Konjugat (sekawan) dari Bilangan Kompleks

Misalkan z=(x,y)=x+yi \in \mathbb{C}. Konjugat dari bilangan kompleks z didefinisikan sebagai (x,-y)=x-yi, dengan notasi \overline{z}. Konjugat dari z dapat dipandang sebagai hasil pencerminan z terhadap sumbu real pada bidang kompleks.

Konjugat (sekawan) dari bilangan kompleks

Sebagai contoh, konjugat dari bilangan kompleks z_1=(-2,5) adalah \overline{z_1}=(-2,-5). Dan konjugat dari bilangan kompleks z_2=3-2i adalah \overline{z_2}=3+2i.

Berikut adalah beberapa sifat yang berkaitan dengan konjugat dari bilangan kompleks.

Sifat 1

z=\overline{z} jika dan hanya jika z \in \mathbb{R}.

BUKTI
Ambil sebarang z \in \mathbb{C}. Tulis z=a+bi, dengan a,b \in \mathbb{R}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} z &= \overline{z} \\ a+bi &= a-bi \\ bi &= -bi \\ 2bi &= 0 \end{align*}

Kondisi di atas terjadi hanya jika b=0. Akibatnya
z=a+0\cdot i=a \in \mathbb{R}
Terbukti.

Sifat 2

Untuk setiap bilangan kompleks z, berlaku z=\overline{\overline{z}}.

BUKTI
Ambil sebarang z \in \mathbb{C}. Tulis z=a+bi, dengan a,b \in \mathbb{R}. Perhatikan bahwa \overline{z}=a-bi, sehingga

    \[\overline{\overline{z}}=a-(-bi)=a+bi=z\]

Terbukti.

Sifat 3

Untuk setiap bilangan kompleks z, z \cdot \overline{z} merupakan bilangan real non negatif.

BUKTI
Ambil sebarang z \in \mathbb{C}. Tulis z=a+bi, dengan a,b \in \mathbb{R}. Perhatikan bahwa

    \[z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\]

Untuk setiap bilangan real x, berlaku x^2 \geq 0. Sehingga a^2 \geq 0 dan b^2 \geq 0, yang berakibat a^2+b^2 \geq 0. Jadi

    \[z \cdot \overline{z} \geq 0\]

Terbukti bahwa z \cdot \overline{z} merupakan bilangan real non negatif.

Sifat 4

Untuk setiap bilangan kompleks z_1 dan z_2, berlaku \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}.

BUKTI
Ambil sebarang z_1,z_2 \in \mathbb{C}. Tulis z_1=a+bi dan z_2=c+di, dengan a,b,c,d \in \mathbb{R}. Perhatikan bahwa

    \[z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

Sehingga

    \begin{align*} \overline{z_1+z_2} &= (a+c)-(b+d)i \\ &= a+c-bi-di \\ &= (a-bi)+(c-di) \\ &= \overline{z_1}+\overline{z_2} \end{align*}

Terbukti.

Sifat 5

Untuk setiap bilangan kompleks z_1 dan z_2, berlaku \overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}.

BUKTI
Ambil sebarang z_1,z_2 \in \mathbb{C}. Tulis z_1=a+bi dan z_2=c+di, dengan a,b,c,d \in \mathbb{R}. Perhatikan bahwa

    \[z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\]

Sehingga

    \begin{align*} \overline{z_1 \cdot z_2} &= (ac-bd)-(ad+bc)i \\ &= (a-bi) \cdot (c-di) \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{align*}

Terbukti.

Sifat 6

Untuk setiap bilangan kompleks z \neq 0, berlaku \overline{z^{-1}}=\overline{z} \, ^{-1}.

BUKTI
Ambil sebarang z \neq 0 \in \mathbb{C}. Diketahui z \neq 0, berarti terdapat z^{-1} \in \mathbb{C} sehingga z \cdot z^{-1}=1.

Untuk membuktikan sifat ini, coba perhatikan analogi berikut.
a merupakan invers dari b, dan ingin dibuktikan bahwa a=c. Ini dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa c juga invers dari b. Karena invers bersifat tunggal, maka kedua invers dari b haruslah sama, yaitu a=c.

Dalam hal ini, diketahui \overline{z} \, ^{-1} adalah invers dari \overline{z}. Untuk menunjukkan bahwa \overline{z} \, ^{-1}=\overline{z^{-1}}, kita cukup menunjukkan bahwa \overline{z^{-1}} juga invers dari \overline{z}.

Perhatikan bahwa \overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=\overline{z \cdot z^{-1}}, berdasarkan sifat 5. Selanjutnya, z^{-1} merupakan invers dari z, sehingga

    \[\overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=\overline{z \cdot z^{-1}}=\overline{1}\]

Ingat bahwa konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri, sehingga \overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=1. Artinya \overline{z^{-1}} adalah invers dari \overline{z}. Berdasarkan definisi, invers dari \overline{z} adalah invers dari \overline{z} \, ^{-1}. Karena invers suatu elemen bersifat tunggal, maka haruslah \overline{z^{-1}}=\overline{z} \, ^{-1}.
Terbukti.

Sifat 7

Untuk setiap bilangan kompleks z_1,z_2, dengan z_2 \neq 0, berlaku

    \[\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]

BUKTI
Ambil sebarang z_1,z_2 \in \mathbb{C}, dengan z_2 \neq 0.

