Himpunan bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional. Jika diberikan sebuah bilangan real $a$ maka hanya ada kemungkinan, yaitu $a$ bilangan rasional atau irasional. Nah, bagaimana dengan akar 2? Apakah akar 2 bilangan irasional? Atau malah rasional?

Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan Daftar Isi berikut.

Apa Itu Bilangan Rasional dan Irasional?

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat, $p/q$, di mana $q \neq 0$. Sebagai contoh, $7/3$ adalah bilangan rasional. Bilangan bulat $7$ juga bilangan rasional, karena kita dapat menuliskan $7$ sebagai $7/1$ atau $14/2$.

Bilangan desimal $1,275$ merupakan bilangan rasional, karena dapat ditulis sebagai $1275/1000$. Atau dalam bentuk paling sederhana, $51/40.$ Bilangan desimal berulang $2,7575\ldots$ juga bilangan rasional. Mengapa? Karena bilangan ini dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat, $p/q$, di mana $q \neq 0$.

Misalkan $x=2,7575\ldots$ sehingga $100x=275,7575\ldots$
Perhatikan bahwa$$\def\arraystretch{1.3}\begin{array}{rcrlr}100x &= &275&,7575 \ldots & \\x &= &2&,7575 \ldots &\_ \\\hline99x &= &273&& \\x &= &\tfrac{273}{99}&&\end{array}$$

Secara umum, bilangan desimal yang berujung, seperti $1,275$ dan $3,5734$, merupakan bilangan rasional. Bilangan desimal tidak berujung yang memiliki pola berulang, juga bilangan rasional. Contoh bilangan yang dimaksud adalah$$1,\textcolor{blue}{39}3939\ldots \text{ dan } 1,\textcolor{blue}{336758987}33675898\ldots$$

Pada bilangan di atas, angka di belakang koma yang mengalami perulangan ditandai dengan warna biru

Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional. Contoh bilangan irasional yang tentu familiar dengan pembaca adalah $\pi$. Mungkin ada yang mengira $\pi$ adalah bilangan rasional, karena menganggap $\pi=22/7$. Ini adalah sebuah miskonsepsi, karena $22/7$ hanya nilai hampiran dari $\pi$. Nilai $\pi$ yang sebenarnya adalah$$3,141592653589793238\ldots$$

Jika dituliskan dalam bentuk desimal, bilangan irasional $\pi$ tidak berujung dan tidak memiliki pola berulang. Secara umum, ini berlaku untuk seluruh bilangan irasional.

Jumlah dan Hasil Kali

Antara Dua bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional bersifat tertutup terhadap operasi perkalian. Hal ini termuat dalam sifat berikut.

Sifat 1

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional maka $a \cdot b$ adalah bilangan rasional. Jika ditambahkan syarat $b \neq 0$, maka $a/b$ juga bilangan rasional.

Bukti. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional, di mana$$a=\frac pq \textrm{ dan } b=\frac rs$$untuk suatu bilangan bulat $p,q,r,s$ dengan $q,s \neq 0$.

Perhatikan bahwa$$a \cdot b=\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$$

Bilangan bulat bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, sehingga $pr$ dan $qs$ adalah bilangan bulat. Selain itu, $qs \neq 0$ karena $q,s \neq 0$. Dengan demikian, $a \cdot b$ adalah bilangan rasional.

Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $a/b$ juga bilangan rasional, dengan syarat tambahan $b \neq 0$. Perhatikan bahwa$$\frac{a}{b} = \frac{p/q}{r/s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r}=\frac{ps}{qr}$$

Karena $ps$ dan $qr$ adalah bilangan bulat, dengan $qr \neq 0$, maka $a/b$ adalah bilangan rasional. Terbukti.


Selain perkalian, himpunan bilangan rasional juga bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Hal ini termuat dalam sifat berikut.

Sifat 2

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional maka $a+b$ dan $a-b$ adalah bilangan rasional.

Bukti. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional, di mana$$a=\frac pq \textrm{ dan } b=\frac rs$$untuk suatu bilangan bulat $p,q,r,s$ dengan $q,s \neq 0$.

Perhatikan bahwa$$a+b=\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+rq}{qs}$$

Bilangan bulat bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga $ps+qr$ dan $qs$ adalah bilangan bulat. Selain itu, $qs \neq 0$ karena $q,s \neq 0$. Dengan demikian, $a+b$ adalah bilangan rasional.

Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $a-b$ juga bilangan rasional. Karena $-1$ dan $b$ bilangan rasional, maka berdasarkan Sifat 2$$(-1)b=-b$$juga bilangan rasional.

Perhatikan bahwa$$a-b=a+(-b)$$

Karena $a-b$ dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan rasional, maka $a-b$ juga bilangan rasional. Terbukti.


Antara bilangan Rasional dan Irasional

Pada bagian ini, kita akan melihat bagaimana jumlah dan hasil kali antara bilangan rasional dan irasional.

Sifat 3

Jika $a$ adalah bilangan rasional dan $b$ bilangan irasional maka $a+b$ adalah bilangan irasional.

Bukti. Kita akan membuktikan dengan kontradiksi. Andaikan $a+b$ adalah bilangan rasional. Karena $a$ juga bilangan rasional, maka berdasarkan Sifat 2$$(a+b)-a=b$$juga bilangan rasional. Terjadi kontradiksi. Dengan demikian, $a+b$ adalah bilangan irasional.


Sifat 4

Jika $a$ adalah bilangan rasional tak nol dan $b$ bilangan irasional maka $a \cdot b$ adalah bilangan irasional.

