Pembuktian Integral tan x dan Integral cot x

Tulisan ini merupakan lanjutan dari tulisan sebelumnya yang berjudul "Pembuktian Integral $\sec x$ dan Integral $\csc x$". Sekarang, kita akan membuktikan dua integral trigonometri lainnya, yaitu integral $\tan x$ dan integral $\cot x$.$$\begin{aligned}\int \tan x \: \text{dx} &= -\ln |\cos x| + C \\&= \ln |\sec x| + C \\\int \cot x \: \text{dx} &= \ln |\sin x| + C \\&= -\ln |\csc x| + C\end{aligned}$$

$\int \tan x \: \text{dx}$

Kita mulai dengan menulis $\tan x$ sebagai hasil bagi dari $\sin x$ dan $\cos x$.$$\begin{aligned}\int \tan x \: \text{dx} = \int \frac{\sin x}{\cos x} \: \text{dx}\end{aligned}$$

Misalkan $u= \cos x$, sehingga $\text{du}= - \sin x \: \text{dx}$ atau $-\text{du} = \sin x \: \text{dx}$. Dengan proses substitusi, diperoleh$$\begin{aligned}\int \tan x \: \text{dx} &= \int - \frac{1}{u} \: \text{du} \\&= -\int \frac{1}{u} \: \text{du} \\&= -\ln |u| + C\end{aligned}$$

Kembalikan ke bentuk trigonometri.$$\begin{aligned}\int \tan x \: \text{dx} &= -\ln |\cos x| + C \\&= -\ln |\frac{1}{\sec x}| + C \\&= -\ln \frac{1}{|\sec x|} + C\end{aligned}$$

Selanjutnya, gunakan sifat logaritma natural: $\ln \frac{a}{b} = \ln a {}- \ln b$, sehingga$$\begin{aligned}\int \tan x \: \text{dx} &= -(\ln 1 {}- \ln |\sec x|) + C \\&= -(0 {}- \ln |\sec x|) + C \\&= \ln |\sec x| + C\end{aligned}$$Terbukti.

$int \cot x \: \text{dx}$

Pertama, tulis $\cot x$ sebagai hasil bagi antara $\cos x$ dengan $\sin x$.$$\int \cot x \: \text{dx} = \int \frac{\cos x}{\sin x} \: \text{dx}$$

Misalkan $u= \sin x$, sehingga $\text{du} = \cos x \: \text{dx}$. Dengan proses substitusi diperoleh$$\begin{aligned}\int \cot x \: \text{dx} &= \int \frac{1}{u} \: \text{du} \\&= \ln |u| + C\end{aligned}$$

Kembalikan ke bentuk trigonometri$$\begin{aligned}\int \cot x \: \text{dx} &= \ln \left| \sin x \right| + C \\&= \ln \left| \frac{1}{\csc x} \right| + C \\&= \ln \frac{1}{\left| \csc x \right|} + C\end{aligned}$$

Gunakan sifat logaritma natural: $\ln \frac{a}{b} = \ln a {}- \ln b$, sehingga$$\begin{aligned}\int \cot x \: \text{dx} &= (\ln 1 {}- \ln |\csc x|) + C \\&= -\ln |\csc x| + C\end{aligned}$$Terbukti.