Soal dan Pembahasan: Operasi pada Bilangan Kompleks

Berdasarkan sifat distributif, diperoleh$$\begin{aligned}(\sqrt{2}-i)-i(1-\sqrt{2}i) &= \sqrt{2}-i-i-\sqrt{2} \\&= -2i\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}(2-3i)(-2+i) &= -4+3+2i+6i \\&= -1+8i\end{aligned}$$

Berdasarkan sifat asosiatif pada perkalian bilangan kompleks, kita dapat menghitung $(1-i)(2-i)$ terlebih dahulu.$$\begin{aligned}(1-i)(2-i)(3-i) &= [(1-i)(2-i)](3-i) \\&= (2-1-i-2i)(3-i) \\&= (1-3i)(3-i) \\&= 3-3-i-9i \\&= -10i\end{aligned}$$

Konjugat dari pembagi adalah $3+4i$, sehingga$$\begin{aligned}\frac{4+3i}{3-4i} &= \frac{4+3i}{3-4i} \cdot \frac{3+4i}{3+4i} \\&= \frac{12-12+16i+9i}{9+16} \\&= \frac{25i}{25} \\&= i\end{aligned}$$

Secara berturut-turut, konjugat dari $i$ dan $1-i$ adalah $-i$ dan $1+i$, sehingga$$\begin{aligned}\frac{1+i}{i}+\frac{i}{1-i} &= \frac{1+i}{i} \cdot \frac{-i}{-i}+\frac{i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} \\&= \frac{-i+1}{1} + \frac{i-1}{1+1} \\&= -i+1+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2} \\&= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\end{aligned}$$

Misalkan $z=x+yi$, sehingga $iz=-y+xi$. Akibatnya$$\text{Re }(iz)=-y=\text{Im }z$$dan$$\text{Im }(iz)=x=\text{Re }z$$Terbukti.

Berdasarkan sifat distributif diperoleh$$\begin{aligned}(1+z)^2 &= (1+z)(1+z) \\&= 1(1+z)+z(1+z) \\&= 1+z+z+z^2 \\&= 1+2z+z^2\end{aligned}$$

Untuk $z=1+i$ diperoleh$$\begin{aligned}z^2-2z+2 &= (1+i)^2-2(1+i)+2 \\&= (1-1+i+i)-2-2i+2 \\&= 0\end{aligned}$$Untuk $z=1-i$ diperoleh$$\begin{aligned}z^2-2z+2 &= (1-i)^2-2(1-i)+2 \\&= (1-1-i-i)-2+2i+2 \\&= 0\end{aligned}$$Dengan demikian, $z=1 \pm i$ memenuhi persamaan $z^2-2z+2=0$.

Misalkan $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$, dengan $z_1=a_1+b_1i$ dan $z_2=a_2+b_2i$. Akan ditunjukkan $z_1+z_2=z_2+z_1$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}z_1+z_2 &= (a_1+b_1i)+(a_2+b_2i) \\&= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i \\&= (a_2+a_1)+(b_2+b_1)i \\&= (a_2+b_2i)+(a_1+b_1i) \\&= z_2+z_1\end{aligned}$$Dengan demikian, $\mathbb{C}$ memenuhi sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan.

Misalkan $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$, dengan $z_1=a_1+b_1i$ dan $z_2=a_2+b_2i$. Akan ditunjukkan $z_1z_2=z_2z_1$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}z_1z_2 &= (a_1+b_1i)(a_2+b_2i) \\&= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i \\&= (a_2a_1-b_2b_1)+(a_2b_1+b_2a_1)i \\&= (a_2+b_2i)(a_1+b_1i) \\&= z_2z_1\end{aligned}$$Dengan demikian, $\mathbb{C}$ memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian.

Misalkan $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$, dengan $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$, dan $z_3=a_3+b_3i$. Akan ditunjukkan $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(z_1+z_2)+z_3 &= [(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)]+(a_3+b_3i) \\&= [(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i]+(a_3+b_3i) \\&= [(a_1+a_2)+a_3]+[(b_1+b_2)+b_3]i \\\end{aligned}$$

Diketahui $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{R}$ dan $\mathbb{R}$ memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan. Akibatnya$$\begin{aligned}(z_1+z_2)+z_3 &= [a_1+(a_2+a_3)]+[b_1+(b_2+b_3)]i \\&= (a_1+b_1i)+[(a_2+a_3)+(b_2+b_3)i] \\&= (a_1+b_1i)+[(a_2+b_2i)+a_3+b_3i] \\&= z_1+(z_2+z_3)\end{aligned}$$Dengan demikian, $\mathbb{C}$ memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan.

