Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan $\cos x$ dan $\sec x$.$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -\sin x \\D_x \left( \sec x \right) &= \sec x \tan x\end{aligned}$$

Bukti Turunan $\cos x$

Kita mulai dengan definisi turunan$$D_x \left( \cos x \right) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos (x+h) - \cos x}{h}$$

Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperoleh

turunan cos x bagian 1

Limit yang diinginkan adalah untuk $h$ menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ tidak memuat variabel $h$, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh

turunan cos x bagian 2

Diketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -\sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0 \\&= -\sin x\end{aligned}$$

Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut$$D_x \left( \cos x \right) = D_x (\sin ( \frac{\pi}{2} - x))$$

Kita tahu bahwa $D_x (\sin x) = \cos x$ (Bukti). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -1 \cdot \cos ( \frac{\pi}{2} - x) \\&= -(\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x) \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$

Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left( \cos x \right) &= -1 \cdot 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x \\&= -\sin x\end{aligned}$$

Bukti Turunan $\sec x$

turunan sec x bagian 1

Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh

turunan sec x bagian 2

Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.$$\begin{aligned}D_x \left( \sec x \right) &= D_x \left( \frac{1}{\cos x} \right) \\&= \frac{0 \cdot \cos x - (- \sin x) \cdot 1}{\left( \cos x \right) ^{2}} \\&= \frac{\sin x}{\left( \cos x \right) ^{2}} \\&= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sec x \cdot \tan x\end{aligned}$$Terbukti.