KimiaMath

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks

Oleh Aiz — 13 Juni 2019

Kategori: Analisis Kompleks

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks

Dalam tulisan sebelumnya, kita telah membahas tentang bentuk eksponensial dari bilangan kompleks. Namun, terbatas pada cara mengubah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar ke bentuk eksponensial dan sebaliknya. Sebagai lanjutan tulisan tersebut, kita akan membahas tentang operasi, konjugat, dan invers dari bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial.

Operasi Perkalian

Misalkan $z_1=r_1e^{i \theta_1}$ dan $z_2=r_2e^{i \theta_2}$. Kita akan menentukan hasil perkalian $z_1 \cdot z_2$. Namun, sebelum itu, perhatikan hasil kali antara $e^{i \theta_1}$ dan $e^{i \theta_2}$ berikut. $$\begin{aligned} e^{i \theta_1}e^{i \theta_2} &= (\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) \\ &= (\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2) \\ &= \cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1+\theta_2) \\ &= e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \end{aligned}$$ Sehingga $$\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= (r_1e^{i \theta_1})(r_2e^{i \theta_2}) \\ &= (r_1r_2)(e^{i \theta_1}e^{i \theta_2}) \\ &= (r_1r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \end{aligned}$$

Jika kita menyatakan bentuk eksponensial tersebut dalam notasi $r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)$ dan $r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)$, maka hasil perkaliannya adalah $$[r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)] [r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)] = (r_1r_2) \cdot \text{exp} [i (\theta_1 + \theta_2)]$$ Sebagai contoh, jika $z_1=2 \cdot \text{exp} (i \pi)$ dan $z_1=3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right)$, maka $$\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= \left[ 2 \cdot \text{exp} (i \pi) \right] \cdot \left[ 3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= (2 \cdot 3) \cdot \text{exp} \left[ i\left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= 6 \cdot \text{exp} \left(i \frac{3\pi}{2} \right) \end{aligned}$$

Operasi Pembagian

Misalkan $z_1=r_1e^{i \theta_1}$ dan $z_2=r_2e^{i \theta_2}$. Kita akan menentukan hasil pembagian antara $z_1$ dan $z_2$. Perhatikan bahwa $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}}$$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $e^{-i\theta_2}$. Berdasarkan operasi perkalian yang telah kita bahas, diperoleh $$\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}} \cdot \frac{e^{-i\theta_2}}{e^{-i\theta_2}}\\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2e^{i (\theta_2-\theta_2)}} \\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2e^{i \cdot 0}} \\ &= \frac{r_1e^{i (\theta_1-\theta_2)}}{r_2 \cdot 1} \\ &= \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i (\theta_1-\theta_2)} \end{aligned}$$

Jika bentuk eksponensial tersebut dinyatakan dalam notasi $r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)$ dan $r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)$, maka hasil pembagiannya adalah $$\frac{r_1 \cdot \text{exp} (i \theta_1)}{r_2 \cdot \text{exp} (i \theta_2)} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{exp} [i (\theta_1-\theta_2)]$$ Sebagai contoh, jika $z_1=2 \cdot \text{exp} (i \pi)$ dan $z_1=3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right)$, maka $$\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{2 \cdot \text{exp} (i \pi)}{3 \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right)} \\ &= \frac{2}{3} \cdot \text{exp} \left[ i \left( \pi-\frac{\pi}{2} \right) \right] \\ &= \frac{2}{3} \cdot \text{exp} \left( i \frac{\pi}{2} \right) \end{aligned}$$

Invers dari Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponensial

Misalkan $z=re^{i \theta}$, dengan $z \neq 0$. Perhatikan bahwa $$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{e^{i \cdot 0}}{re^{i \theta}}=\frac{1}{r} e^{i(0-\theta)}=\frac{1}{r} e^{-i\theta}$$ Sebagai contoh, invers dari bilangan kompleks $3 \cdot \text{exp}(i \frac{\pi}{6})$ adalah $\frac{1}{3} \cdot \text{exp}(-i \frac{\pi}{6})$.

Konjugat dari Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponensial

Misalkan $z=re^{i \theta}$. Konjugat suatu bilangan kompleks dapat dipandang sebagai pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu real. Perhatikan gambar berikut.

Konjugat dari bilangan kompleks

Modulus dari $\overline{z}$ adalah $r$, dan sudut yang dibentuk oleh $\overline{z}$ dengan sumbu $x$ positif adalah $-\theta$. Sehingga bentuk eksponensial dari $\overline{z}$ adalah $$\overline{z}=re^{i(-\theta)}=re^{-i\theta}$$ Sebagai contoh, konjugat dari bilangan kompleks $3 \cdot \text{exp}(i \frac{\pi}{6})$ adalah $3 \cdot \text{exp}(-i \frac{\pi}{6})$.

Komentar