Misalkan $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$, dengan $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$, dan $z_3=a_3+b_3i$. Akan ditunjukkan $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(z_1z_2)z_3 &= [(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)](a_3+b_3i) \\&= [(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i](a_3+b_3i) \\&= [(a_1a_2-b_1b_2)a_3-(a_1b_2+b_1a_2)b_3]+[(a_1a_2-b_1b_2)b_3+(a_1b_2+b_1a_2)a_3]i \\&= [a_1a_2a_3-b_1b_2a_3-a_1b_2b_3-b_1a_2b_3]+[a_1a_2b_3-b_1b_2b_3+a_1b_2a_3+b_1a_2a_3]i \\&= [a_1a_2a_3-a_1b_2b_3-b_1a_2b_3-b_1b_2a_3]+[a_1a_2b_3+a_1b_2a_3+b_1a_2a_3-b_1b_2b_3]i \\&= [a_1(a_2a_3-b_2b_3)-b_1(a_2b_3+b_2a_3]+[a_1(a_2b_3+b_2a_3)+b_1(a_2a_3-b_2b_3)]i \\&= (a_1+b_1i)[(a_2a_3-b_2b_3)+(a_2b_3+b_2a_3)i] \\&= (a_1+b_1i)[(a_2+b_2i)(a_3+b_3i)] \\&= z_1(z_2z_3)\end{aligned}$$Terbukti.

Misalkan $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$, dengan $z_1=a_1+b_1i$, $z_2=a_2+b_2i$, dan $z_3=a_3+b_3i$. Akan ditunjukkan bahwa $\mathbb{C}$ memenuhi distributif kanan, yaitu $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}z_1(z_2+z_3) &= (a_1+b_1i)[(a_2+b_2i)+(a_3+b_3i)] \\&= (a_1+b_1i)[(a_2+a_3)+(b_2+b_3)i] \\&= [a_1(a_2+a_3)-b_1(b_2+b_3)]+[a_1(b_2+b_3)+b_1(a_2+a_3)]i \\&= [a_1a_2+a_1a_3-b_1b_2-b_1b_3)]+[a_1b_2+a_1b_3+b_1a_2+b_1a_3]i \\&= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1a_3-b_1b_3)+(a_1b_2+b_1a_2)i+(a_1b_3+b_1a_3)i \\&= [(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i]+[(a_1a_3-b_1b_3)+(a_1b_3+b_1a_3)i] \\&= [(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)] + [(a_1+b_1i)(a_3+b_3i)] \\&= z_1z_2+z_1z_3\end{aligned}$$

Jadi, $\mathbb{C}$ memenuhi distributif kanan. Untuk menunjukkan bahwa $\mathbb{C}$ memenuhi distributif kiri, digunakan sifat komutatif perkalian. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}z_1(z_2+z_3) &= z_1z_2+z_1z_3 \\(z_2+z_3)z_1 &= z_2z_1+z_3z_1\end{aligned}$$Jadi, $\mathbb{C}$ memenuhi distributif kiri. Dengan demikian, $\mathbb{C}$ memenuhi sifat distributif.

Berdasarkan sifat asosiatif terhadap penjumlahan, kita dapat menulis$$z(z_1+z_2+z_3)=z([z_1+z_2]+z_3)$$Dengan menerapkan sifat distributif, diperoleh$$\begin{aligned}z(z_1+z_2+z_3) &= z(z_1+z_2)+zz_3 \\&= zz_1+zz_2+zz_3\end{aligned}$$

Kita mulai dengan menerapkan sifat asosiatif terhadap perkalian.$$(z_1z_2)(z_3z_4)=z_1[z_2(z_3z_4)] = z_1[(z_2z_3)z_4]$$Dengan menerapkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, diperoleh$$\begin{aligned}(z_1z_2)(z_3z_4) &= z_1[(z_3z_2)z_4] \\&= z_1[z_3(z_2z_4)] \\&= (z_1z_3)(z_2z_4)\end{aligned}$$Terbukti.

Diketahui $z_1z_2=0$. Akan dibuktikan bahwa $z_1=0$ atau $z_2=0$ dengan kontradiksi.

Andaikan $z_1 \neq 0$ dan $z_2 \neq 0$, sehingga $z_1$ mempunyai invers perkalian $z_1^{-1}$. Perhatikan bahwa$$z_2=1 \cdot z_2=(z_1^{-1}z_1)z_2=z_1^{-1}(z_1z_2)$$Karena $z_1z_2=0$, diperoleh$$z_2=z_1^{-1} \cdot 0 = 0$$Kontradiksi. Dengan demikian, haruslah $z_1=0$ atau $z_2=0$.