Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor positif, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol).

Sebelumnya, kita telah membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. Ternyata ini bukan hanya terjadi pada bilangan $2$, namun juga pada bilangan prima lainnya, seperti 3, 5, dan 7.

Teorema

Jika $p$ adalah bilangan prima maka $\sqrt{p}$ adalah bilangan irasional.

Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi (Proof by Contradiction). Pertama, kita buat negasi dari teorema di atas.

Jika $p$ adalah bilangan prima maka $\sqrt{p}$ adalah bilangan rasional.

Berdasarkan definisi bilangan rasional, kita dapat menuliskan $\sqrt{p}$ dalam bentuk$\frac{a}{b}$ di mana $a,b \in \mathbb{Z}$ dan $b \neq 0$. Bilangan $a$ dan $b$ relatif prima, atau $\text{FPB} (a,b) = 1$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\sqrt{p} &= \frac{a}{b} \\p &= \frac{a^2}{b^2} \\pb^2 &= a^2 \quad \textbf{(1)} \\b^2 &= \frac{a^2}{p} \\b^2 &= \frac{a \cdot a}{p}\end{aligned}$$

Ruas kiri persamaan di atas merupakan bilangan bulat. Akibatnya, ruas kanan persamaan juga bilangan bulat. Hal ini terjadi jika $p$ habis membagi $a^2=a \cdot a$. Karena $p$ bilangan prima, maka $p$ haruslah membagi salah satu faktor dari $a^2$, yaitu $a$. Artinya, terdapat bilangan bulat $x$ sehingga $a=px$. Substitusi $a=px$ pada persamaan (1).$$\begin{aligned}pb^2 &= (px)^2 \\pb^2 &= p^2x^2 \\b^2 &= px^2 \\\frac{b^2}{p} &= x^2 \\\frac{b \cdot b}{p} &= x^2\end{aligned}$$Dari hasil di atas, diperoleh bahwa $p$ juga habis membagi $b$. Dengan demikian, $p$ merupakan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa $\text{FPB} (a,b) = 1$.

Ini berarti, pengandaian bahwa $\sqrt{p}$ rasional tidak boleh dilakukan. Secara tidak langsung, kita membuktikan bahwa $\sqrt{p}$ merupakan bilangan irasional, untuk setiap bilangan prima p.