Bukti. Kita akan membuktikan dengan kontradiksi. Andaikan $a \cdot b$ adalah bilangan rasional. Karena $a$ bilangan rasional tak nol, maka berdasarkan Sifat 1$$\frac{a \cdot b}{a}=b$$juga bilangan rasional. Terjadi kontradiksi. Dengan demikian, $a \cdot b$ adalah bilangan irasional.


Antara Dua Bilangan Irasional

Jumlah dua bilangan irasional bisa berupa bilangan irasional atau rasional. Sebagai contoh, $\sqrt{2}$ dan $-\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. Namun, jumlahnya merupakan merupakan bilangan rasional.$$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$$

Di lain pihak, terdapat pula dua bilangan irasional dengan hasil kali merupakan bilangan irasional. Misalnya, $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{8}$ adalah bilangan irasional, yang jumlahnya juga irasional ($\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}$).

Bilangan $\sqrt{2}$ adalah irasional. Ini akan ditunjukkan pada bagian berikutnya.

Hal yang sama terjadi pada perkalian dua bilangan irasional. Ada dua bilangan irasional dengan hasil kali merupakan bilangan rasional. Ada pula dua bilangan irasional dengan hasil kali merupakan bilangan irasional. Bisakah anda memberi contoh? :)

Rasio dalam Bentuk Paling Sederhana

Bilangan rasional $0,75$ dapat ditulis sebagai $3/4$, $6/8$, $9/12$, dan sebagainya. Yah, ada tak berhingga cara untuk menyatakan $0,75$ dalam bentuk $p/q$. Namun, kita dapat menemukan representasi dalam bentuk paling sederhana. Dalam hal ini, representasi yang dimaksud adalah $3/4$.

Representasi $p/q$ dari suatu bilangan rasional, disebut paling sederhana, jika $p$ dan $q$ relatif prima. Dengan kata lain, $\textrm{fpb}(p,q)=1$.

Setiap bilangan rasional memiliki representasi yang paling sederhana. Hal ini dijamin dalam sifat berikut.

Sifat 5

Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat dalam bentuk paling sederhana, yaitu $a/b$ dengan $b \neq 0$ dan $\textrm{fpb}(a,b)=1$.

Bukti. Misalkan $x$ adalah sebarang bilangan rasional. Berdasarkan definisi, $x$ dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat, $p/q$, dengan $q \neq 0$.

Misalkan $k=\textrm{fpb}(p,q)$. Terdapat suatu bilangan bulat $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $p=ka$ dan $q=kb$.

Bilangan $a$ dan $b$ relatif prima. Untuk menunjukkan hal ini, kita bisa menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Andaikan $a$ dan $b$ tidak relatif prima. Artinya, $a$ dan $b$ mempunyai faktor persekutuan yang lebih dari 1, sebutlah $l$. Terdapat bilangan bulat $m$ dan $n$ sedemikian sehingga $a=lm$ dan $b=ln$. Akibatnya$$\begin{aligned}p&=ka=k(lm)=\textcolor{blue}{kl}m \\q&=kb=k(ln)=\textcolor{blue}{kl}n\end{aligned}$$

Terlihat bahwa $kl$ adalah faktor persekutuan dari $p$ dan $q$. Karena $l > 1$, maka diperoleh $kl > k$. Akibatnya, $k \neq \textrm{fpb}(p,q)$. Kontradiksi.

Dengan demikian, $a$ dan $b$ relatif prima. Jadi, $x$ dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat, $a/b$, dengan $b\neq 0$ dan $\text{fpb}(a,b)=1$. Terbukti.


Akar 2 adalah Bilangan Irasional

$\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional yang diperoleh dari Rumus Pythagoras. Jika $\text{ABC}$ adalah segitiga siku-siku dengan $AB=BC=1$ maka panjang sisi miring $AC$ adalah $\sqrt{2}$.

Sifat 6

$\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional.

Bukti. Kita akan membuktikan $\sqrt{2}$ bilangan irasional dengan kontradiksi. Andaikan $\sqrt{2}$ bilangan rasional. Berdasarkan Sifat 5, kita dapat menuliskan$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$untuk suatu bilangan bulat $a$ dan $b$, dengan $b \neq 0$ dan $\textrm{fpb}(a,b)=1$.

Kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh$$2=\frac{a^2}{b^2} \implies 2b^2=a^2 \quad \ldots (1)$$

Dari persamaan (1), diperoleh$$b^2=\frac{a^2}{2}=\frac{a \cdot a}{2}$$

Ruas kiri adalah bilangan bulat, sehingga ruas kanan juga demikian. Akibatnya, $a \cdot a$ habis dibagi 2.

Karena 2 bilangan prima, maka hal ini terjadi hanya jika $a$ habis dibagi 2. Tulis $a=2k$, untuk suatu bilangan bulat $k$.

Substitusi $a=2k$ pada persamaan (1).$$\begin{aligned}2b^2 &= (2k)^2 \\2b^2 &= 4k^2 \\b^2 &= 2k^2 \\\frac{b \cdot b}{2} &= k^2\end{aligned}$$

Dengan argumen yang serupa, diperoleh $b$ habis dibagi 2. Akibatnya, 2 merupakan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$, sehingga $\textrm{fpb}(a,b) \neq 1$. Kontradiksi. Dengan demikian, $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional.


Selain $\sqrt{2}$, masih banyak lagi bilangan irasional, seperti $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{5}$. Secara umum, jika $x$ adalah bilangan prima maka $\sqrt{x}$ adalah bilangan irasional. Bisakah anda membuktikannya?