KimiaMath

Pembuktian Akar 2 adalah Bilangan Irasional

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Teori Bilangan

Pembuktian Akar 2 adalah Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Kita akan membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, dengan kontradiksi (proof by contradiction).

Dalam pembuktian dengan kontradiksi, kita mengandaikan suatu pernyataan (teorema) salah, dan yang benar adalah negasinya. Lalu kita menunjukkan bahwa pengandaian ini menimbulkan kontradiksi

Teorema

$\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional.

Bukti

Andaikan $\sqrt{2}$ bilangan rasional. Sebagai bilangan irasional, $\sqrt{2}$ dapat dituliskan dalam bentuk $$\frac{p}{q} \text{ dengan } p,q \in \mathbb{Z}, : q \neq 0, \text{ dan } fpb(p,q)=1$$

Bentuk $\frac{p}{q}$ merupakan bentuk pecahan yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Dua bilangan dikatakan relatif prima, apabila faktor persekutuan terbesarnya (FPB) adalah 1.

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \sqrt{2} &= \frac{p}{q} \\ 2 &= \frac{p^2}{q^2} \\ 2q^2 &= p^2 \end{aligned}$$

Diperoleh $p^2$ bilangan genap karena merupakan kelipatan 2 dari suatu bilangan bulat. Hal ini berakibat $p$ juga genap, sehingga $p$ dapat ditulis sebagai $2k$, untuk suatu bilangan bulat $k$. Substitusi $p=2k$ pada persamaan di atas. $$\begin{aligned} 2q^2 &= (2k)^2 \\ 2q^2 &= 4k^2 \\ q^2 &= 2k^2 \end{aligned}$$

Diperoleh $q^2$ genap, yang berakibat $q$ juga genap. Ternyata p dan q merupakan bilangan genap, artinya 2 merupakan faktor persekutuan dari kedua bilangan itu. Hal ini kontradiksi dengan asumsi semula bahwa faktor persekutuan terbesar dari p dan q adalah 1.

Ini menunjukkan bahwa pengandaian $\sqrt{2}$ rasional tidak boleh dilakukan. Secara tidak langsung, kita membuktikan bahwa yang benar adalah pernyataan semula, yaitu $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional.

Demikian pembuktian $\sqrt{2}$ merupakan bilangan irasional.
Tahukah anda bahwa akar dari setiap bilangan prima, termasuk $\sqrt{2}$ yang telah kita buktikan, merupakan bilangan irasional? Jika belum, silahkan baca tulisan berjudul Akar bilangan prima adalah bilangan irasional.

Komentar