Dalam tulisan ini, kita akan membahas sebuah teorema mengenai relasi ekivalen.

Teorema

Jika $R$ adalah relasi ekivalen pada himpunan $A$, maka $R^{-1}$ juga relasi ekivalen pada himpunan $A$.

Sebelum membuktikan teorema ini, kita perlu memahami definisi relasi ekivalen.

Definisi

Suatu relasi R disebut relasi ekivalen pada himpunan A, jika dan hanya jika:
  1. R merupakan relasi refleksif, yaitu $\forall a \in A$ berlaku $(a,a) \in R$
  2. R merupakan relasi simetri, yaitu $\forall a,b \in A$ jika $(a,b) \in R$ maka $(b,a) \in R$.
  3. R merupakan relasi transitif, yaitu $\forall a,b,c \in A$ jika $(a,b) \in R$ dan $(b,c) \in R$ maka $(a,c) \in R$.

Jadi, untuk membuktikan bahwa $R^{-1}$ relasi ekivalen, kita harus menunjukkan bahwa $R^{-1}$ merupakan relasi refleksif, relasi simetri, dan relasi transitif.

Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi refleksif.

Untuk setiap $a \in A$ berlaku $(a,a) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, $(a,a) \in R^{-1}$.Terbukti bahwa $R^{-1}$ relasi refleksif.

Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi simetri.

Ambil $a,b \in A$ sebarang, dengan $(a,b) \in R^{-1}$, akan ditunjukkan bahwa $(b,a) \in R^{-1}$. $(a,b) \in R^{-1}$ artinya $(b,a) \in R$. Diketahui $R$ relasi simetri, akibatnya $(a,b) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, diperoleh $(b,a) \in R^{-1}$. Terbukti.

Akan dibuktikan bahwa $R^{-1}$ adalah relasi transitif.

Ambil $a,b,c \in A$ sebarang, dengan $(a,b) \in R^{-1}$ dan $(b,c) \in R^{-1}$. Akan ditunjukkan bahwa $(a,c) \in R^{-1}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(a,b) \in R^{-1} &\Rightarrow (b,a) \in R \\(b,c) \in R^{-1} &\Rightarrow (c,b) \in R\end{aligned}$$R adalah relasi transitif, sehingga $(c,b) \in R$ dan $(b,a) \in R$ berakibat $(c,a) \in R$. Berdasarkan definisi relasi invers, diperoleh $(a,c) \in R^{-1}$. Terbukti.

Diperoleh $R^{-1}$ merupakan relasi refleksif, relasi simetri, dan relasi transitif. Dengan demikian, terbukti bahwa $R^{-1}$ relasi ekivalen.