Dalam artikel ini, kita akan membuktikan dua rumus jumlah khusus bilangan asli, yaitu$$\begin{aligned}\sum \limits_{i=1}^n i &= 1+2+3+ \cdots +n &= \frac{n(n+1)}{2} \\\sum \limits_{i=1}^n i^2 &= 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$$

$\sum \limits_{i=1}^n i = 1+2+3+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$

Jika diperhatikan, rumus ini merupakan rumus deret aritmatika. Kita tidak akan membuktikan rumus ini dengan cara yang digunakan Carl Friedrich Gauss. Kita akan menggunakan identitas aljabar $2i+1 = (i+1)^2 {}- i^2$.

Beri sigma pada kedua ruas.$$\sum \limits_{i=1}^n (2i+1) = \sum \limits_{i=1}^n [(i+1)^2 {}- i^2]$$

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri dan definisi sigma pada ruas kanan.

pembuktian sigma i bagian 1

Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan dapat disusun ulang menjadi

pembuktian sigma i bagian 2

$\sum \limits_{i=1}^n i^2 = 1^2 +2^2 +3+2 \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Kita mulai dari identitas aljabar. $$3i^2 + 3i + 1 = (i+1)^3 {}- i^3$$

Beri sigma pada kedua ruas. $$\sum \limits_{i=1}^n ( 3i^2 + 3i + 1) = \sum \limits_{i=1}^n [ (i+1)^3 {}- i^3]$$

Gunakan sifat kelinearan sigma pada ruas kiri, kemudian uraikan ruas kanan berdasarkan definisi sigma.

pembuktian sigma i kuadrat bagian 1

Selanjutnya, gunakan rumus jumlah khusus yang sudah dibuktikan sebelumnya, yaitu $\sum \limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$.

pembuktian sigma i kuadrat bagian 2

Selanjutnya, faktorkan ruas kanan persamaan di atas.$$\begin{aligned}6 \sum \limits_{i=1}^n i^2 &= n(n+1)(2n+1) \\\sum \limits_{i=1}^n i^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{aligned}$$