Untuk membuktikan sifat ini, kita perlu mengingat bahwa

    \[\frac{1}{z}=z^{-1}\]

Perhatikan bahwa

    \begin{align*} \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} &= \overline{\left( z_1 \cdot \frac{1}{z_2} \right)} \\ &= \overline{\left( z_1 \cdot z_2^{-1} \right)} \end{align*}

Berdasarkan sifat 5, diperoleh

    \[\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \overline{\left( z_1 \cdot z_2^{-1} \right)} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2^{-1}}\]

Berdasarkan sifat 6, diperoleh \overline{z_2^{-1}}=\overline{z_2}^{-1}, sehingga

    \begin{align*} \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2^{-1}} \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}^{-1} \\ &= \overline{z_1} \cdot \frac{1}{\overline{z_2}} \\ &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \end{align*}

Terbukti.

Sifat 8

Untuk setiap bilangan kompleks z, berlaku

    \[\text{Re }z = \frac{z+\overline{z}}{2} \text{ dan } \text{Im }z = \frac{z-\overline{z}}{2i}\]

BUKTI
Ambil sebarang z \in \mathbb{C}. Tulis z=a+bi, dengan a,b \in \mathbb{R}. Konjugat dari z adalah \overline{z}=a-bi.

Dengan menjumlahkan z dan \overline{z}, diperoleh

    \begin{align*} z+\overline{z} &= 2a \\ \frac{z+\overline{z}}{2} &= a \\ \frac{z+\overline{z}}{2} &= \text{Re }z \end{align*}

Dengan mengurangkan \overline{z} dari z, diperoleh

    \begin{align*} z-\overline{z} &= 2bi \\ \frac{z-\overline{z}}{2i} &= b \\ \frac{z-\overline{z}}{2i} &= \text{Im }z \end{align*}

Terbukti.

Agar lebih memahami sifat-sifat di atas, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Nyatakan bilangan kompleks

    \[\frac{-1+3i}{2-i}\]

dalam bentuk paling sederhana.

PEMBAHASAN

Bilangan kompleks disebut sederhana jika berada dalam bentuk a+bi, dengan a,b \in \mathbb{R}. Bilangan kompleks pada soal dinyatakan dalam hasil bagi dua bilangan kompleks lainnya. Agar lebih sederhana, penyebutnya harus berupa bilangan real.

Ingat, berdasarkan sifat 2, z \cdot \overline{z} merupakan bilangan real. Jadi, untuk menyederhanakan bilangan kompleks pada soal, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat dari penyebut.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari 2-i, yaitu 2+i.

    \begin{align*} \frac{-1+3i}{2-i} &= \frac{-1+3i}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} \\ &= \frac{-2-3+6i-i}{4+1} \\ &= \frac{-5+5i}{5} \\ &= -1+i \end{align*}

Contoh 2

Buktikan bahwa z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \in \mathbb{R}, untuk setiap bilangan kompleks z_1 dan z_2.

PEMBAHASAN

Ingat kembali sifat 1.
z=\overline{z} jika dan hanya jika z \in \mathbb{R}
Sehingga, untuk menunjukkan bahwa z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} z_2 \in \mathbb{R}, kita cukup menunjukkan bahwa bilangan kompleks tersebut sama dengan konjugatnya, yaitu

    \[\overline{z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2}=z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2\]

Ambil sebarang z_1,z_2 \in \mathbb{C}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} \overline{z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2} &= \overline{z_1 \cdot \overline{z_2}}+\overline{\overline{z_1} \cdot z_2} \quad \text{[Sifat 4]} \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{\overline{z_2}} + \overline{\overline{z_1}} \cdot \overline{z_2} \quad \text{[Sifat 5]} \\ &= \overline{z_1} \cdot z_2 + z_1 \cdot \overline{z_2} \quad \text{[Sifat 2]} \\ &= z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \quad \text{[Sifat Komutatif]} \end{align*}

Berdasarkan sifat 1, diperoleh z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \in \mathbb{R}.
Terbukti.

Contoh 3

Buktikan bahwa (2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 \in \mathbb{R}.

PEMBAHASAN

Serupa dengan contoh sebelumnya, kita perlu menunjukkan bahwa (2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 sama dengan nilai konjugatnya.
Selain itu, juga diperlukan sifat berikut:
Sifat 9
Untuk setiap bilangan bulat n dan bilangan kompleks z, berlaku

    \[\overline{z^n}=\overline{z} \, ^n\]

Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika dan sifat 5

Agar lebih sederhana, kita misalkan 2+i\sqrt{5}=z, sehingga 2-i\sqrt{5}=\overline{z}. Untuk membuktikan bahwa

    \[(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 =z^7+\overline{z} \, ^7 \in \mathbb{R}\]

kita perlu menunjukkan bahwa z^7+\overline{z} \, ^7 sama dengan nilai konjugatnya.
Perhatikan bahwa

    \begin{align*} \overline{z^7+\overline{z} \, ^7} &= \overline{z^7+\overline{z^7}} \quad \text{[Sifat 9]} \\ &= \overline{z^7}+\overline{\overline{z^7}} \quad \text{[Sifat 4]} \\ &= \overline{z^7}+z^7 \quad \text{[Sifat 2]} \\ &= \overline{z} \, ^7+z^7 \quad \text{[Sifat 9]} \\ &= z^7+\overline{z} \, ^7 \quad \text{[Sifat Komutatif]} \end{align*}

Berdasarkan sifat 1, diperoleh

    \[z^7+\overline{z^7}=(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 \in \mathbb{R}\]

Terbukti.

Semoga bermanfaat. 🙂

Leave a Reply

Your e-mail address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.