Dalam tulisan ini, kita akan membahas sebuah teorema mengenai relasi ekivalen.
Teorema
Sebelum membuktikan teorema ini, kita perlu memahami definisi relasi ekivalen.
Definisi
- R merupakan relasi refleksif, yaitu $\forall a \in A$ berlaku $(a,a) \in R$
- R merupakan relasi simetri, yaitu $\forall a,b \in A$ jika $(a,b) \in R$ maka $(b,a) \in R$.
- R merupakan relasi transitif, yaitu $\forall a,b,c \in A$ jika $(a,b) \in R$ dan $(b,c) \in R$ maka $(a,c) \in R$.
Jadi, untuk membuktikan bahwa $R^{-1}$ relasi ekivalen, kita harus menunjukkan bahwa $R^{-1}$ merupakan relasi refleksif, relasi simetri, dan relasi transitif.
Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi refleksif.
Untuk setiap $a \in A$ berlaku $(a,a) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, $(a,a) \in R^{-1}$.Terbukti bahwa $R^{-1}$ relasi refleksif.
Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi simetri.
Ambil $a,b \in A$ sebarang, dengan $(a,b) \in R^{-1}$, akan ditunjukkan bahwa $(b,a) \in R^{-1}$. $(a,b) \in R^{-1}$ artinya $(b,a) \in R$. Diketahui $R$ relasi simetri, akibatnya $(a,b) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, diperoleh $(b,a) \in R^{-1}$. Terbukti.
Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi transitif.
Ambil $a,b,c \in A$ sebarang, dengan $(a,b) \in R^{-1}$ dan $(b,c) \in R^{-1}$. Akan ditunjukkan bahwa $(a,c) \in R^{-1}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(a,b) \in R^{-1} &\Rightarrow (b,a) \in R \\(b,c) \in R^{-1} &\Rightarrow (c,b) \in R\end{aligned}$$R adalah relasi transitif, sehingga $(c,b) \in R$ dan $(b,a) \in R$ berakibat $(c,a) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, diperoleh $(a,c) \in R^{-1}$. Terbukti.
Diperoleh $R^{-1}$ merupakan relasi refleksif, relasi simetri, dan relasi transitif. Dengan demikian, terbukti bahwa $R^{-1}$ relasi ekivalen.