KimiaMath

Dalam tulisan sebelumnya, kita telah membahas tentang bentuk eksponensial dari bilangan kompleks. Namun, terbatas pada cara mengubah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar ke bentuk eksponensial dan sebaliknya. Sebagai lanjutan tulisan tersebut, kita akan membahas tentang operasi, konjugat, dan invers dari bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial.

Operasi Perkalian

Misalkan z_1=r_1e^{i \theta_1} dan z_2=r_2e^{i \theta_2}. Kita akan menentukan hasil perkalian z_1 \cdot z_2. Namun, sebelum itu, perhatikan hasil kali antara e^{i \theta_1} dan e^{i \theta_2} berikut.

    \begin{align*} e^{i \theta_1}e^{i \theta_2} &= (\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) \\ &= (\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2) \\ &= \cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1+\theta_2) \\ &= e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \end{align*}

Sehingga

    \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (r_1e^{i \theta_1})(r_2e^{i \theta_2}) \\ &= (r_1r_2)(e^{i \theta_1}e^{i \theta_2}) \\ &= (r_1r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \end{align*}

Jika kita menyatakan bentuk eksponensial tersebut dalam notasi r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1) dan r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2), maka hasil perkaliannya adalah

    \[[r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)] [r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)] = (r_1r_2) \cdot \text{exp} [i (\theta_1 + \theta_2)]\]

Sebagai contoh, jika z_1=2 \cdot \text{exp} (i \pi) dan z_1=3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right), maka

    \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= \left[ 2 \cdot \text{exp} (i \pi) \right] \cdot \left[ 3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= (2 \cdot 3) \cdot \text{exp} \left[ i\left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= 6 \cdot \text{exp} \left(i \frac{3\pi}{2} \right) \end{align*}

Berikutnya, kita akan membahas operasi pembagian pada bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial.

Operasi Pembagian

Misalkan z_1=r_1e^{i \theta_1} dan z_2=r_2e^{i \theta_2}. Kita akan menentukan hasil pembagian antara z_1 dan z_2. Perhatikan bahwa

    \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}}\]

Kalikan pembilang dan penyebut dengan e^{-i\theta_2}. Berdasarkan operasi perkalian yang telah kita bahas, diperoleh

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}} \cdot \frac{e^{-i\theta_2}}{e^{-i\theta_2}}\\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2e^{i (\theta_2-\theta_2)}} \\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2e^{i \cdot 0}} \\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2 \cdot 1} \\ &= \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i (\theta_1-\theta_2)} \end{align*}

Jika bentuk eksponensial tersebut dinyatakan dalam notasi r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1) dan r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2), maka hasil pembagiannya adalah

    \[\frac{r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)}{r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{exp} [i (\theta_1-\theta_2)]\]

Sebagai contoh, jika z_1=2 \cdot \text{exp} (i \pi) dan z_1=3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right), maka

    \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{2 \cdot \text{exp} (i \pi)}{3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right)} \\ &= \frac{2}{3} \cdot \text{exp} \left[ i \left( \pi-\frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= \frac{2}{3} \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}

Berikutnya, kita akan membahas tentang invers dari bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial.

Invers dari Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponensial

Misalkan z=re^{i \theta}, dengan z \neq 0. Perhatikan bahwa

    \[z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{e^{i \cdot 0}}{re^{i \theta}}=\frac{1}{r} e^{i(0-\theta)}=\frac{1}{r} e^{-i\theta}\]

Sebagai contoh, invers dari bilangan kompleks 3 \cdot \text{exp}(i \frac{\pi}{6}) adalah \frac{1}{3} \cdot \text{exp}(-i \frac{\pi}{6}).

Konjugat dari Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponensial

Misalkan z=re^{i \theta}. Konjugat suatu bilangan kompleks dapat dipandang sebagai pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu real. Perhatikan gambar berikut.
Konjugat dari bilangan kompleks
Modulus dari \overline{z} adalah r, dan sudut yang dibentuk oleh \overline{z} dengan sumbu x positif adalah -\theta. Sehingga bentuk eksponensial dari \overline{z} adalah

    \[\overline{z}=re^{i(-\theta)}=re^{-i\theta}\]

Sebagai contoh, konjugat dari bilangan kompleks 3 \cdot \text{exp}(i \frac{\pi}{6}) adalah 3 \cdot \text{exp}(-i \frac{\pi}{6}).

Tinggalkan Komentar