,kalo salah satu sisi x dimasukkan formula heron,…..?tidak apalah,nah.,.yang mbuat lebih penasaran kalo hasil s 1/2(a+b+c) dikurang salah satu sisi sama dengan nol misal a;2 b;3 c;5 ,nah,,,,?@!#((maap nanya terus))

    • Sebenarnya namanya bukan persamaan kuadrat, karena pangkat tertingginya 4, bukannya 2. Solusi persamaannya ada 4, tapi yang memenuhi cuma 2 (yang bernilai positif).

      Hasil pengurangannya nol, karena memang tidak ada segitiga yang panjang sisinya 2, 3, dan 5. Apabila digambarkan, hanya terlihat sebagai garis lurus. Ingat syarat berikut ini:
      “Sisi terpanjang sebuah segitiga harus kurang dari jumlah panjang dua sisi lainnya”.

      Silahkan bertanya kembali, jika masih ada yang kurang jelas. 🙂

  15. makibu says:

    misalkan luasnya diketahui panjang AC dan BC diketahui,bisa ndak nyari panjang AB.

  16. makibo says:

    misal panjang CD diketahui, kemudian yang ditanyakan panjangnya AB,bisa ndak?

  17. Alyana says:

    Itu 42x dari mana ya?

    • 42x diperoleh dari kuadrat (21 – x).

      (21 – x)² = (21 – x)(21 – x)
      (21 – x)² = 441 – 21x – 21x + x²
      (21 – x)² = 441 – 42x + x²

      Atau lebih mudah jika menggunakan sifat aljabar (a – b)² = a² + b² – 2ab. Jadi

      (21 – x)² = 21² + x² – 2.21x
      (21 – x)² = 441 + x² – 42x

  18. Erder says:

    Berlian, Bebatuan (Brillian) . Saya tidak pernah berpikiran sebelumnya untuk membuat menjadi segitiga siku-siku. Berguna banget bagi saya.
    Terima kasih gan/sob/kawan

  19. makasih rumus phytagorasnya

Leave a Reply

Your e-mail address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.